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【2016年高考数学总复习】(第7讲)函数与方程(53页)


第7讲 函数与方程 一、聚焦重点 二次函数的零点. 二、廓清疑点 怎样确定超越方程解的区间? 主要内容 三、破解难点 含参数的函数与方程问题. 聚焦重点:二次函数的零点 ? 如何判断二次函数在指定区间上的零点个数? 问题研究 函数的零点的定义: y ? f ( x) 的零点. 基础知识 方程 f ( x) ? 0 的实根叫做函数 经典例题1 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 2,试判断函数 3 ) 内有几个不同的零点? 2 在区间 (0, 思路分析 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 2 ,试判断函数 思路 1:解方程(求根判断) 易于思维! 在区间 (0, 3 ) 内有几个不同的零点? 2 3 思路 3:作出函数图象(形数结合判断)形象直观! 思路 2:由 f (0) ? f ( ) 的符号判断 2 可能误判! 求解过程 3 3 ∵ 1 ? (0, ) , 2 ? (0, ) , 2 2 解法 1(解方程) 易知方程 f ( x) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根为 1 或 2. ∴ 函数在 (0, 3 ) 内有且只有一个零点. 2 求解过程 解法 2(作图象) 3 1 配方,得 f ( x) ? ( x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 发现 f (0) ? 2 ? 0, f ( ) ? ? ? 0 , 2 4 作出函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2的图象(如图) . 而且函数的图象是连续的抛物线. y (0, 2) 所以函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 3 在 (0, ) 有且只有一个零点. 2 O 3 1 ( ,? ) 2 4 x 判断二次函数的零点的个数可以从两方面切入: 1.从数的方面切入,转化为解一元二次方程; 回顾反思 2.从形的方面切入,作出二次函数的图象, 转化为函数图象与 x 轴交点的个数. 经典例题2 例 2 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 3ax ? 2a 2 (a ? 0) ,试 判断 f ( x) 在区间[0,1]上有几个不同的零点? 思路分析 例 2 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 3ax ? 2a 2 (a ? 0) ,试 判断 f ( x) 在区间[0,1]上有几个不同的零点? 思路1 解方程 x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0 ,得 x ? a或x ? 2a . 然后判断 a 和 2a 是否落在区间 [0,1] 上. 思路 2 画出函数 f ( x) ? x 2 ? 3ax ? 2a 2 的图象, 然后 根据开口方向、判别式的符号、对称轴的 位置等来进行判断. 求解过程 函数 f ( x) 在区间[0,1]上有两个零点. ? 0 < a ≤ 1, 1 ①当 ? 即 0 ? a ≤ 时, 2 ?0 ? 2a ≤1, 解法 1 解方程 x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0 ,得 x ? a或x ? 2a . 求解过程 ? a ? [0,1], ③当 ? 即 a ? 0或a ? 1时, 2 a ? [0,1], ? 函数 f ( x) 在区间[0,1]上没有零点. 函数 f ( x) 在区间[0,1]上有且只有一个零点; ? 0 ? a ≤ 1, ?0 ? 2a ≤ 1, 1 ②当 ? 或? 即 ? a ≤ 1时, 2 2 a ? [0,1], a ? [0,1], ? ?

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