当前位置:首页 >> >>

2015年北京市各区高三理科数学分类汇编----立体几何

2015 年北京高三理科数学试题分类汇编----立体几何
2015 一模试题(理科) (7) (15 年海淀一模理)某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱 锥的俯视图不可能 是( ... )
正视图

(A)

(B)

(C)

(D) )

6. (15 年西城一模理)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是(
47 23 15 (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 7

1 1 2 1 1

1

正(主)视图 1 1 2 2 俯视图 (7) (15 年东城一模理)一个几何体

侧(左)视图

的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为 1 ,则该几何体体积为 (A)

1 6

(B)

2 6

正 (主) 视图

侧(左)视图

(C) (D)

3 6
1 2
俯视图

6. (15 年丰台一模理)右图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最 大值是 (A) 4 (B) 5 (C) 3 2 (D) 3 3

3

3
正视图

1

3
侧视图

俯视图

7. (15 年石景山一模理)在如图所示的空间直角坐标 系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2, 2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

x

. 1. 1 . .. y 2 2.O 1
2 ① ② ③ ④ C.③和④ D.④和②

z

A.①和② B.③和① 6. (15 年房山一模理)一个棱长为 2 的正 方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体 的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 7

C.

47 6

22 3 23 D. 3
B.

2 7. (15 年延庆一模理) 一个几何体的三视图如图所 那么这个几何体的体积为( A. 16? C. 4? B. 6? D. 8
2 1
俯视图

1

示,



2
主视图 侧视图

(7 题图)

8. (15 年昌平二模理)已知四面体 A ? BCD 满足下列条件: (1)有一个面是边长为 1 的等边三角形; (2)有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体 A ? BCD 的体积的取值集合是( A. { , )

1 2 } 2 12

B. { ,

1 3 } 6 12

C. {

2 3 2 , , } 12 12 24

D. { ,

1 2 2 , } 6 12 24

AD ? 3 , 14. (15 年延庆一模理) ABCD 是矩形, 沿 AC 将 ?ADC 折起到 ?AD ?C , AB ? 4 ,
使平面 AD?C ? 平面 ?ABC , F 是 AD? 的中点, E 是 AC 上的一点,给出下列结论: ① 存在点 E ,使得 EF / / 平面 BCD? ③ 存在点 E ,使得 D ?E ? 平面 ABC 其中正确结论的序号是 ② 存在点 E ,使得 EF ? 平面 ABD? ④ 存在点 E ,使得 AC ? 平面 BD ?E

.(写出所有正确结论的序号)

14. (15 年朝阳一模理) 将体积为 1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体, 第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体, 如此下去, 共 ? 进行了 n ( n ? N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______;这 n 次共挖去的所有几何 体的体积和是______.

(17) (15 年海淀一模理) (本小题满分 14 分)

AD ? DC , BC ? 2 AD ? 2 DC , AD ? BC , 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, 四边形 ABEF
是正方形 . 将正方形 ABEF 沿 AB 折起到四边形 ABE1F 1 的位置,使平面 ABE1 F 1 ? 平面

ABCD , M 为 AF1 的中点,如图 2.
(Ⅰ)求证: BE1 ? DC ; (Ⅱ)求 BM 与平面 CE1M 所成角的正弦值; (Ⅲ)判断直线 DM 与 CE1 的位置关系,并说明理由.
C B F1 E1

D

A

E C D A

M B

图1

F

图2

17. (15 年西城一模理) (本小题满分 14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形, EF //AD , 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且 BC ? 2 EF , AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明: AG ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为

6 9

,求 AG 的长;

(Ⅲ) 判断线段 AC 上是否存在一点 M , 使 MG //平面 ABF ?若存在, 求出 若不存在,说明理由. F A B G E

AM MC

的值;

D C

(17) (15 年东城一模理) (本小题共 14 分)

AB ? PA ? BC ? 2 . D, E PA ? 底面 ABC ,AB ? BC , 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,
分别为 AB, AC 的中点,过 DE 的平面与 PB, PC 相交于点 M , N ( M 与 P, B 不重合, N 与 P, C 不重合). (Ⅰ)求证: MN ∥ BC ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 PBC 所成角的大小; (Ⅲ)若直线 EM 与直线 AP 所成角的余弦值 求 MC 的长.
M P N

3 14 时, 14

A D

E B

C

17. (15 年朝阳一模理) (本小题满分 14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, 已知 AB // CD, AD ? CD ,
1 AB ? AD ? CD . 2

(Ⅰ)求证: BF // 平面 CDE ; (Ⅱ)求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段 EC 上是否存在点 M ,使得平面 BDM ? 平面 BDF ? EM 若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. EC F E

D A B

C

17. (15 年丰台一模理) (本小题共 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA // BE , AB=PA=4,BE=2. (Ⅰ)求证: CE //平面 PAD ; P (Ⅱ)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AB 上是否存在一点 F ,使得 平面 DEF ? 平面 PCE ?如果存在,求 如果不存在,说明理由.

AF 的值; AB

E

A

D

B

C

17. (15 年石景山一模理) (本小题满分 14 分) 如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,正方形 ADEF 的边长为 2,直角 梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到 直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30° . A D B C F E

17.(15 年顺义一模理) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AD ? DC ,平面

PAD ? 底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 的中点,

PA ? PD ? 2, BC ?

