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2016-2017学年江苏省泰州中学附中八年级(上)第一次月考数学试卷


2016-2017 学年江苏省泰州中学附中八年级(上)第一次月考数 学试卷
一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. (3 分)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中, 不是轴对称的是( )

A.

B.

C.

D. )

2. (3 分)根据下列条件,能判定△ABC≌△A′B′C′的是( A.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′ B.∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=B′C′ C.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ D.AB=A′B′,BC=B′C′,△ABC 的周长等于△A′B′C′的周长

3. (3 分)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 4. (3 分)将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC=(





A.73° B.56° C.68° D.146° 5. (3 分)如图,△ABC 的面积为 6,AC=3,现将△ABC 沿 AB 所在直线翻折,使 点 C 落在直线 AD 上的 C′处, P 为直线 AD 上的一点, 则线段 BP 的长不可能是 ( )

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A.3

B.4

C.5.5 D.10

6. (3 分)如图的 2×4 的正方形网格中,△ABC 的顶点都在小正方形的格点上, 这样的三角形称为格点三角形, 在网格中与△ABC 成轴对称的格点三角形一共有 ( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 7. (3 分)等腰三角形的对称轴是 . .

8. (3 分) 若等腰三角形的周长是 20cm, 一边长是 8cm, 则其底边的长为

9. (3 分)如图,长方形 ABCD 的长和宽分别为 6cm、3cm,E、F 分别是两边上 的点,将四边形 AEFD 沿直线 EF 折叠,使点 A 落在 A′点处,则图中阴影部分的 周长为 cm.

10. (3 分)如图,已知在△ABC 中,CD 是 AB 边上的高,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5,DE=2,则△BCE 的面积等于 .

11. (3 分)如图,在△PAB 中,PA=PB,M,N,K 分别是 PA,PB,AB 上的点, 且 AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P 的度数为 .

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12. (3 分)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AC,垂足为 E,BF∥AC 交 ED 的延长线于点 F, 若 BC 恰好平分∠ABF, AE=2BF. 给出下列四个结论: ①DE=DF; ②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论是 .

13. (3 分)如图,将 Rt△ABC 绕直角顶点顺时针旋转 90°,得到△A′B′C,连结 AA′,若∠AA′B′=20°,则∠B 的度数为 °.

14. (3 分)如图 1 是我们常用的折叠式小刀,图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去 一个小半圆, 其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成 如图 2 所示的∠1 与∠2,则∠1 与∠2 的度数和是 度.

15. (3 分)如图为 6 个边长等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=

°.

16. (3 分)如图:已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,在直线 AC 上找点 P, 使△ABP 是等腰三角形,则∠APB 的度数为
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三、解答题(共 102 分) 17. (8 分) 如图, 在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的长方形中, 点 A, B, C 在小正方形的顶点上. (1)在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△AB′C′; (2)计算△ABC 的面积; (3)在直线 l 上找一点 P,使 PB+PC 的长最短.

18. (10 分)如图,P 在∠AOB 内,点 M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点, MN 分 别交 OA、OB 于 E、F. (1)若△PEF 的周长是 10cm,求 MN 的长. (2)若∠AOB=30°,试求∠MON 的度数.

19. (10 分)如图,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证: (1)△AEF≌△CEB; (2)AF=2CD.

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20. (10 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC=AD,M 为 AC 的中点, 过点 M 作 MN∥AD 交 CD 于点 N,连接 BM,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2,求△BNM 的面积.

21. (8 分)如图,已知 AB⊥BC,垂足为点 B,AB⊥AD,垂足为点 A,点 E 是 CD 的中点,说明:AE=BE.

22. (10 分)已知:等边△OAB 的边长为 3,另一等腰△OCA 与△OAB 有公共边 OA,且 OC=AC,∠C=120°.现有两动点 P、Q 分别从 B、O 两点同时出发,点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 BO 向点 O 运动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向 点 C 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止运动.请回答下列问 题: (1)在运动过程中,△OPQ 的面积记为 S,请用含有时间 t 的式子表示 S. (2)在等边△OAB 的边上(点 A 除外) ,是否存在点 D,使得△OCD 为等腰三角 形?如果存在,这样的点 D 共有 个,请用直尺和圆规在图上画出来.

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23. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,点 E 是 AC 的中点,AC=2AB,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 作 AF∥BC, 连接 DE 并延长交 AF 于点 F, 连接 FC. 求 证:AF=DA.

