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三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 专题14推理与证明解析版 Word版含解析


三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 第十四章 推理与证明
一、选择题 1.
( 【2015 高考广东,理 8】若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 ) A.大于 5 【答案】 C . 【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的,即 n ? 3 或 n ? 4 时命题成立, 由此可排除 A 、 B 、 D ,故选 C . 【考点定位】空间想象能力,推理能力,含有量词命题真假的判断. 【名师点睛】 本题主要考查学生的空间想象能力, 推理求解能力和含有量词命题真假的判断, 此题属于中高档题, 如果直接正面解答比较困难, 考虑到是选择题及选项信息可以根据平时 所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案 C ,由于 n ? 3 时易知正三 角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除 A 、 B ,又当 n ? 4 时易知正四面体的四个 顶点也是两两距离相等的从而可以排除 D . B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3

2. 【2014 福建,理 10】用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,
从 1 个红球和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式1 ? a ? b ? ab 表示出来,如: “1”表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,面“ ab ”用表示把红球 和篮球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无 区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取 法的是 A. 1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c? C. ?1 ? a? 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 1 ? c5
5

?

??

?

5

B. 1 ? a5 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?1 ? c? D. 1 ? a5 ?1 ? b? 1 ? c ? c 2 ? c3 ? c 4 ? c5
5

?

?? ?

?

5

?

??

?

?

?

?

【答案】A

考点:1.新定义.2.二项式展开式. 【名师点睛】解决本题的关键是读懂题意,盯住关键字眼,就可以快速破解,如 5 个无区别 的篮球都取出或都不取出,有

?1 ? b ? 种不同取法,看选项没有 ?1 ? b ? 这一项的,直接排
5 5

除,由此可排除 B,C,D,故选 A.

3.【2014 山东.理 4】

用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有
2

一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
2

) B.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
2

C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
2

D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
2

【答案】 A

【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义,明确至少有一个的反面 是一个也没有.本题属于基础题,难度较小.

4. 【2015 高考浙江, 理 6】 设 A ,B 是有限集, 定义 d ( A, B) ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ,
其中 card ( A) 表示有限集 A 中的元素个数,命题①:对任意有限集 A , B ,“ A ? B ”是 “ d ( A, B) ? 0 ”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A , B , C , d ( A, C ) ? d ( A, B) ? d ( B, C ) , ( A. 命题①和命题②都成立 C. 命题①成立,命题②不成立 【答案】A. 【解析】命题①显然正确,通过如下文氏图亦可知 d ( A, C ) 表示的区域不大于 B. 命题①和命题②都不成立 D. 命题①不成立,命题②成立 )

d ( A, B) ? d ( B, C ) 的区域,故命题②也正确,故选 A.

【考点定位】集合的性质 【名师点睛】本题是集合的阅读材料题,属于中档题,在解题过程中需首先理解材料中相关 概念与已知的集合相关知识点的结合,即可知命题①正确,同时注重数形结合思想的运用, 若用韦恩图表示三个集合 A , B , C ,则可将问题等价转化为比较集合区域的大小,即可 确定集合中元素个数大小的比较.

5. 【2014 年.浙江卷.理 8】记 max{x, y} ? ?
为平面向量,则( )

? ? ? x, x ? y ? y, x ? y ,min{ x, y} ? ? , 设 a, b ? y, x ? y ? x, x ? y

A. min{| a ? b |,| a ? b |} ?

min{| a |,| b |}

B. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} C. min{| a ? b | D. min{| 答案:D
2

,| a ? b |2} ?| a |2 ? | b |2

a ? b | 2,| a ? b | 2} ? | a| 2 ?| b| 2

考点:向量运算的几何意义.

b, a ? b, a ?b 放 【名师点睛】 本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义, 将 a,
在同一个平行四边形中进行比较判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选
项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法,在高

? ?? ? ? ?

考选择题的处理上, 未必每一题都要写出具体解答步骤, 针对选择题的特点, 有时 “排除法” , “确定法” , “特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有 有效的方法.

6.

【2014 高考北京理第 8 题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀”

“合格” “不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高 于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 【答案】B 【解析】 试题分析:用 A 、 B 、 C 分别表示优秀、及格和不及格,依题意,事件 A 、 B 、 C 中都最 多只有一个元素,所以只有 AC , BB , CA 满足条件,故选 B. 考点:合情推理,中等题. 【名师点睛】本题考查计数问题,本题属于基础题,但要求学生对题目中“学生甲比学生乙 成绩好”这个定义要读懂,还考查学生的分析问题的能力. B.3 人 C.4 人 D.5 人 )

7.

