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资阳市2012-2013学年度高中二年级第二学期期末质量检测文科数学


资阳市 2012—2013 学年度高中二年级第二学期期末质量检测

文 科 数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页.满分 150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 3. 本试卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
一、选择题:本大题共 10 个小题, 每小题 5 分, 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 共 只有一项是符合题目的要求的.

1. 复数 z = 1 ? 2i 的虚部和模分别是
(A) ?2 , 5 (B) ?2i ,5
2

(C) ?2 ,5

(D) ?2 i , 5

2. 命题“ ?x0 ? R,使得 x ? x ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? R, x2 ? x ? 0 (C) ?x0 ? R,使得 x2 ? x ? 0 (B) ?x ? R, x2 ? x ? 0 (D) ?x0 ? R,使得 x2 ? x ? 0
1 3

3. “因为对数函数 y = loga x(a ? 0, a ? 1) 是增函数(大前提), y = o 而 lg 所以 y = log 1 x 是增函数(结论)”.上面推理错误的是(
3

x 是对数函数(小前提),

) (B)小前提错误导致结论错误 (D)大前提和小前提都错误导致结论错误

(A)推理形式错误导致结论错误 (C)大前提错误导致结论错误

4. 已知条件 p : a ? 1 ,条件 q : | a |? 1 ,则 p 是 q 的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 开区间 (a, b) 内有极值点( )

)

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5. 函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在
y

y = f ?(x)

b

a

O

x

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

6. 在下面的图示中,结构图是
资阳市高二文科数学试卷第 1 页(共 8 页)

7. 如图,椭圆中心在坐标原点,点 F 为左焦点,点 B 为短轴的上顶点,点 A 为长轴的右顶 ??? ??? ? ? 点.当 FB ? BA 时,椭圆被称为“黄金椭圆”, 则“黄金椭圆”的离心率 e 等


5 ?1 5 ?1 (B) 2 4 3 ?1 3 ?1 (C) (D) 2 4 8. 商家生产一种产品,需要先进行市场调研,计划对天津、成都、深圳三地进行市场调 研,待调研结束后决定生产的产品数量,下列四种方案中最可取的是
(A)

[来源:Zxxk.Com]

9. 如右图所示, O 的半径为定长 r , A 是圆 O 外一个定点,P 是 圆 圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q , 当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 10.设函数 y = f ( x) ( x ∈R)的导函数为 f ?(x) ,且 f ?( x) ? f ( x) ,则下列成立的是 (A) e?2 f (2) ? ef (?1) ? f (0) (C) ef (?1) ? e?2 f (2) ? f (0) (B) ef (?1) ? f (0) ? e?2 f (2) (D) e?2 f (2) ? f (0) ? ef (?1)

资阳市高二文科数学试卷第 2 页(共 8 页)

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文 科 数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 题号 得分 注意事项: 1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 总分人

二、填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接

填在题中横线上.
1? i 5 ?i = 1? i

11.计算

.

1 12. 抛物线 y = ? x 2 的焦点坐标为 6

.

13. 把 x = ?1 输入如图所示的流程图可得输出 y 的值



.
1 14. 三角形的面积为 S = (a ? b ? c) ? r ,其中 a, b, c 为三角形的边长, r 为三角形内切圆 2

的半径,设 S1、S2、S3、S4 分别为四面体四个面的面积, r 为四面体内切球的半径, 利用类

比推理可以得到四面体的体积为

.

15.抛物线 y 2 = 4 x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1 ,到直线 3x ? 4 y ? 9 = 0 的距离为
d 2 ,则 d1 ? d2 的最小值为

.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤.
资阳市高二文科数学试卷第 3 页(共 8 页)

16.(本小题满分 12 分)

写出命题“若 a ? b ,则 a ? 2 ? b ? 2 ”的否命题、逆命题、逆否命题、命题的否定,并判断 真假.

17.(本小题满分 12 分)

经过双曲线 x2 ?

y2 ? = 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 的直线 AB ,分别交双曲线的左、右支 3 6

为点 A 、 B . (Ⅰ)求弦长 | AB | ; (Ⅱ)设 F2 为双曲线的右焦点,求 | BF1 | ? | AF2 | ?(| AF1 | ? | BF2 |) 的长.

资阳市高二文科数学试卷第 4 页(共 8 页)

18.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数列, a, b, c 成等比 差数列,求证 ?ABC 为等边三角形.

资阳市高二文科数学试卷第 5 页(共 8 页)

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) = x ? ax ? bx ? c 在 x = ?
3 2

2 与 x = 1 处均取得极值. 3

(Ⅰ)求 a, b 的值与函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

资阳市高二文科数学试卷第 6 页(共 8 页)

20.(本小题满分 12 分)

y 2 x2 ? = 1(a ? b ? 0) 上的两点,已知 O 为坐标原点,椭圆的 a 2 b2 ?? ? ?? x y ? x y 3 离心率 e = ,短轴长为 2,且 m = ( 1 , 1 ), n = ( 2 , 2 ) ,若 m ? n = 0 . 2 b a b a (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距) ,求△AOB 的面积.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆

资阳市高二文科数学试卷第 7 页(共 8 页)

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) = ae x 和 g ( x) = ln x ? ln a 的图象与坐标轴的交点分别是点 A, B ,且以点 A, B 为切点的切线互相平行. (Ⅰ)求实数 a 的值; 1 (Ⅱ)若函数 F ( x) = g ( x) ? ,求函数 F ( x) 的极值; x x?m (Ⅲ)若存在 x 使不等式 ? x 成立,求实 m 的取值范围. f ( x)

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文科数学参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题, 每小题 5 分, 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 共 只有一项是符合题目的要求的. 1-5. ABCBC;6-10. BADCD. 二、填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题中横线上. 11.1; 12. (0, ? ) ; 13.1; 14. V = (S1 ? S2 ? S3 ? S4 )r ; 骤. 16.(本小题满分 12 分)

3 2

1 3

15.