24. (10 分)已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC. (1)特殊情形:如图 1,当 DE∥BC 时,有 DB EC. (填“>”,“<”或“=”)

(2)发现探究:若将图 1 中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转 α(0°<α<180°)到图 2 位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明 理由. (3)拓展运用:如图 3,P 是等腰直角三角形 ABC 内一点,∠ACB=90°,若将△ BPC 绕点 C 顺时针方向旋转 90 度,P 点的对应点为 M,若∠PMA=90°,问 B、P、 M 是否共线,为什么?

25. (12 分) (1)已知:△ABC 是等腰三角形,其底边是 BC,点 D 在线段 AB 上, E 是直线 BC 上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①) .求证:EB=AD; (2)若将(1)中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”,其 它条件不变(如图②) , (1)的结论是否成立,并说明理由;
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(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其它条件不变,则 多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)

的值是

26. (14 分)已知:如图,矩形 OABC,OA=6,AB=4,D 是 BC 的中点.动点 P 从 O 点出发,以每秒 1 个单位的速度,沿着 OA、AB、BD 运动.设 P 点运动的 时间为 t 秒. (1)用含有 t 的代数式表示△POD 的面积 S,并求出△POD 的面积等于 9 时 t 的值; (2)当点 P 在 OA 上运动时,连结 CP.问:是否存在某一时刻 t,当 CP 绕点 P 旋转 90 度时,点 C 能恰好落到 AB 边上,若存在,请求出 t 的值;若不存在,请 说明理由; (3) 在 P 点的运动过程中, 当 t 取何值时, △POC 为等腰三角形 (直接写答案) ; (4)当点 P 在 AB 上运动时,试探索当 PO+PD 的长最短时 t 的值.

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2016-2017 学年江苏省泰州中学附中八年级(上)第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. (3 分) (2016?北京)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下 列甲骨文中,不是轴对称的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项错误; B、是轴对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分折叠后可重合.

2. (3 分) (2015 秋?武隆县校级期中)根据下列条件,能判定△ABC≌△A′B′C′ 的是( )

A.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′ B.∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=B′C′ C.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ D.AB=A′B′,BC=B′C′,△ABC 的周长等于△A′B′C′的周长 【分析】根据全等三角形的判定(三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称 SSS) )可得当 AB=DE,BC=EF,AC=DF 可判定△ABC≌△DEF,做题时要对选项逐 个验证.
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【解答】解:A、满足 SSA,不能判定全等; B、不是一组对应边相等,不能判定全等; C、满足 AAA,不能判定全等; D、符合 SSS,能判定全等. 故选 D. 【点评】 本题考查了三角形全等的判定方法, 判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两 个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的 夹角,难度适中.

3. (3 分) (2007?中山) 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ( A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点



【分析】 因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等,所以到三角形的三边的 距离相等的点是三条角平分线的交点. 【解答】解: ∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等, ∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点. 故选:D. 【点评】 该题考查的是角平分线的性质,因为角的平分线上的点到角的两边的距 离相等, 所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点,易错选项 为 C.

4. (3 分) (2016?西宁)将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC= ( )

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A.73° B.56° C.68° D.146° 【分析】根据补角的知识可求出∠CBE,从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠ CBE,可得出∠ABC 的度数. 【解答】解:∵∠CBD=34°, ∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°, ∴∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°. 故选 A.

【点评】本题考查了折叠问题,这道题目比较容易,根据折叠的性质得出∠ABC= ∠ABE= ∠CBE 是解答本题的关键.

5. (3 分) (2016?枣庄)如图,△ABC 的面积为 6,AC=3,现将△ABC 沿 AB 所在 直线翻折,使点 C 落在直线 AD 上的 C′处,P 为直线 AD 上的一点,则线段 BP 的 长不可能是( )

A.3

B.4

C.5.5 D.10

【分析】过 B 作 BN⊥AC 于 N,BM⊥AD 于 M,根据折叠得出∠C′AB=∠CAB,根 据角平分线性质得出 BN=BM,根据三角形的面积求出 BN,即可得出点 B 到 AD 的最短距离是 4,得出选项即可. 【解答】解:如图: 过 B 作 BN⊥AC 于 N,BM⊥AD 于 M, ∵将△ABC 沿 AB 所在直线翻折,使点 C 落在直线 AD 上的 C′处, ∴∠C′AB=∠CAB,
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∴BN=BM, ∵△ABC 的面积等于 6,边 AC=3, ∴ ×AC×BN=6, ∴BN=4, ∴BM=4, 即点 B 到 AD 的最短距离是 4, ∴BP 的长不小于 4, 即只有选项 A 的 3 不正确, 故选 A.

