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北师大版数学选修1-1教案:第2章-知识点拨:椭圆的简单性质


椭圆的简单性质点拨
一.基础知识精讲

x2 y2 2 2 1.椭圆 a + b =1(a>b>0), 范围: 椭圆位于直线 x=± a 和 y=± b 所围成的矩形里, 即|x|
≤a,|y|≤b.

2.对称性:椭圆关于 x 轴,y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴,原点是椭圆的 对称中心,即为椭圆的中心. 3.顶点:椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b)

c 4.离心率:e= a ,(o<e<1),e 越接近于 1,则椭圆越扁;e 越接近于 0,椭圆就越接近于圆.
5.椭圆的第二定义:平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数 e(0<e<1) 的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点,定直线为椭圆的准线.

x2 y2 2 2 6.椭圆的焦半径公式:设 P(x0,y0)是椭圆 a + b =1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2 分别
是椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.

? x ? a cos? (?是参数) ? 7.椭圆的参数方程 ? y ? b sin ?
二.命题趋势分析 1.熟练掌握椭圆的第二定义,两种形式的标准方程及几何性质,运用它们及参数间的关系 解决相关问题. 2.必要时,椭圆方程可设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),这样计算简洁,还可避免对焦点位 置的讨论. 3.遇到弦的中点问题时,常用点差法. 三.重点难点例析 通过“圆的方程”的学习我们知道, 圆的几何性质问题用代数的方法解题简便, 计算量小的 特点,同样,椭圆也有类似的几何性质,那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程, 在此基础上来学习椭圆的几何性质,掌握椭圆的性质,标准方程,及椭圆的第二定义.

y2 x2 例 1P 是椭圆方程为 16 + 9 =1 上的任意一点, F1, F2 是椭圆的两个焦点, 试求|PF1|· |
PF2|的取值范围. 解析:设|PF1|=t,则 t∈ [a-c,a+c] ,即 t∈ [4- 7 ,4+ 7 ]且|PF2|=2a-t=8-t. ∴ |PF1|· |PF2|=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈ [4- 7 ,4+ 7 ] 当 t=4 时,取最大值为 16, 当 t=4± 7 时,取最小值为 9. ∴ 所求范围为[9,16] 。 例2 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F2 作一条直线交椭圆于 P、Q 两点,使 PF1⊥ PQ,且|

PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. 解析:如下图,设|PF1|=t,则|PQ|=t,|F1Q|= 2 t,由椭圆定义有: |PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a, ∴ |PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a 即( 2 +2)t=4a,t=(4-2 2 )a, ∴ |PF2|=2a-t=(2 2 -2)a, 在 Rt△PF1F2 中,|F1F1|2=(2c)2, ∴ [(4-2 2 )a]2+[(2 2 -2)a]2=(2c)2

c2 2 ∴a =9-6 2

c ∴ e= a = 6 - 3 ,

x2 y2 2 2 例 3 已知 P 是椭圆 a + b =1(a>b>0)上的一点,F1F2 为两焦点,且 F1P⊥ F2P,若 P 到
两准线的距离分别为 6 和 12,求此椭圆方程. 解析:(利用椭圆第二定义求解) ∵ 点 P 到两准线的距离分别是 6 和 12

a2 ∴ 2· c =6+12 即 a2=9c

PF1

PF2

由椭圆第二定义知,e= d 1 = d 2 ∵ d1=6,d2=12 ∴ |PF1|=6e,|PF2|=12e 又∵ PF1⊥ PF2 ∴ |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2

∴ 36e2+144e2=4c2

c ∵ e= a

∴ a2=45

又 a2=9c ∴ c=5 ∴ b2=a2-c2=20,

x2 y2 ∴ 所求椭圆的方程的 45 + 20 =1
例 4 在椭圆 3x2+4y2=12 上,是否存在相异的两点 A、B 关于直线 y=4x+m 对称并说明理 由. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),

1 直线 AB:y=- 4 x+t,将 AB 的方程代入椭圆的方程消去 y 得,13x2-8tx+16t2-48=0
∴ △ =(-8t)2-4× 13× (16t2-48)>0,

13 13 ∴ - 2 <t< 2

8 ① 且 x1+x2= 13 t

又 AB 的中点 M 在直线 y=4x+m 上,

12 4 13 13 t=4×13 t+m ∴ ∴ t=- 4 m 2 2 代入① 式得:- 13 13 <m< 13 13 。
解法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线 l:y=4x+m 对称的两点,则

x12 y 12 4 + 3 =1

2 2 x2 y2 ① 4 + 3 =1



2 2 x12 ? x 2 y12 ? y 2 3 4 ① -② 得 + =0

3( x1 ? x 2 ) y1 ? y 2 ∴x1 ? x2 = ? 4( y1 ? y 2 )
y1 ? y 2 1 而 KAB= x1 ? x2 =- 4 , 3( x1 ? x 2 ) 1 故有 ? 4( y1 ? y 2 ) =- 4 ,
设 AB 的中点为(x,y),则有 x1+x2=2x,y1+y2=2y, 代入即得 AB 中点的轨迹方程为 y=3x.

? y ? 3x ? x ? ?m ?? ? ? y ? ?3m 由 ? y ? 4x ? m
由于 AB 的中点在椭圆内部

( ? m) 2 (?3m) 2 4 3 ∴ 4 + <1 ? m2< 13 ,
2 2 ?- 13 13 <m< 13 13 。
2 2 故当 m∈ (- 13 13 , 13 13 )时,椭圆 C 上有不同的两点关于直线对称.

x2 y2 9 ? 9 =1 上不同三点 A(x1,y1),B(4, 15 ),C(x2,y2)与焦点 F(4,0)的距离成等差 例 5 椭圆 25
数列. (1)求证:x1+x2=8。 (2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T,求直线 BT 的斜率 k. 解析:由题知 a=5,b=3,c=4. (1)由椭圆的第二定义知:

AF a2 c c 4 ? x1 c = a ? |AF|=a- a x1=5- 5 x1
4 同理有|CF|=5- 5 x2 9 ∵ |AF|+|CF|=2|BF| 且|BF|= 15 4 4 18 ∴ (5- 5 x1)+(5- 5 x2)= 5
即 x1+x2=8。

y1 ? y 2 2 (2)∵ 线段 AC 的中点为(4, ),
y1 ? y 2 x1 ? x 2 2 ∴ 它的垂直平分线方程为 y= y 2 ? y1 (x-4),
2 y12 ? y 2 又点 T 在 x 轴上,设其坐标为(x0,0),代入上式得,x0-4= 2( x1 ? x 2 )



点 A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆上

9 9 ∴ y21= 25 (25-x21),y22= 25 (25-x22),

9 ∴ y 1-y 2=- 25 (x1+x2)(x1-x2),
2 2

将此式代入① 并利用 x1+x2=8 得

36 x0-4=- 25 。

9 ?0 5 5 4 ? x 0 = 4 。 ∴kBT=


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