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高中数列求和方法大全(配练习及答案)


数列的求和
一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 二、教学重点:特殊数列求和的方法.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?
n (a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

(2)等比数列的求和公式 S n

? na 1 ( q ? 1) ? n ? ? a 1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) ( q ? 1) ? 1? q ?
n ( n ? 1 ) ( 2? n 6
2

2.公式法:

?k
k ?1

n

2

?1 ? 2 ? 3?? ? n ?
2 2 2

2

1)

?

n

k ?1

? n ( n ? 1) ? k ?1 ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3 3 3

3.错位相减法:比如 ?a n ?等差 , ?b n ?等比 , 求 a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n的和 . 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :
1 n ( n ? 1)
1 ? 1 2n ? 1

?

1 n

?

1 n ?1



1 n(n ? 2)

?

1 ( 2 n

?

1 n?2

)

1

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

1

2 2n ? 1

(

)

n ? n! ? ( n ? 1)! ? n!

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求 100
2

? 99

2

? 98

2

? 97

2

? ? ? 2 ? 1 的和。
2 2

7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 11? 1 ?? ?
n个

②Sn ? (x ?

1 x

) ? (x ?
2 2

1 x
2

) ? ? ? (x
2

n

?

1 x
n

)

2

1

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前 n 项和 S n 思路分析:通过分组,直接用公式求和。 解:① a k ? 11? 1 ? 1 ? 10 ? 10 ?? ?
k个 2

? ? ? 10

k

?

1 9

(10

k

? 1)

Sn ?

1 9

[( 10 ? 1) ? (10 ? 1) ? ? ? (10 ? 1)] ?
2 n

1 9

[( 10 ? 10 ? ? ? 10 ) ? n ]
2 n

1 10 (10 ? 1) 10 ? [ ? n] ? 9 9
n

n ?1

? 9 n ? 10 81

②Sn ? (x 2 ?
? (x
2

1 x
2

? 2) ? ( x ?
4 2n

1 x
4

? 2) ? ? ? ( x ?? ? x 1
2n

2n

? x

1
2n

? 2)

? x

4

?? ? x

)?(

1 x
2

?
2n

1 x
4

) ? 2n
?2 n

(1)当 x ? ? 1 时, S n ?

x (x
2

2

? 1)

x ?1

?

x

?2

(x x

? 1)

?2

?1

? 2n ?

(x

2n

? 1)( x x
2n 2

2n?2

? 1)

( x ? 1)

? 2n

(2)当 x ? ? 1时 , S n ? 4 n ③
a k ? ( 2 k ? 1) ? 2 k ? ( 2 k ? 1) ? ? ? [( 2 k ? 1) ? ( k ? 1)] ? k [( 2 k ? 1) ? ( 3 k ? 2 )] 2 5 2 ? 5 2 n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6 k
2

?

3 2

k

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

5 2

(1 ? 2 ? ? ? n ) ?
2 2 2

3 2

(1 ? 2 ? ? ? n ) ?

?

?

3 n ( n ? 1) 2 2

?

1 6

n ( n ? 1)( 5 n ? 2 )

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或 q ? 1 讨论。 2.错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3 a ,5 a , ? , ( 2 n ? 1) a
2 n ?1

( a ? 0 ) ,求前 n 项和。
0 2 n ?1

思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,…2n-1 与等比数列 a , a , a , ? , a 积,可用错位相减法求和。 解
aS ? a ? 3a
2 3

对应项


? 5 a ? ? ? ( 2 n ? 1) a ? 1 ? 2a ? 2a
2 n

S n ? 1 ? 3a ? 5a

2

? ? ? ( 2 n ? 1) a

n ?1

?1 ?

n

?2 ?
3 n ?1

?1 ? ? ? 2 ? : (1 ? a ) S n

? 2a ? ? ? 2a

? ( 2 n ? 1) a

n

2



a ? 1时 , (1 ? a ) S n ? 1 ?
n ?1

2 a (1 ? a (1 ? a )

n ?1 2

)

? ( 2 n ? 1)

n

Sn ?

1 ? a ? ( 2 n ? 1) a

n

? ( 2 n ? 1) a
2

(1 ? a )

当 a ? 1时 , S n ? n 2 3.裂项相消法求和 例 3.求和 S n ?
2
2

1?3

?