【点评】本题考查了折叠的性质,三角形的面积,角平分线性质的应用,解此题 的关键是求出 B 到 AD 的最短距离,注意:角平分线上的点到角的两边的距离相 等.

6. (3 分) (2016 秋?桐乡市期中)如图的 2×4 的正方形网格中,△ABC 的顶点 都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC 成轴 对称的格点三角形一共有( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【分析】根据题意画出图形,找出对称轴及相应的三角形即可. 【解答】解:如图:

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共 3 个, 故选 B. 【点评】本题考查的是轴对称图形,根据题意作出图形是解答此题的关键.

二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 7. (3 分) (2015 春?普陀区期末)等腰三角形的对称轴是 分线或底边的中线)所在的直线 . 底边上的高(顶角平

【分析】 本题根据等腰三角形是轴对称图形, 其对称轴是底边上的高所在的直线, 因为等腰三角形底边上的高,顶角平分线,底边上的中线三线合一,所以等腰三 角形的对称轴是底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线. 【解答】解:根据等腰三角形的性质,等腰三角形的对称轴是底边上的高(顶角 平分线或底边的中线)所在的直线. 故填底边上的高(顶角平分线或底边的中线) . 【点评】 此题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形的知识;对两个性质的熟练 掌握是正确解答本题的关键.

8. (3 分) (2016 秋?泰州校级月考) 若等腰三角形的周长是 20cm, 一边长是 8cm, 则其底边的长为 8cm 或 4cm .

【分析】 题目给出等腰三角形有一条边长为 8cm, 而没有明确腰、 底分别是多少, 所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 【解答】解:∵当腰为 8cm 时,底边长=20﹣8﹣8=4cm,能构成三角形; 当底为 8cm 时,三角形的腰=(20﹣8)÷2=6cm,其他两边长为 6cm,6cm. 故答案为:8cm 或 4cm. 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和 底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成 三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.

9. (3 分) (2014 秋?马鞍山期末) 如图, 长方形 ABCD 的长和宽分别为 6cm、 3cm, E、F 分别是两边上的点,将四边形 AEFD 沿直线 EF 折叠,使点 A 落在 A′点处,
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则图中阴影部分的周长为

18

cm.

【分析】根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为: BE+EA′+BC+A′D′+FD′=AB+BC+AD+CD,进而求出即可. 【解答】解:∵将四边形 AEFD 沿直线 EF 折叠,使点 A 落在 A′点处, ∴AE=A′E,DF=D′F,AD=A′D′ ∴图中阴影部分的周长为:BE+EA′+BC+A′D′+FD′=AB+BC+AD+CD, ∵长方形 ABCD 的长和宽分别为 6cm、3cm, ∴图中阴影部分的周长为:6+3+6+3=18(cm) , 故答案为:18. 【点评】 此题主要考查了翻折变换的性质, 根据已知得出 AE=A′E, DF=D′F, AD=A′D′ 是解题关键.

10. (3 分) (2015 秋?芜湖县校级期中)如图,已知在△ABC 中,CD 是 AB 边上 的高,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5,DE=2,则△BCE 的面积等于 5 .

【分析】 过 E 作 EF⊥BC 于点 F, 由角平分线的性质可求得 EF=DE, 则可求得△BCE 的面积. 【解答】解: 过 E 作 EF⊥BC 于点 F, ∵CD 是 AB 边上的高,BE 平分∠ABC, ∴BE=DE=5, ∴S△BCE= BC?EF= ×5×1=5,
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故答案为:5.

【点评】 本题主要考查角平分线的性质,掌握角平分线上的点到角两边的距离相 等是解题的关键.

11. (3 分) (2016 秋?曲阜市期中)如图,在△PAB 中,PA=PB,M,N,K 分别 是 PA, PB, AB 上的点, 且 AM=BK, BN=AK, 若∠MKN=44°, 则∠P 的度数为 92° .

【分析】先利用“SAS”证明△AMK≌△BKN 得到∠AKM=∠BNK,再利用三角形外 角性质得到∠B=∠MKN=44°,然后根据三角形内角和定理计算∠P 的度数. 【解答】解:∵PA=PB, ∴∠A=∠B, 在△AMK 和△BKN 中 , ∴△AMK≌△BKN, ∴∠AKM=∠BNK, ∵∠AKN=∠B+∠BNK, 即∠AKM+∠MKN=∠B+∠BNK, ∴∠B=∠MKN=44°, ∴∠P=180°﹣2×44°=92°. 故答案为 92°. 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质:全等三角形的判定是结合全等三 角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰
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当的判定条件.