【2015 高考北京,理 8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是 ( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,A 中乙车消耗 1 升汽油,最 多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A 错误;B 中以相同速度行驶相同路程, 甲燃油效率最高,所以甲最省油,B 错误,C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km,消耗 8 升汽油,C 错误,D 中某城市 机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车 比用乙车更省油,选 D. 考点:本题考点定位为函数应用问题,考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的 理解. 【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力,本题属于中等题,有能力 要求,贴近学生生活,要求按照“燃油效率”的定义,汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,可 以断定“燃油效率”高的车省油,相同的速度条件下,“燃油效率”高的汽车,每消耗 1 升汽油行驶的里程必然大,需要学生针对四个选择只做出正确判断.

8. 【 2014

年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 湖 北 卷 6 】 若 函 数 f ( x) 、 g ( x) 满 足

?

1

?1

f ( x) g ( x)dx ? 0 ,则称 f ( x) 、 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的一组正交函数,给出三组函数:
1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 . 2 2
) C.2 D.3

① f ( x) ? sin

其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( A.0 【答案】C B.1

考点:新定义题型,微积分基本定理的运用,容易题. 【名师点睛】以高等数学中的正交函数为载体,重点考查微积分基本定理的应用,充分体现 了数学基础知识的应用能力, 能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力、 基础知识 在实际问题中的运用能力以及较强的数学计算能力.

9.

【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 8】 《算数书》竹简于上世纪八十年代

在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求 “囷盖” 的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长

L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 v ?
近似取为 3.那么近似公式 v ? A.

1 2 L h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 36


22 7

B.

25 8

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为( 75 157 355 C. D. 50 113

【答案】B 【解析】
2 试题分析:设圆锥底面圆的半径为 r ,高为 h ,依题意, L ? 2?r , ?r h ?

1 3

2 ( 2?r ) 2 h , 75

25 1 8 ? ? ? 2 ,即 ? 的近似值为 ,故选 B. 8 3 75 考点: 《算数书》中 ? 的近似计算,容易题.
所以 【名师点睛】以数学史为背景,重点考查圆锥的体积计算问题,其解题的关键是读懂文字材 料,正确理解题意,建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用,能较好的考 查学生运用基础知识的能力和简单近似计算能力.

10.

【 2015 高 考 湖 北 , 理 9 】 已 知 集 合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} , , 定 义 集 合

B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z}

A?

{
A.77

1

B? (

2

x ?

,

1

x

? ,则 y ? B 中元素的个数为( ( 1 y? , 1 2) A
C.45 D.30

x ))

? y2

,

2

A (

B.49

【答案】C

【考点定位】1.集合的相关知识,2.新定义题型. 【名师点睛】新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出 几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息, 联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.

二、填空题 1.
【2014 课标Ⅰ,理 14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A, B, C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市. 丙说:我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A 【解析】由丙说可知,乙至少去过 A,B,C 中的一个城市,由甲说可知,甲去过 A,C 且比乙去 过的城市多,故乙只去过一个城市,且没去过 C 城市,故乙只去过 A 城市. 【考点定位】推理. 【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙,解题时要 抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题,解决问题的能力.

2.

【2014 山东.理 15】已知函数 y ? f ( x), x ? R ,对函数 y ? g ( x), x ? I ,定义 g ( x) 关

于 f ( x) 的 对 称 函 数 为 函数 y ? h( x), x ? I , y ? h( x) 满 足 : 对 于 任 意 x ? I , 两 个点

( x, h( x)),( x, g ( x)) 关于点 ( x, f ?x ?) 对称,若 h( x) 是 g ( x) ? 4 ? x 2 关于 f ( x) ? 3x ? b 的
“对称函数” ,且 h( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 b 的取值范围是_________. 【答案】 (2 10, ??).

【名师点睛】本题考查阅读理解能力、学习能力、运算能力、直线与圆的位置关系.解答本 题的关键, 是理解新定义运算, 将问题转化成 3x ? b ? 4 ? x2 恒成立, 利用数形结合思想, 再将问题转化成直线与圆的位置关系问题. 本题属于新定义问题,是一道创新能力题,中等难度之上.在考查阅读理解能力、学习能力、 运算能力、直线与圆的位置关系等的同时,考查转化与化归思想及数形结合思想.

3.