4

2

3?5

?? ?

(2n)

2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解
ak ? (2k )
2

:
?1?
1 3

( 2 k ? 1)( 2 k ? 1)

?

(2k ) ? 1 ? 1
2

1 ( 2 k ? 1)( 2 k ? 1)
1 5 )?? ? ( 1 2n ? 1

( 2 k ? 1)( 2 k ? 1)
1 2 [( 1 ? 1 3

?1?

1

2 2k ? 1
1

(

1

?

1 2k ? 1
1 2 (1 ?

)
1 2n ? 1 2 n ( n ? 1) 2n ? 1

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ?

)?(

?

?

2n ? 1

)] ? n ?

) ?

练习:求 S n ?

1 a

?

2 a
2

?

3 a
3

?? ?

n a
n

答案: S n

? n ( n ? 1) ( a ? 1) ? ? 2 ? ? n a ( a ? 1) ? n ( a ? 1) ? ( a ? 1) n 2 ? a ( a ? 1) ?

4.倒序相加法求和
1 例 4 求证: C n0 ? 3 C n ? 5 C n2 ? ? ? ( 2 n ? 1) C nn ? ( n ? 1) 2 n

m n?m 思路分析:由 C n ? C n 可用倒序相加法求和。

1 证:令 S n ? C n0 ? 3 C n ? 5 C n2 ? ? ? ( 2 n ? 1) C nn

(1) (2)
2

1 则 S n ? ( 2 n ? 1) C nn ? ( 2 n ? 1) C nn ?1 ? ? ? 5 C n2 ? 3 C n ? C n0

? Cn ? Cn
m n

n?m

? (1) ? ( 2 ) 有 : 2 S n ? ( 2 n ? 2 ) C n ? ( 2 n ? 2 ) C n ? ( 2 n ? 2 ) C n ? ? ? ( 2 n ? 2 ) C n
0 1

? S n ? ( n ? 1)[ C n ? C n ? C n ? ? ? C n ] ? ( n ? 1) ? 2
0 1 2 n

n

等式成立

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。
n 例 5.已知数列 ?a n ?, a n ? ? 2[ n ? ( ? 1) ], 求 S n 。

n 思路分析: a n ? ? 2 n ? 2 ( ? 1) ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。

3

解: a n ? ? 2 n ? 2 ( ? 1) n ,若 n ? 2 m , 则 S n ? S 2 m ? ? 2 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 m ) ? 2 ? ( ? 1) k
k ?1

2m

S n ? ? 2 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 m ) ? ? ( 2 m ? 1) 2 m ? ? n ( n ? 1)


n ? 2 m ? 1, 则 S n ? S 2 m ?1 ? S 2 m ? a 2 m ? ? ( 2 m ? 1) 2 m ? 2[ 2 m ? ( ? 1)
2m

] ? ? ( 2 m ? 1) 2 m ? 2 ( 2 m ? 1)

? ?4m

2

? 2 m ? 2 ? ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 2 ? ? n ? n ? 2
2 2

( n 为正偶数 ) ? ? n ( n ? 1) ? Sn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 ( n 为正奇数 )

预备:已知 f ( x ) ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n , 且 a 1 , a 2 , a 3 , ? a n 成等差数列,n 为正偶数, 又 f (1) ? n , f ( ? 1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。
2

1

2

? ( a1 ? f (1) ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? n 2 ? 解: ? ?? ? f ( ? 1) ? ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 1 ? a n ? n ? ?
? a 1 ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ?? ? a1 ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 ? d ? 2
f ( x ) ? x ? 3 x ? 5 x ? ? ? ( 2 n ? 1) x
2 3 n

? a n )n 2 n 2

? n

2

d ? n

? a1 ? a n ? 2 n ?? ? d ? 2

1 1 1 2 1 3 1 n f( ) ? ? 3 ( ) ? 5 ( ) ? ? ? ( 2 n ? 1)( ) 2 2 2 2 2

可求得 f ( ) ? 3 ? ( )
2 2

1

1

n?2

? ( 2 n ? 1)(

1

1 n ) ,∵n 为正偶数,? f ( ) ? 3 2 2

4

巩固练习
1.求下列数列的前 n 项和 S n : (1)5,55,555,5555,…, (1 0 ? 1) ,…;
n

5

9

(2)

1

1? 3 2 ? 4 3 ? 5

,

1

,

1

,? ,

1 n(n ? 2)

,? ;

(3) a n ?