12. (3 分) (2016 秋?泰州校级月考)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AC, 垂足为 E,BF∥AC 交 ED 的延长线于点 F,若 BC 恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出 下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论是 ①②③④ .

【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到 BD=CD,AD⊥BC,故②③正确; 通过△CDE≌△DBF,得到 DE=DF,CE=BF,故①④正确. 【解答】解:∵BF∥AC, ∴∠C=∠CBF, ∵BC 平分∠ABF, ∴∠ABC=∠CBF, ∴∠C=∠ABC, ∴AB=AC, ∵AD 是△ABC 的角平分线, ∴BD=CD,AD⊥BC,故②③正确, 在△CDE 与△DBF 中, , ∴△CDE≌△DBF, ∴DE=DF,CE=BF,故①正确; ∵AE=2BF, ∴AC=3BF,故④正确; 故答案为:①②③④ 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线的性
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质,掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键.

13. (3 分) (2016?松阳县二模)如图,将 Rt△ABC 绕直角顶点顺时针旋转 90°, 得到△A′B′C,连结 AA′,若∠AA′B′=20°,则∠B 的度数为 65 °.

【分析】由将 Rt△ABC 绕直角顶点顺时针旋转 90°,得到△A′B′C,可得△ACA′是 等腰直角三角形,∠CAA′的度数,然后由三角形的外角的性质求得答案. 【解答】解:∵将 Rt△ABC 绕直角顶点顺时针旋转 90°,得到△A′B′C, ∴AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠AB′C, ∴∠CAA′=45°, ∵∠AA′B′=20°, ∴∠AB′C=∠CAA′+∠AA′B=65°, ∴∠B=65°. 答案为:65°. 【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度不大,注 意掌握旋转前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用.

14. (3 分) (2016?湖州)如图 1 是我们常用的折叠式小刀,图 2 中刀柄外形是 一个矩形挖去一个小半圆, 其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动 刀片时会形成如图 2 所示的∠1 与∠2,则∠1 与∠2 的度数和是 90 度.

【分析】如图 2,AB∥CD,∠AEC=90°,作 EF∥AB,根据平行线的传递性得到 EF ∥CD,则根据平行线的性质得∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,所以∠1+∠2=∠AEC=90° 【解答】解:如图 2,AB∥CD,∠AEC=90°, 作 EF∥AB,则 EF∥CD,
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所以∠1=∠AEF,∠2=∠CEF, 所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°. 故答案为 90.

【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同 旁内角互补;两直线平行,内错角相等.

15. (3 分) (2016 秋?宁城县期末)如图为 6 个边长等的正方形的组合图形,则 ∠1+∠2+∠3= 135 °.

【分析】观察图形可知∠1 与∠3 互余,∠2 是直角的一半,利用这些关系可解 此题. 【解答】解:观察图形可知:△ABC≌△BDE, ∴∠1=∠DBE, 又∵∠DBE+∠3=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∵∠2=45°, ∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°. 故填 135.

【点评】此题综合考查角平分线,余角,要注意∠1 与∠3 互余,∠2 是直角的
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一半,特别是观察图形的能力.

16. (3 分) (2013 秋?丹阳市校级期末)如图:已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ A=30°,在直线 AC 上找点 P,使△ABP 是等腰三角形,则∠APB 的度数为 30°、75°、120° . 15°、

【分析】分别根据当 AB=BP1 时,当 AB=AP3 时,当 AB=AP2 时,当 AP4=BP4 时, 求出答案即可. 【解答】解:∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°, ∴当 AB=BP1 时,∠BAP1=∠BP1A=30°, 当 AB=AP3 时,∠ABP3=∠AP3B= ∠BAC= ×30°=15°, 当 AB=AP2 时,∠ABP2=∠AP2B= ×(180°﹣30°)=75°, 当 AP4=BP4 时,∠BAP4=∠ABP4, ∴∠AP4B=180°﹣30°×2=120°, ∴∠APB 的度数为:15°、30°、75°、120°. 故答案为:15°、30°、75°、120°.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定,利用分类讨论得出是解题关键.

三、解答题(共 102 分) 17. (8 分) (2016 秋?泰州校级月考)如图,在长度为 1 个单位长度的小正方形 组成的长方形中,点 A,B,C 在小正方形的顶点上. (1)在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△AB′C′;
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(2)计算△ABC 的面积; (3)在直线 l 上找一点 P,使 PB+PC 的长最短.

