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最新高考数学(文)全程复习课件:选修4-5-1-绝对值不等式_图文

选修4-5-1 绝对值不等式 考点梳理 1.含有绝对值的不等式定理 (1)定理:对任意实数 a 和 b,有|________________ ,其中 a+b|≤|a|+|b| 等号成立的条件为 ab≥0. (2)定理中的 b 以-b 代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.其中等 号成立的条件为 ab__________. ≤0 (3)对任意实数 a 和 b,有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集: 不等式 a>0 a=0 a<0 {x |-a<x<a} __________ ________ ________ |x|<a ? ? >a 或 x<-a} {x |x∈R 且 x≠0}________ R ____________ ____________ |x|>a {x|x (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式 的解法. ①利用绝对值不等式的几何意义求解, 体现了数形结合的思 想. ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程 的思想. 考点自测 1.设 ab<0,a,b∈R,那么正确的是( A.|a+b|>|a-b| B.|a-b|<|a|+|b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|-|b|| ) 解析:方法一:特殊值法 取 a=1,b=-2,则满足 ab=-2<0, 这样有|a+b|=|1-2|=1, |a-b|=|1-(-2)|=3, |a|+|b|=1+2=3,||a|-|b||=|1-2|=1, ∴只有选项 C 成立,而 A、B、D 都不成立. 方法二:由 ab<0 得 a,b 异号, 易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||, ∴选项 C 成立,A、B、D 均不成立. 答案:C 2.不等式 1<|x+1|<3 的解集为( A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4) C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2) ) 解析:1<|x+1|<3?1<x+1<3 或-3<x+1<-1?0<x <2 或-4<x<-2. 答案:D 3.不等式|2x-1|<2-3x 的解集是( 1 1 3 A.{x|x<2} B.{x|2≤x<5} 3 3 C.{x|x<5} D.{x|x>5} ) 解 析 : |2x - 1| < 2 - 3x ? 3x - 2 < 2x - 1 < 2 - 3x ? ? ?3x-2<2x-1 ? ? ?2x-1<2-3x ? ?x<1 3 ? ? 3 ?x<5. x< ? ? 5 答案:C 4. 若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3, 则b 的取值范围为__________. -4+b 4+b 解析:由|3x-b|<4 得-4<3x-b<4,即 3 <x< 3 , ∵不等式 |3x - b| < 4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3 ,则 ? -4+b ?0≤ 3 <1 ? ?4≤b<7 ? ?? ,∴5<b<7. ? 4 + b 5 < b ≤ 8 ? ?3< 3 ≤4 ? 答案:(5,7) 5.已知关于 x 的不等式|x-2|-|x-5|-k>0 的解集为 R, 则实数 k 的范围是__________. 解析:∵||x-2|-|x-5||≤|(x-2)-(x-5)|=3, ∴-3≤|x-2|-|x-5|≤3. ∴|x-2|-|x-5|>k 的解集是 R 时,k<-3. 答案:(-∞,-3) 疑点清源 1.两数和与差的绝对值不等式的性质 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b| (1) 对绝对值三角不等式定理 |a| - |b|≤|a± b|≤|a| + |b| 中等号 成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时. (2)该定理可以强化为:||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|, 它经常用于证明含绝对值的不等式. 2.解绝对值不等式的基本方法有: (1)利用绝对值的定义, 通过分类讨论转化为解不含绝对值符 号的普通不等式; (2)当不等式的两端均为正号时, 可通过两边平方的方法, 转 化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. 3.解绝对值不等式时要综合考虑,选择最简捷的解法. 题型探究 题型一 绝对值不等式性质的应用 例 1“|x-a|<m,且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a, m∈R)的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 解析: ∵|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m, ∴|x-a|<m,且|y-a|<m 是|x-y|<2m 的充分条件. 取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有|x-y|=2<5=2m, 但|x-a|=5,不满足|x-a|<m=2.5, 故|x-a|<m 且|y-a|<m 不是|x-y|<2m 的必要条件. 答案:A 点评: 利用绝对值不等式的性质实施双向推理来论证是解题 的关键. 变式探究 1 已知 α、β 是实数,给出下列四个论断:①|α +β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;③|α|>2 2,|β|>2 2;④|α+β| >5.以其中的两个论断为条件,其余两个论断作为结论,写出你 认为正确的一个命题. 解析:①|α+β|=|α|+|β|?α 与 β 同号,故②成立;再由③得 |α+β|=|α|+|β|>4 2>5,故④成立. ∴①③?

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