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陕西省师范大学附属中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理


陕西师大附中 2013—2014 学年度第一学期期末考试高二年级数学(理 科)试题
一、选择题(10×5′=50′) 1.从甲地到乙地有 3 条路可选择,从乙地到丙地有 2 条路可选择,从丙地到丁地有 5 条路可选 择,那么从甲地经过乙、再过丙、最后到丁地可选择的旅行方式的不同种数为【 A. 10 B. 16 C. 30 D. 31 】. D. 】. 】.

2.若随机变量 ? ~ B(n, p) ,且 E? ? 300 , D? ? 200,则 p ? 【 A.

1 4
2

B.

1 3

C.

1 2

2 3

3.经过抛物线 y ? 2x 的焦点,且倾斜角为 135? 的直线方程为【 A. 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 8 x ? 8 y ? 1 ? 0 B. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

D. 16 x ? 16 y ? 1 ? 0 】.

? ? 2 ? 1.5x ,则当变量 x 增加一个单位时,【 4.设回归直线方程为 y
A. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 2 个单位 5.若 ? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos ? ? A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线

B. y 平均增加 1.5 个单位 D. y 平均减少 1.5 个单位

1 x2 y2 ? ? 1 是【 ,则曲线 5 sin ? cos?

】.

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

6.已知在 100 件产品中,有 3 件是次品.若从中任意抽取 5 件产品,则其中至少有 2 件次品 的取法种数为【
2 3 3

】.
2

A. C3 C97 + C3C97 7.在 (2 x ? A. 192
2 2

B. C100 ? C97
5 5

C. C100 ? C3C97
5 1 4

2 3 D. C3 C97

1 6 ) 的展开式中,含 x 2 项的系数为【 x
B. ?192

】. D. ?120 】.

C. 180

8.与双曲线 3x ? y ? 3 的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为【

-1-

A. x ?
2

y2 ?1 3

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y2 ? ?1 12 16

D.

x2 y2 ? ?1 16 12
】.

9.从 1,2,?,9 这九个数中随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是【 A.

5 9

B.

4 9

C.

10.某考察团对全国 10 大城市的职工人均工资 x (千元)与居民人均消费 y (千元)进行统计

11 21

D.

10 21

? ? 0.66x ? 1.5 6 2. 若某城市居民人均消费 调查知 : y 与 x 具有相关关系 , 其回归方程为 y
水平约为 7.675 千元,则该城市消费额占人均工资收入的百分比约为【 A. 66 % B. 72 % C. 77 % 】. D. 83 %

二、填空题(5×5′=25′)
1 2 3 4 99 11. C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? ? ? C100 ? ___________.

12.张先生将三张编号为 001、002、003 的世博会入园门票全送给甲、乙两位朋友,每人至少 一张,但甲不要连号票,则张先生送给他们门票的方法有_________种. 13.若过点 P(5, ?2) 的双曲线的两条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的实 轴长为___________. 14.五个人站成前后两排,前排站两人、后排站三人的站法种数为___________. 15.关于曲线 C :

1 1 ? 2 ? 1 的下列说法正确的有___________. 2 x y

①关于原点对称; ②关于直线 x ? y ? 0 对称; ③是封闭图形,面积大于 2? ; ④不是封闭图形, 与圆 x ? y ? 2 无公共点;⑤与曲线 D : x ? y ? 2 2 有且只有四个公共点.
2 2

陕西师大附中 2013—2014 学年度第一学期 期末考试高二年级数学(理科)答题纸 一、选择题(10×5′=50′) 题号 答案 二、填空题(5×5′=25′) 11._________ 12._________ 13._________ 14._________ 15._________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题(45′) 16.(本题 10 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立

-2-

的,遇到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min . 3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? ( min )的分布列及期望.

17.(本题 10 分) 已知 O 为坐标原点,过点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆 x ? 2 y ? 2 相交于不同的
2 2

点 A, B ,求 ?OAB 面积 S 的最大值.

-3-

18.(本题 12 分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题, 按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备 选题中考生甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是 每题正确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.

2 ,且 3

-4-

19.(本题 13 分) 已知中心在坐标原点的椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,一个焦点为 F (2,0) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B ,交 y 轴于 M ,若 MA ? ?1 AF ,且 MB ? ?2 BF , 求证:

?1 ? ?2 为定值.