【分析】 (1)根据网格结构找出点 B、C 关于直线 l 的对称点 B′、C′的位置,然后 与点 A 顺次连接即可; (2)利用△ABC 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计 算即可得解; (3)根据轴对称确定最短路线问题,连接 B′C 与直线 l 的交点即为所求点 P. 【解答】解: (1)△AB′C′如图所示;

(2)△ABC 的面积=3×4﹣ ×2×3﹣ ×1×4﹣ ×1×3, =12﹣3﹣2﹣1.5, =12﹣6.5, =5.5; (3)点 P 如图所示. 【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题,利用轴对称变换作图,熟练 掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

18. (10 分) (2016 秋?盐都区月考)如图,P 在∠AOB 内,点 M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点,MN 分 别交 OA、OB 于 E、F. (1)若△PEF 的周长是 10cm,求 MN 的长. (2)若∠AOB=30°,试求∠MON 的度数.
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【分析】 (1)根据轴对称的性质可得 ME=PE,NF=PF,然后求出 MN=△PEF 的周 长; (2)结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推知 OP=OM,∠MOA=∠ AOP,同理,∠BOP=∠BON,则∠MON=2∠AOB=60°. 【解答】解: (1)∵M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点, ∴ME=PE,NF=PF, ∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF 的周长, ∵△PEF 的周长等于 10cm, ∴MN=10cm;

(2)如图,连接 OP、OM、ON. ∵OA 垂直平分 MP, ∴OP=OM, ∴∠MOA=∠AOP, 同理,∠BOP=∠BON, ∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°. ∴∠MON=2∠AOB=60°.

【点评】 本题考查轴对称的性质与运用,对应点的连线与对称轴的位置关系是互 相垂直, 对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应 点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.
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19. (10 分) (2015?南充) 如图,△ABC 中, AB=AC, AD⊥BC,CE⊥AB, AE=CE.求 证: (1)△AEF≌△CEB; (2)AF=2CD.

【分析】 (1)由 AD⊥BC,CE⊥AB,易得∠AFE=∠B,利用全等三角形的判定得 △AEF≌△CEB; (2) 由全等三角形的性质得 AF=BC, 由等腰三角形的性质“三线合一”得 BC=2CD, 等量代换得出结论. 【解答】证明: (1)∵AD⊥BC,CE⊥AB, ∴∠BCE+∠CFD=90°,∠BCE+∠B=90°, ∴∠CFD=∠B, ∵∠CFD=∠AFE, ∴∠AFE=∠B 在△AEF 与△CEB 中, , ∴△AEF≌△CEB(AAS) ;

(2)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BC=2CD, ∵△AEF≌△CEB, ∴AF=BC, ∴AF=2CD.
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【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定,等腰三角形的性质,运用等腰 三角形的性质是解答此题的关键.

20. (10 分) (2016 秋?泰州校级月考)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°, AC=AD,M 为 AC 的中点,过点 M 作 MN∥AD 交 CD 于点 N,连接 BM,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2,求△BNM 的面积.

【分析】 (1)根据中位线的推论可知:N 是 CD 的中点,则 MN 是△ACD 的中位 线,得 MN= AD,再根据直角三角形斜边上的中线得:BM= AC,根据等量代换 得 BM=MN; (2)分别求出∠BMC=∠ABM+∠BAC=60°和∠CMN=∠CAD=30°,则∠BMN=90°, △BNM 是直角三角形,根据 AC=2 求出两直角边都是 1,从而求出面积. 【解答】证明: (1)∵M 为 AC 的中点,MN∥AD, ∴N 是 CD 的中点, ∴MN 是△ACD 的中位线, ∴MN= AD, ∵∠ABC=90°, ∴BM= AC, ∵AC=AD, ∴BM=MN; (2)∵∠BAD=60°,AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠CAD=30°, ∵AM=BM, ∴∠ABM=∠BAC=30°,
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∴∠BMC=∠ABM+∠BAC=60°, ∵MN∥AD, ∴∠CMN=∠CAD=30°, ∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°, 由(1)得:BM= AC= ×2=1,且 BM=MN=1, ∴S△BNM= BM?MN= ×1×1= . 【点评】 本题考查了中位线的性质和判定,熟练掌握经过三角形一边中点与另一 边平行的直线必平分第三边, 以及三角形的中位线定理,同时与直角三角形斜边 中线相结合,得出边相等;在求三角形面积时,可以证明此三角形为特殊的三角 形:直角三角形或等边三角形;如果不是特殊三角形才考虑作高,利用面积公式 代入求出面积;有时也会考虑利用面积的和差来求解.