【2015 高考山东,理 11】观察下列各式:

C10 ? 40
0 1 C3 ? C3 ? 41

0 1 2 C5 ? C5 ? C5 ? 42 ;

0 1 2 3 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 43

…… 照此规律,当 n ? N 时,
0 1 2 n?1 C2 n?1 ? C2n?1 ? C2n?1 ? ?? C2 n?1 ?

.

【答案】 4

n ?1

【考点定位】1、合情推理;2、组合数. 【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数,重点考查了学生对归纳推理的理解与运用,意 在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力,关键是能从前三个特殊的等式中观察、归 纳、总结出一般的规律,从而得到结论.此题属基础题.

4.

【2016 高考新课标 2 理数】有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙

三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了 丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1” , 丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” , 则甲的卡片上的数字是 【答案】1 和 3 【解析】 试题分析:由题意分析可知甲的卡片上数字为 1 和 3,乙的卡片上数字为 2 和 3,丙卡片上 数字为 1 和 2. 考点: 逻辑推理. 【名师点睛】逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出 具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维 保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式. .

5.

【2014 高考陕西版理第 14 题】观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 面数( F ) 5 6 顶点数( V ) 6 6 棱数( E ) 9 10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中, F , V, E 所满足的等式是_________. 【答案】 F ? V ? E ? 2

考点:归纳推理. 【名师点晴】本题主要考查的是归纳推理,属于中档题,解题时注意观察,归纳三棱锥、五 棱锥、立方体等几何体面数( F ) 、顶点数( V )、棱数( E )之间的关系,归纳猜想一般凸

V, E 所满足的等式.当然,如果平时能够记忆这个关系,则可以得到事半功 多面体中, F ,
倍的效果

6.【2014 四川,理 15】以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函
数 ? ( x) 组成的集合:对于函数 ? ( x) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间

[? M , M ] .例如,当 ?1 ( x) ? x3 , ?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B .现有如下命题:
?a ? D ,f (a) ? b ” ①设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 则 “ f ( x) ? A ” 的充要条件是 “ ?b ? R , ;
②函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x ) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 其中的真命题有 【答案】①③④

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B . x ?1
2

.(写出所有真命题的序号)

【考点定位】1、新定义;2、函数的定义域值域. 【名师点睛】 新定义问题一般先考察对定义的理解, 这时只需一一验证定义中各个条件即可. 二是考查满足新定义的函数的简单应用, 如在某些条件下, 满足新定义的函数有某些新的性 质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需结合新函数的新性质,探究“旧”性质.三 是考查综合分析能力,主要将新性质有机应用在“旧”性质,创造性证明更新的性质.

7.

【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 14】设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函

数,且 f ?x ? ? 0 ,对任意 a ? 0, b ? 0 ,若经过点 (a, f (a )) , (b,? f (b)) 的直线与 x 轴的交 点为 ?c,0? , 则称 c 为 a , b 关于函数 f ?x ? 的平均数, 记为 M f (a, b) , 例如, 当 f ?x ? ? 1( x ? 0) 时,可得 M f (a, b) ? c ?

a ?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术平均数. 2
x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几 (1)当 f ?x ? ? _____(
何平均数;

x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调 (2)当 f ?x ? ? _____(
和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 【答案】 (1) f ( x) ? (2) f ( x) ? x( x ? 0) . x ( x ? 0) ;

2ab ; a?b

考点:两个数的几何平均数与调和平均数,难度中等.新定义型试题是高考的热点试题,考 生错误往往有二,其一为不能正确理解题意,将新问题转化为所熟悉的数学问题;其二,不 具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力.但纵观湖北近四年高考试题,新定义型试题是必 考试题,在专题复习中应加强训练. 【名师点睛】 以新定义为背景, 以函数为依托, 重点考查两个数的几何平均数与调和平均数, 涉及构造函数,充分体现了函数思想在高中数学中的重要地位,其易错点有二,其一为不能 正确理解题意,将新问题转化为所熟悉的数学问题;其二,不具备归纳、猜想、推理、传化 等数学能力.

8.【2015 高考福建,理 15】一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1 x2 ? xn ? n ? N * ?

,其

中 xk ? k ? 1,2,?, n? 称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会 发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0) ,已知某种二元码 x1 x2 ? x7 的码元满

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? 足如下校验方程组: ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, ? x ? x ? x ? x ? 0, 3 5 7 ? 1
其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 . 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利 用上述校验方程组可判定 k 等于 【答案】 5 . .