1 n ? n ?1



(4) a , 2 a , 3 a , ? , n a , ? ;

2

3

n

5

(5) 1 ? 3, 2 ? 4, 3 ? 5, ? , n ( n ? 2), ? ;

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? (6) sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? sin 89 .

2.已知数列 { a n } 的通项 a n ? ?

?6n ? 5 ?2
n

( n为 奇 数 ) ( n为 偶 数 )

,求其前 n 项和 S n .

6

n个 n个 ??? ??? 5 解: (1) S n ? 5 ? 5 5 ? 5 5 5 ? ? ? 5 5 ? 5 ? (9 ? 9 9 ? 9 9 9 ? ? ? 9 9 ? 9 ) 9 5 2 3 n ? [(1 0 ? 1) ? (1 0 ? 1) ? (1 0 ? 1) ? ? ? (1 0 ? 1)] 9 5 50 5 2 3 n n ? [1 0 ? 1 0 ? 1 0 ? ? ? 1 0 ? n ] ? (1 0 ? 1) ? n . 9 81 9 1 1 1 1 ? ( ? ), (2)∵ n(n ? 2) 2 n n?2

∴ Sn ?

1 2

[(1 ?

1 3

)?(
1

1 2

?

1 4

)?(

1 3

?

1 5

)?? ? (
n ?1 ?

1 n

?
n

1 n?2

)] ?
?

1 2

(1 ?

1 2

?

1 n ?1
n

?

1 n?2

).

(3)∵ a n ? ∴ Sn ?
1 2 ?

n ?

n ?1

?

( n ?

n ? 1 )( n ? 1 ?

n ?1 ?

n)

? 1

1 3? 2

?? ?

1 n ?1 ? n
n) ?

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ?
2 3

2) ?? ? ( n ?1 ?
n

n ?1 ?1.

(4) S n ? a ? 2 a ? 3 a ? ? ? n a , 当 a ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?
n ( n ? 1) 2
n ?1



n 当 a ? 1 时, S n ? a ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? … ? n a ,

a S n ? a ? 2 a ? 3 a ? … ? na
2 3 4


n ?1

两式相减得 (1 ? a ) S n ? a ? a 2 ? a 3 ? … ? a ? n a
n

?

a (1 ? a )
n

1? a

? na

n ?1



∴ Sn ?

na

n?2

? ( n ? 1) a (1 ? a )
2

n ?1

?a

2



(5)∵ n ( n ? 2) ? n ? 2 n , ∴ 原式 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n ) ?
2 2 2 2

n ( n ? 1)( 2 n ? 7 ) 6



(6)设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? sin 89 , 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 又∵ S ? sin 89 ? sin 88 ? sin 87 ? ? ? ? sin 1 ,
2 2 2 2

?

?

?

?

∴ 2 S ? 89 , S ?

89 2


?6n ? 5 ?2
n

2.已知数列 { a n } 的通项 a n ? ?

( n为 奇 数 ) ( n为 偶 数 )

,求其前 n 项和 S n .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a 2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有
n ?1 (1 ? 6 n ? 5) ? 2

n ?1 2

项,偶数项有
n ?1

n ?1 2

项,
n ?1

∴ Sn ?

2

4 (1 ? 4 1? 4

2

)

?

( n ? 1)(3 n ? 2 ) 2

?

4(2

? 1)



3

当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有

n 2

项,

7

n

(1 ? 6 n ? 5) ? 2

n

∴ Sn ? 2

4 (1 ? 4 2 ) 1? 4

?

n (3 n ? 2 ) 2

?

4 ( 2 ? 1)
n



3

? ( n ? 1)(3 n ? 2 ) 4 ( 2 n ? 1 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, S n ? ? n ? n (3 n ? 2 ) ? 4 ( 2 ? 1) ? 2 3 ?

( n为 奇 数 )


( n为 偶 数 )

8


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