21. (8 分) (2016 秋?泰州校级月考) 如图, 已知 AB⊥BC, 垂足为点 B, AB⊥AD, 垂足为点 A,点 E 是 CD 的中点,说明:AE=BE.

【分析】延长 DA,BE 交于点 F,根据已知条件得到 DF∥BC,根据平行线的性质 得到∠F=∠EBC,推出△DEF≌△BCE,根据全等三角形的性质得到 BE=EF,根据 直角三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:延长 DA,BE 交于点 F, ∵AB⊥BC,AB⊥AD, ∴DF∥BC, ∴∠F=∠EBC, ∵点 E 是 CD 的中点, ∴DE=CE, 在△DEF 与△BCE 中, ,
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∴△DEF≌△BCE, ∴BE=EF, ∵BA⊥DF, ∴∠BAF=90°, ∴AE=BE= BF.

【点评】本题本题考查了平行线的判定,全等三角形的判定和性质,直角三角形 的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

22. (10 分) (2016 秋?泰州校级月考)已知:等边△OAB 的边长为 3,另一等腰 △OCA 与△OAB 有公共边 OA, 且 OC=AC, ∠C=120°. 现有两动点 P、 Q 分别从 B、 O 两点同时出发,点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 BO 向点 O 运动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停 止运动.请回答下列问题: (1)在运动过程中,△OPQ 的面积记为 S,请用含有时间 t 的式子表示 S. (2)在等边△OAB 的边上(点 A 除外) ,是否存在点 D,使得△OCD 为等腰三角 形?如果存在,这样的点 D 共有 4 个,请用直尺和圆规在图上画出来.

【分析】 (1)根据题意分别表示出 QO,OP 的长,进而得出 S 与 t 的关系式; (2)如果△OCD 为等腰三角形,那么分 D 在 OA 边或者 OB 边上或 AB 边上三种 情形.每一种情形,都有可能 O 为顶角顶点,C 为顶角顶点,D 为顶角顶点,分 别讨论,得出答案. 【解答】解(1)如图 1,∵OC=AC,∠ACO=120°,
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∴∠AOC=∠OAC=30°. ∴∠POQ=90°, ∵OQ=t,OP=3﹣3t. ∴S△OPQ= OQ?OP= t?(3﹣3t)=﹣ t2+ t, 即 S=﹣ t2+ t; (2)如图 2, (i)当 D 点在 OA 上, ①以 D 为顶角顶点时,作 OC 的垂直平分线交 OA 于 D; ②以 O 为顶角顶点时,在 OA 上截取 OD=OC; (ii)当 D 点在 OB 上, 由于∠BOC=90°,因此不存在以 C 或 D 为顶点的等腰三角形, ∴OD=OC,在 OB 上截取 OD=OC. (iii)当 D 点在 AB 上时, 此时 OD 的最短距离为 OD⊥AB 时,此时 OD≠OC,不存在以 O 为顶点的等腰三 角形; 当以 C 为顶点时,D 点和 A 点重合, 当以 D 为顶点时,OD=CD,作 OC 的垂直平分线交 AB 于 D; 综上所述,这样的点 D 共有 4 个; 故答案为:4.

【点评】 本题是三角形综合题目, 考查了等腰三角形的判定、 等边三角形的性质、
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全等三角形的判定与性质、 直角三角形面积求法等知识, 得出△OCD 为等腰三角 形时,注意分类讨论,做到不重复,不遗漏.

23. (10 分) (2016 秋?泰州校级月考)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,点 E 是 AC 的中点,AC=2AB,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,作 AF∥BC,连接 DE 并 延长交 AF 于点 F,连接 FC.求证:AF=DA.

【分析】 先连接 BE, 根据点 E 是 AC 的中点, AC=2AB, 判定△ABE 是等边三角形, 再根据∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 判定△BAD≌△EAD (SAS) , 得出∠AED= ∠B=90°,然后求得∠ FAE=90°﹣ 60°=30°= ∠ DAE ,得出∠ AFE= ∠ ADE ,最后得到 AD=AF. 【解答】证明:连接 BE, ∵点 E 是 AC 的中点,AC=2AB, ∴AB=AE,BE=AE, ∴AB=BE=AE,即△ABE 是等边三角形, ∵∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D, ∴∠BAD=∠EAD=30°, 在△BAD 和△EAD 中, , ∴△BAD≌△EAD(SAS) , ∴∠AED=∠B=90°, ∵AF∥BC, ∴∠FAB=90°, ∴∠FAE=90°﹣60°=30°=∠DAE, ∴∠AFE=∠ADE,
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∴AD=AF.