【解析】 由题意得相同数字经过运算后为 0 , 不同数字运算后为 1 . 由 x4 ?x5 ?x6 ?x7 ? 0 可判断后 4 个数字出错;由 x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0 可判断后 2 个数字没错,即出错的是第 4 个或第 5 个;由 x1 ? x3 ? x5 ? x7 ? 0 可判断出错的是第 5 个,综上,第 5 位发生码元错误. 【考点定位】推理证明和新定义. 【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题,解决时候要耐心读题,并分析新定义 的特点,按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的, .

三、解答题 1.
【2014 高考北京理第 20 题】 (本小题满分 13 分)

对于数对序列 P : (a1 , b1 ),(a2 , b2 ),?,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 ,

Tk ( P) ? bk ? Max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak }(2 ? k ? n) ,其中 Max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak } 表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ? ?? ak 两个数中最大的数.
(1)对于数对序列 P : (2,5), (4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值; (2)记 m 为 a , b , c , d 四个数中最小的数,对于由两个数对 (a, b),(c, d ) 组成的数对 序列 P : (a, b), (c, d ) 和 P? : (c, d ),(a, b) ,试分别对 m ? a 和 m ? d 两种情况比较 T2 ( P ) 和

T2 ( P?) 的大小;
(3)在由五个数对 (11,8),(5, 2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中,写出一个数 对序列 P 使 T5 ( P ) 最小,并写出 T5 ( P ) 的值.(只需写出结论). 【答案】 (1)7,8; (2)无论 m ? a 还是 m ? d ,都有 T2 ( P) ? T2 ( P?) 成立; (3)T1 ( P) ? 10 ,

T2 ( P) ? 26 , T3 ( P) ? 42 , T4 ( P) ? 50 , T5 ( P) ? 52 .
【解析】 试题分析:根据条件中的定义,对于数对序列 P : (a1 , b1 ),(a2 , b2 ),?,(an , bn ) ,记

T1 ( P) ? a1 ? b1 , Tk ( P) ? bk ? Max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak }(2 ? k ? n) ,其中

Max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak } 表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ? ?? ak 两个数中最大的数,求解.

试题解析:依题意, T1 ( P) ? 2 ? 5 ? 7 ,

T2 ( P) ? 1 ? Max{T1 ( P),2 ? 4} ? 1 ? Max{7,6} ? 8 .

(3)数对序列: (4,6) , (11,11) , (16,11) , (11,8) , (5,2)的 T5 ( P ) 值最小.

T1 ( P) ? 10 , T2 ( P) ? 26 , T3 ( P) ? 42 , T4 ( P) ? 50 , T5 ( P) ? 52 .
考点:新定义题型. 【名师点睛】 近年北京卷理科压轴题一直为新信息题, 本题考查学生对新定义的理解能力和 使用能力,本题属于偏难问题,反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力,题目给出新 的定义: T1 ( P)、Tk ( P) 并对定义中 max{Tk-1(P),a1+a2+?+ak}做出解释,第一步尝试对 于数对序列 P:(2,5),(4,1)使用定义,求得 T1(P),T2(P),初步使用定义,加深对定义的理解, 第二步中的比较大小及第三步中的求最值就是在第一步的基础上的深化研究, 毕竟是一个新 的信息题,在一个全新的环境下进行思维,所以学生做起来还是很费力的.

2.

【 2015 高 考 北 京 , 理 20 】 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? N* , a1 ≤ 36 , 且

8 ?2an ,an ≤ 1 , …? . an ?1 ? ? ? n ? 1,2 , ,an ? 1 8 ?2an ? 3 6

记集合 M ? an | n ? N* .

?

?

(Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 【答案】 (1) M ? {6,12,24}, (2)证明见解析, (3)8

(Ⅲ) 由于 M 中的元素都不超过 36, 由 a1 ? 36 , 易得 a2 ? 36 , 类似可得 an ? 36 , 其次 M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是 4 的倍数,因为第二个数必定为偶 数,由 an 的定义可知,第三个数及后面的数必定是 4 的倍数,另外,M 中的数除以 9 的余数,由定义可知, an ?1 和 2an 除以 9 的余数一样, ①若 an 中有 3 的倍数,由(2)知:所有的 an 都是 3 的倍数,所以 an 都是 3 的倍数, 所以 an 除以 9 的余数为为 3,6,3,6,...... ,或 6,3,6,3......,或 0,0,0,...... ,而除 以 9 余 3 且是 4 的倍数只有 12,除以 9 余 6 且是 4 的倍数只有 24,除以 9 余 0 且是 4 的倍数只有 36,则 M 中的数从第三项起最多 2 项,加上前面两项,最多 4 项. ② an 中没有 3 的倍数,则 an 都不是 3 的倍数,对于 a3 除以 9 的余数只能是 1,4,7, 2,5,8 中的一个,从 a3 起,an 除以 9 的余数是 1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... , 不断的 6 项循环(可能从 2,4,8,7 或 5 开始) ,而除以 9 的余数是 1,2,4,8,5 且是 4 的倍数(不大于 36),只有 28,20,4,8,16,32,所以 M 中的项加上前两项最