-5-

陕西师大附中 2013—2014 学年度第一学期 期末考试高二年级数学(理科)参考答案 一、选择题(10×5′=50′) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(5×5′=25′) 11.5049 ④⑤ 三、解答题(45′) 16.解:(1)设该学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因事件 A 等于事件 “该 学生在第一和第二个路口没遇到红灯 ,在第三个路口遇到红灯”,故事件 A 的概率为 12.4 13.6 14.120 15.①②

? 1? ? 1? 1 4 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? . ? 3 ? ? 3 ? 3 27
(2)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8 (单位: min ).事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该 学生在路上遇到 k 次红灯” (k ? 0,1,2,3,4) ,∴ P (? ? 2k ) ? C4 ( ) ( )
k k

1 3

2 3

4? k

(k ? 0,1,2,3,4) ,即

? 的分布列是
?
0 2 4 6 8

16 32 8 8 81 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3

P

1 81

17.解:由题意可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,以及点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 , x2 是方程组 ? 数根.
2 2 2 故有 ? ? (8k ) ? 24(2k ? 1) ? 8(2k ? 3) ,且 x1 ? x2 ? ?

? y ? kx ? 2 ?x ? 2 y ? 2
2 2

消去 y 所得方程 (2k ? 1) x ? 8kx ? 6 ? 0 的两个不等实
2 2

8k 6 , x1 x2 ? . 2 2 2k ? 1 2k ? 1

-6-











?OAB





S ?| S ?OPA ? S ?OPB |?|
由 x1 x2 ?

1 1 | OP | ? | x1 | ? | OP | ? | x2 ||?|| x1 | ? | x2 || . 2 2
? 0 知 S ?|| x1 | ? | x2 ||?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ,从而可得:

6 2k ? 1
2

S ? (?

8k 2 6 2 ? 4 ? 2k 2 ? 3 2 4 ? 2k 2 ? 3 2 . ) ? 4 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 2
2

当且仅当 2k ? 3 ? 4 (此时的实数 k ? ?

14 满足 ? ? 8(2k 2 ? 3) ? 0 )时, S 取得最大值 2

2 . 2
18.解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 X1 , X 2 ,则 X 1 取值分别为 1,2,3 ; X 2 取值 分别为 0,1,2,3 ,故 P( X1 ? 1) ?
1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 , , ? P ( X ? 2) ? ? P ( X ? 3) ? ? . 1 1 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

X1

1
1 5

2
3 5

3
1 5

p
1 3 1 EX 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5

2 1 C30 (1 ? ) 3 ? 3 27 6 12 8 理: P ( X 2 ? 1) ? , P ( X 2 ? 2) ? , P ( X 2 ? 3) ? . 27 27 27


P( X 2 ? 0) ?

,



∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:

X2

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

p
EX 2 ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2. 27 27 27 27 1 3 1 2 2 2 2 (2)∵ DX 1 ? (2 ? 1) ? ? (2 ? 2) ? ? (2 ? 3) ? ? , 5 5 5 5 1 6 12 8 2 DX 2 ? (2 ? 0) 2 ? ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? . 27 27 27 27 3
-7-

∴ DX1 ? DX 2 . ∵ P( X 1 ? 2) ?

12 8 3 1 ? ? 0.74 , ? ? 0.8 , P( X 2 ? 2) ? 27 27 5 5

∴ P( X1 ? 2) ? P( X 2 ? 2) . 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完 成 2 道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强. 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分. 19.解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,则由题知 b ? 1 , c ? 2 ,故 a 2 ? 5 . 2 a b x2 ? y2 ? 1 . 5

∴椭圆 C 的方程为

(2)方法一:设 A, B, M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,又知 F 点为 (2, 0) . ∵ MA ? ?1 AF ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) .∴ x1 ?

y0 2?1 , y1 ? . 1 ? ?1 1 ? ?1

将点 A 坐标代到椭圆方程得 (

y 1 2?1 2 2 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1 ,故 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0 . 5 1 ? ?1 1 ? ?1
2 2

同理,由 MB ? ?2 BF 可得: ?2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 ? 0 . ∴ ?1 , ?2 是方程 x 2 ? 10x ? 5 ? 5 y0 ? 0 的两个根, ∴ ?1 ? ?2 ? ?10 .
2

方法二:设 A, B, M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,又易知 F 点的坐标为

(2, 0) .显然直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) .
联立直线 l 与椭圆 C 的方程并消去 y 得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 5 ? 0 .
2 2 2 2

∴ x1 ? x 2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 x x ? , . ???????????????① 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

又 ∵ MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,将各点坐标代入得 ?1 ?

x2 x1 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

故 ?1 ? ?2 ?

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? .????????????② 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2

-8-

由①②可得 ?1 ? ?2 ? ?10 .

-9-


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