【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定,解决 问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等边三角形,解题时注意:在直角三角 形中,斜边上的中线等于斜边的一半.

24. (10 分) (2016 秋?泰州校级月考)已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC. (1)特殊情形:如图 1,当 DE∥BC 时,有 DB = EC. (填“>”,“<”或“=”)

(2)发现探究:若将图 1 中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转 α(0°<α<180°)到图 2 位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明 理由. (3)拓展运用:如图 3,P 是等腰直角三角形 ABC 内一点,∠ACB=90°,若将△ BPC 绕点 C 顺时针方向旋转 90 度,P 点的对应点为 M,若∠PMA=90°,问 B、P、 M 是否共线,为什么?

【分析】 (1) 由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ADE=∠AED, 得出 AD=AE, 即可得出结论; (2)由旋转的性质得出 AD=AE,∠DAE=∠BAC,得出∠BAD=∠CAE,由 SAS 证 明△ABD≌△ACE,得出对应边相等即可 DB=EC; (3)由旋转的性质得出△BPC≌△AMC,∠PCM=90°,得出 PC=MC,∠BPC=∠ AMC,证出△PCM 是等腰直角三角形,得出∠MPC=∠PMC=45°,∠BPC=135°,
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证出∠BPC+∠MPC=180°即可. 【解答】解: (1)∵DE∥BC,AB=AC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠B=∠C, ∴∠ADE=∠AED, ∴AD=AE, ∴DB=EC; 故答案为:=; (2) (1)中的结论还成立;理由如下: 由旋转的性质得:AD=AE,∠DAE=∠BAC, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD 和△ACE 中, ∴△ABD≌△ACE(SAS) , ∴DB=EC; (3)B、P、M 三点共线;理由如下: 由旋转的性质得:△BPC≌△AMC,∠PCM=90°, ∴PC=MC,∠BPC=∠AMC, ∴△PCM 是等腰直角三角形, ∴∠MPC=∠PMC=45°, ∵∠PMA=90°, ∴∠AMC=90°+45°=135°, ∴∠BPC=135°, ∴∠BPC+∠MPC=135°+45°=180°, ∴B、P、M 三点共线. 【点评】本题是几何变换综合题目,考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三 角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三点共 线等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形 的性质是解决问题的关键. ,

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25. (12 分) (2016?泰安) (1)已知:△ABC 是等腰三角形,其底边是 BC,点 D 在线段 AB 上,E 是直线 BC 上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①) .求 证:EB=AD; (2)若将(1)中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”,其 它条件不变(如图②) , (1)的结论是否成立,并说明理由; (3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其它条件不变,则 多少?(直接写出结论,不要求写解答过程) 的值是

【分析】 (1)作 DF∥BC 交 AC 于 F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD= ∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC 是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出 △ADF 是等边三角形, ∠DFC=120°, 得出 AD=DF, 由已知条件得出∠FDC=∠DEC, ED=CD,由 AAS 证明△DBE≌△CFD,得出 EB=DF,即可得出结论; (2)作 DF∥BC 交 AC 的延长线于 F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出 EB=DF, 即可得出结论; (3)作 DF∥BC 交 AC 于 F,同(1)得:△DBE≌△CFD,得出 EB=DF,证出△ ADF 是等腰直角三角形,得出 DF= AD,即可得出结果.

【解答】 (1)证明:作 DF∥BC 交 AC 于 F,如图 1 所示: 则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE, ∵△ABC 是等腰三角形,∠A=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A, ∴△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°, ∴AD=DF, ∵∠DEC=∠DCE,
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∴∠FDC=∠DEC,ED=CD, 在△DBE 和△CFD 中, ∴△DBE≌△CFD(AAS) , ∴EB=DF, ∴EB=AD; (2)解:EB=AD 成立;理由如下: 作 DF∥BC 交 AC 的延长线于 F,如图 2 所示: 同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD, 又∵∠DBE=∠DFC=60°, ∴在△DBE 和△CFD 中, ∴△DBE≌△CFD(AAS) , ∴EB=DF, ∴EB=AD; (3)解: = ;理由如下: , ,

作 DF∥BC 交 AC 于 F,如图 3 所示: 同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS) , ∴EB=DF, ∵△ABC 是等腰直角三角形,DF∥BC, ∴△ADF 是等腰直角三角形, ∴DF= ∴ ∴ = = AD, , .

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【点评】本题是三角形综合题目,考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行 线的性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关 键.