1 AD ? 1, CD ? 3. 2

(I)求证: PQ ? AB ; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (III)求二面角 P ? QB ? M 的余弦值.

17.(15 年房山一模理) (本小题共 14 分) 在如图所示的多面体中, EA ⊥平面 ABC , DB ⊥平面 ABC, AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2 AE ? 2 , M 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: CM ⊥ EM ; (Ⅱ)求平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值; E (Ⅲ)在棱 DC 上是否存在一点 N ,使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60 ? .若存在,指出点 N 的位置;若不存在,请说明理由.

D

A M B

C

16.(15 年延庆一模理) (本小题满分 14 分)

? A1 中, BB1 // CC1 // AA1 ,且 AB ? 3 ,且 如图 1,在边长为 12 的正方形 AA?A1
?与 BC ? 4 , AA1? 分别交 BB1 , CC1 于点 P, Q ,将该正方形沿 BB1 , CC1 折叠,使得 A?A1
AA1 重合,构成图 2 所示的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,在图 2 中.
(Ⅰ)求证: AB ? PQ ; A1 B1 C1 A1 ′ A1 B1 C1 Q P B C A′ A B
M (图 2)

(Ⅱ)求直线 BC 与平面 APQ 所成角的正弦值; (Ⅲ)在底边 AC 上有一点 M ,使得 BM // 平面 APQ ,求 P A

Q

AM 的值. MC

C

(图 1)

2015 二模试题(理科) 8. (15 年朝阳二模理)如图,将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠,使得点 B 始终落 在边 AD 上,则折起部分面积的最小值为( ) .

8. (15 年西城二模理)在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB =

2, BC = AA1 = 1 ,点 M

为 AB1 的中点,点 P 为对角线 AC1 上的动点,点 Q 为底面 ABCD 上 的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 MP + PQ 的最小值为( (A) )
3

2 2

(B)

3 2

(C)

3 4

(D) 1
3 正视图

5. (15 年丰台二模理)某三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则其左 视图面积为 (A) 6 (C) 3

1

9 2 3 (D) 2
(B)
俯视图

2

2

6( . 15 年昌平二模理) 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为( )

3
1 正视图 2 2 侧视图

4 3 3π A. ? 3 6
C.

8 3 3π B. ? 3 3
D. 4 3 ? 3?

4 3 4 3π ? 3 3

俯视图

12. (15 年朝阳二模理) 某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的侧面积为__________.

(17) (15 年海淀二模理) (本小题满分 13 分) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD ,AB ? AD ,AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 ,

M 是棱 PB 上一点.
(Ⅰ)若 BM ? 2MP ,求证: PD / / 平面 MAC ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

2 PM ,求 的值. 3 PB

P M

A

B

D

C

17. (15 年西城二模理) (本小题满分 14 分) 如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , DE ? AB 于点 E, 将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? DC ,如图 2. (Ⅰ)求 证 : A1E ? 平 面 B C D E ;

? C (Ⅱ)求 二 面 角 E ? A 的余弦值; 1 B
(Ⅲ)判断在线段 EB 上是否存在一点 P,使平面 A1 DP ⊥平面 A1 BC ? 若存在,求出

EP 的值;若不存在,说明理由. PB

(17) (15 年东城二模理) (本小题共 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? DEF 的侧面 BEFC 是边长为 1 的正方形,侧面 BEFC ? 侧面

ADEB , AB ? 4 , ?DEB ? 60? , G 是 DE 的中点.
(Ⅰ)求证: CE ∥平面 AGF ; (Ⅱ)求证: GB ? 平面 BEFC ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45? ,若存在,求 BP 的长; 若不存在,说明理由.
C F

B

E

G A D

17. (15 年朝阳二模理) (本小题共 14 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中, 梯形 ABEF 可以通过直角梯形 ABCD 以直线 AB 为轴旋转得到,且平面 .直角

ABEF ? 面ABCD .
(Ⅰ)求证: FA ? BC ; (Ⅱ)求直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值; (Ⅲ)设 H 为 BD 的中点,M,N 分别为线段 FD,AD 上的点(都不与点 D 重合) .若 直线 FD ? 面MNH ,求 MH 的长.

17.(15 年丰台二模理) (本小题共 14 分) 如图所示,在四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , BD ? AC 于 O ,

M 是棱 CC1 上一点. 且 AA 1 ? OC ? 2OA ? 4 ,点
(Ⅰ)如果过 A1 , B1 , O 的平面与底面 ABCD 交于直线 l ,求证: l / / AB ; (Ⅱ) 当 M 是棱 CC1 中点时, 求证:AO ? DM ; 1

? ,当 (Ⅲ)设二面角 A 1 ? BD ? M 的平面角为
2 5 时,求 CM 的长. cos ? ? 25

A1 B1 D1

C1 A B O M D

C

17. (15 年昌平二模理)(本小题满分 14 分) 如图,已知等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AB ? AD ?

1 BC ? 2, E 是 BC 的中点, 2

AE ? BD ? M ,将 ?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE ,使平面 B1 AE ? 平面 AECD .
(I) 求证: CD ? 平面B 1 DM ; (II)求二面角 D ? AB1 ? E 的余弦值; (III)在线段 B1C 上是否存在点 P,使得 MP / / 平面 B1 AD ,若存在,求出 若不存在,说明理由.

B1 P 的值; B1C