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人教A版高二数学选修2-1第二章第三节 双曲线的简单几何性质 课件 (共18张PPT)_图文

1 复习回顾:双曲线的标准方程: 双曲线的图象特 形式一: x 2 y 2 点与几何性质到现 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2 在仍是一个谜? F1 -c,0)、 F2 (焦点在x轴上,( (c,0)) 形式二: y 2 x 2 a 2 ? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c)) 其中 c ? a ? b 类似于椭圆几何性质的研究. 2 2 2 现在就用方 程来探究一下! 2 x2 y2 一、研究双曲线 a 2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 y (x,y) o a (x,-y) x2 2 2 ? 2 ≥ 1, 即x ≥ a a ? x ≥ a , x ≤ ?a 1、范围 (-x,y) -a x x2 y2 另外 , 2 ? 2 ? 0 可知并夹在两 (-x,-y) a b 相交直线之间.(如图) 2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心. (下一页)顶点 3 3、顶点 (1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 ( 2) 的实轴,它的长为2a,a叫做 B2 叫做双 实半轴长;线段 B1 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. b y B2 o a A2 A1 -a x -b B 1 (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. x 2 ? y 2 ? m(m ? 0) (下一页)渐近线 4 x2 y2 b ⑴双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线为 y ? ? x a a b y 4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况 如何记忆双曲线的渐近线方程? 2 2 注 :等轴双曲线 x ? y ? m(m ? 0) 的渐近线为 y ? ? x b B2 A1 o A2 a (2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图 x B1 (3)渐近线对双曲线的开口的影响 (动画演示情况) b y?? x a b y? x a 双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢? 5 (下一页)离心率 ⑵ e 的范围: ? c>a>0 ? e >1 ⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度. 另外 c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? ,叫做双曲线的离心率. a b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a 5、离心率 b b ∴当 e ? (1, ??) 时, ? (0, ?? ) ,且 e 增大, 也增大. a a (动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 (4)等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、 ? e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大. c 2 2 2 e ? , a ? b ? c ∵ a 6 例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程. y x ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9 可得实半轴长a=4,虚半轴长b=3 2 2 焦点坐标为(0,-5)、(0,5) 4 渐进线方程为y ? ? x 3 7 c 5 离心率e ? ? a 4 5 例2 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? 4 , 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方 程,并且求出它的渐近线和焦点坐标. 解: x2 y2 ? ?1 64 36 3 ? 渐近线方程为 y ? ? x 4 焦点F1 (?10,0), F2 (10,0) 3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y?? x 5 5 离心率为 或 . 4 3 ,它的 8 4 练习 2 2 (1) : x ? 8 y ? 32 的实轴长 8 2 虚轴长为_____ 4 ?? 6,0? 顶点坐标为 ? 4 2 ,0 ,焦点坐标为_________ ? ? 3 2 离心率为_______ 4 2 x x 2 ? y ? 1 的渐近线方程为: y ? ? (2) : 4 2 2 x x 2 ? y ? 4的渐近线方程为: y ? ? 2 4 2 x x 2 的渐近线方程为: y ? ? ? y ? ?1 4 2 2 x ? y 2 ? ?4 的渐近线方程为: y ? ? x 4 2 9 例3:求下列双曲线的标准方程: x2 y 2 (1)与双曲线 ? ? 1有相同渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16 x2 y 2 解: ?1? 设所求双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? 0 ? 9 16 9 12 1 则 ? ? ?, 解得? ? 4 9 16 x2 y 2 1 x2 y2 故所求双曲线方程为 ? ? 即 ? ?1 9 16 9 16 4 4 4 2 ?9 ? ? 1? ? 2 ? 渐近线方程为:y ? ? x且过点? , 3 ?2 ? 2 x y ? 2 ? 渐近线方程y ? ? x可化为 ? ? 0 3 3 2 81 2 2 x y 设所求双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? 0 ? 则 4 ? 1 ? ?,解得? ? 2 9 4 9 4 2 2 2 2 x y x y 10 故所求双曲线方程为 ? ? 2即 ? ?1 9 4 18 8 ? ? 例3:求下列双曲线的标准方程: x2 y 2 (3)与双曲线 ? ? 1有相同焦点,且过点 3 2, 2; 16 4 ? ? 解: 0 , ? 3? 焦点为 ?2 5 , x2 y2 设所求双曲线方程为 ? ? 1? 0 ? m ? 20 ? 20 ? m m 18 4 则 ?