26. (14 分) (2016 秋?泰州校级月考)已知:如图,矩形 OABC,OA=6,AB=4, D 是 BC 的中点.动点 P 从 O 点出发,以每秒 1 个单位的速度,沿着 OA、AB、 BD 运动.设 P 点运动的时间为 t 秒. (1)用含有 t 的代数式表示△POD 的面积 S,并求出△POD 的面积等于 9 时 t 的值; (2)当点 P 在 OA 上运动时,连结 CP.问:是否存在某一时刻 t,当 CP 绕点 P 旋转 90 度时,点 C 能恰好落到 AB 边上,若存在,请求出 t 的值;若不存在,请 说明理由; (3) 在 P 点的运动过程中, 当 t 取何值时, △POC 为等腰三角形 (直接写答案) ; (4)当点 P 在 AB 上运动时,试探索当 PO+PD 的长最短时 t 的值.

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【分析】 (1)根据矩形的性质得 OA=BC=6,CD=BD=3,AB=4,然后分三种情况求 解:当 0<t≤6,如图 1,OP=t,根据三角形面积公式得 S=2t,再求出 S=9 所对 应的 t 的值,然后写出此时 P 点坐标;当 6<t≤10,如图 2,则 AP=t﹣6,BP=10 ﹣t,利用 S=S
矩形 ABCD

﹣S△OCD﹣S△OAP﹣S△BPD 得到 S=﹣ t+21,再求出 S=9 所对应

的 t 的值,然后写出此时 P 点坐标;当 10<t<13,如图 3,则 PB=13﹣t,根据 三角形的面积公式求解; (2)存在.如图 4,由△COP≌△PAE,可知 PA=CO=4,OP=AE=2,AE=EB,由此 即可解决问题. (3)分三种情形考虑问题即可.①P 在 OA 上,②P 在 AB 上,③P 在 BC 上. (4)如图 5 中,作点 O 关于 AB 所在直线对称的点的坐标后连接点 O 的对称点 和点 D 与 AB 的交点即为点 P,由 DB∥AO′, = ,列出方程求出 PA 即可.

【解答】解: (1) )∵矩形 OABC 的顶点 A(6,0) 、B(6,4) ,D 是 BC 的中点, ∴OA=BC=6,CD=BD=3,AB=4, 当点 P 在 OA 上运动时,即 0<t≤6,如图 1,

OP=t,S= ?t?4=2t;

∵S=9, ∴2t=9,解得 t=4.5, 当点 P 在 AB 上运动时,即 6<t≤10,如图 2

,AP=t﹣6,BP=10﹣t,S=S 矩形 ABCD﹣S△OCD﹣S△OAP﹣S△BPD
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=4×6﹣ ?4×3﹣ ?6?(t﹣6)﹣ ?3?(10﹣t) =﹣ t+21; ∵S=9, ∴﹣ t+21=9,解得 t=8, 当点 P 在 BD 上运动时,即 10<t<13,如图 3,

PB=13﹣t,S= ?(13﹣t)?4=﹣2t+26; ∵S=9, ∴﹣2t+26=9,解得 t=7.5(不合题意舍去) ;

综上所述, S=

, 当 t=4.5s 或 8s 时, △POD 的面积等于 9.

(2)存在.如图 4,

由△COP≌△PAE,可知 PA=CO=4, ∴OP=AE=2, ∴AE=EB, ∴当 t=2s 时,当 CP 绕点 P 旋转时,点 C 能恰好落到 AB 的中点处.

(3)①当 P 在 OA 上时,OP=OC=4,t=4s.
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②当 P 在 AB 上时,PC=PC,t=6+2=8s. ③当 P 在 BC 上时,CO=CP,t=6+4+2=12s. 综上所述,t=4s 或 8s 或 12s 时,△POC 是等腰三角形.

(4) 如图 5 中, 点 O 关于直线 AB 的对称点的坐标为 O′, 连接 O′D 交 AB 于点 P, 此时 PD+PO 最短;

∵DB∥AO′, ∴ ∴ = ∴PA= , ∴t=6+ = . = , ,

【点评】本题考查了四边形的综合题,熟练掌握矩形的性质和旋转的性质;会利 用勾股定理和三角形的面积公式进行几何计算;理解坐标与图形的性质;学会解 决有关动点的问题,属于中考压轴题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:caicl;张其铎;算术;lf2﹣9;wd1899;家有 儿女; sjzx; mmll852; CJX; 733599; sd2011; Ldt; gsls; 1987483819; zcx; HLing; gbl210;星期八;fangcao;tcm123;王学峰;szl;弯弯的小河(排名不分先后) 菁优网 2017 年 8 月 18 日

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