多 8 项,则 a1 ? 1 时, M ? {1,2,4,8,16,32,28,20},项数为 8,所以集合 M 的元 素个数的最大值为 8. 考点定位:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析. 【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法,即考查了数列(分段形函数)求 值, 又考查了归纳法证明和对数据的分析研究, 考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力, 本题属于拔高难题,特别是第二、三两步难度较大,适合选拔优秀学生.

3. 【2014 上海,理 22】 (本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题
满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xoy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P i ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 记

?? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔.若曲线 C 与直线 l
没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.

1,2),B(? 1, 0) ⑴ 求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔;
⑵若直线 y ? kx 是曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; ⑶动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求证:通过 原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线. 【答案】(1)证明见解析; (2) k ? ( ??, ? ] ? [ , ??) ; (3)证明见解析. 【解析】 试题分析:本题属于新定义问题, (1)我们只要利用题设定义求出? 的值,若? ? 0 ,则结 论就可得证; (2)直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1的分隔线,首先直线与曲线无交点,即直
2 2

1 2

1 2

? x2 ? 4 y2 ? 1 线方程与曲线方程联立方程组 ? ,方程组应无实解,方程组变形为 ? y ? kx

(1 ? 4k 2 ) x2 ?1 ? 0 ,此方程就无实解,注意分类讨论,按二次项系数为 0 和不为 0 分类,
然后在曲线上找到两点位于直线 y ? kx 的两侧. 则可得到所求范围; (3) 首先求出轨迹 E 的 方程

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x ? 1 ,化简为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ?

1 ,过原点的直线中,当斜率存在时 x2

1 ? 2 2 1 ? x ? ( y ? 2) ? 2 2 2 设其方程为 y ? kx , 然后解方程组 ? 变形为 (1 ? k ) x ? 4kx ? 4 ? 2 , x , x ? ? y ? kx
这个方程有无实数解,直接判断不方便,可转化为判断函数 F ( x) ? (1 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 4 与

G ( x) ?

1 的图象有无交点,而这可利用函数图象直接判断. y ? F ( x) 是开口方向向上的 x2

二次函数, y ? G ( x) 是幂函数,其图象一定有交点,因此直线 y ? kx 不是 E 的分隔线,过 原点的直线还有一条就是 x ? 0 ,它显然与曲线 E 无交点,又曲线 E 上两点 (?1, 2), (1, 2) 一 定在直线 x ? 0 两侧,故它是分隔线,结论得证.

(3)由题得,设 M ( x, y ) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 ,
2 2

化简得,点 M 的轨迹方程为 [ x ? ( y ? 2) ] ? x ? 1
2 2 2

①当过原点的直线斜率存在时,设方程为 y ? kx . 联立方程, ?[ x ? ( y ? 2) ] ? x ? 1
2 2 2

? ?

y ? kx
4 3 2

? (k 2 ? 1) x 4 ? 4kx3 ? 4 x 2 ? 1 ? 0

.

令 F ( x) ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ?1 ,因为 F (0) F (2) ? ( ?1) ?[16( k ?1) ?15] ? 0 ,
2 2

所以方程 F ( x) ? 0 有实解, 直线 y ? kx 与曲线 E 有交点. 直线 y ? kx 不是曲线 E 的分隔线. ②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为 x ? 0 . 显然 x ? 0 与曲线 [ x ? ( y ? 2) ] ? x ? 1 没有交点,又曲线 E 上的两点 (?1, 2), (1, 2) 对于直
2 2 2

线 x ? 0 满足? ? ?1?1 ? 0 ,即点 (?1, 2),(1, 2) 被直线 x ? 0 分隔.所以直线 x ? 0 是 E 分隔 线. 综上所述,仅存在一条直线 x ? 0 是 E 的分割线. 【考点】新定义,直线与曲线的公共点问题. 【名师点睛】 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A, B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程.
? ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ?F?x,y?=0, ?

(1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0?直线与圆锥曲 线 C 相交; Δ=0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ<0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个 交点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物 线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.


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