12 . 5

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步

解析:否命题: 若 a ? b ,则 a ? 2 ? b ? 2 ,真命题; ············· 3分 ··········· ·· ·········· ··· 逆命题: 若 a ? 2 ? b ? 2 ,则 a ? b ,真命题; ················· 6 分 ··········· ······ ·········· ······· 逆否命题: 若 a ? 2 ? b ? 2 ,则 a ? b ,真命题; ················· 9 分 ··········· ······ ·········· ······· 命题的否定:若 a ? b ,则 a ? 2 ? b ? 2 ,假命题. ·················12 分 ··········· ······ ·········· ······
17.(本小题满分 12 分)

解析: (Ⅰ)∵双曲线的左焦点为 F1 (?2,0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程可设为
y= 3 y2 ··········· ··· ·········· ··· ( x ? 2) ,代入方程 x2 ? = 1 得, 8x2 ? 4 x ? 13 = 0 ,··············4 分 3 3 1 13 ∴ x1 ? x2 = , x1 x2 = ? , 2 8 1 1 13 ∴ | AB |= 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |= 1 ? ? ( )2 ? 4 ? = 3 ················ 8 分 ··········· ····· ·········· ······ 3 2 8 (Ⅱ)∵ F2 为双曲线的右焦点,且双曲线的半实轴长 a = 1
∴ | AF1 | ? | BF2 | ?(| BF1 | ? | AF2 |) 的长= (| AF1 | ? | AF2 |) ? (| BF2 | ? | BF1 |) = 4a = 4 · 12 分 · · 18.(本小题满分 12 分)

证明:由 A, B, C 成等差数列知, 2B = A ? C ,又 A, B, C 是 ?ABC 的内角,
资阳市高二文科数学试卷第 8 页(共 8 页)

∴B=

?
3

··········· ··········· ·········· ······· 3 分 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ·······

由 A, B, C 成等比数列知, b2 = ac ,由余弦定理得 b2 = a2 ? c2 ? 2ac cos B , ··········· ·········· ··········· ···· 7 ·········· ··········· ··········· ···· = a2 ? c2 ? ac ····································· 分 ∴ a2 ? c2 ? ac = ac ,∴ (a ? c)2 = 0 ,∴ a = c ,∴ A = C ·············10 分 ··········· ·· ·········· ·· ∴ A= B=C =

?
3

,所以 ?ABC 为等边三角形.···················12 分 ··········· ········ ·········· ········

19.(本小题满分 12 分)

解析:(Ⅰ) f ( x) = x ? ax ? bx ? c, f ( x) = 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2



2 12 4 1 f ' (? ) = ? a ? b = 0 , f ' (1) = 3 ? 2a ? b = 0 得 a = ? , b = ?2 3 9 3 2
1 ······················ ······················ , b = ?2 时,满足题意. ······················ 4 分 2

经检验知,当 a = ?

f ' ( x) = 3x 2 ? x ? 2 = (3x ? 2)( x ? 1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:

x
f ' ( x)

2 (??, ? ) 3

?

2 3

2 (? ,1) 3
?
?

1
0
极小值

(1, ??)

?
?

0
极大值

?
?

f ( x)

所以函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ?

2 2 ··· ··· ) , (1, ??) ,递减区间是 (? ,1) ;··· 8 分 3 3

(Ⅱ) f ( x) = x ?
3

1 2 2 2 22 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x = ? 时, f (? ) = ?c 2 3 3 27
2

为极大值,而 f (2) = 2 ? c ,则 f (2) = 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ? [?1, 2] 恒成立,
则只需要 c ? f (2) = 2 ? c ,得 c ? ?1或c ? 2 .
2

∴ c 的取值范围是 (??, ?1) ? (2, ??) ························12 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··
20.(本小题满分 13 分)

解析: (1) 2b = 2 ? b = 1, e = 所以椭圆的方程为

c a 2 ? b2 3 = = ? a = 2, c = 3 a a 2

y2 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ ? x2 = 1 ····························5 分 4 (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,
资阳市高二文科数学试卷第 9 页(共 8 页)

设直线 AB 的方程为 y = kx ? 3 ,
? y = kx ? 3 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 = 0 ?y 2 ? ? x =1 ?4

?2 3k ?1 ···························7 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· , x1 x2 = 2 2 k ?4 k ?4 ?? ? x1 x2 y y 1 由已知 m ? n = 0 ,得 2 ? 1 2 2 = x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) b a 4 2 k 3k 3 = (1 ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 4 4 2 k ?4 1 3k ?2 3k 3 = ··············· 10 ·········· ····· (? 2 )? ? ? = 0 ,解 k = ? 2 ················ 分 4 k ?4 4 k2 ? 4 4 ?2 3k 2 6 ?1 1 ∴ x1 ? x2 = 2 =? , x1 x2 = 2 =? , k ?4 6 k ?4 6

∴ x1 ? x2 =

1 3 3 2 6 2 1 | OF | ? | x1 ? x2 |= ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = ( ) ? 4(? ) = 1 2 2 2 6 6 所以△AOB 的面积为 1 ······························ 分 ····························· 13 ·········· ··········· ········ 21.(本小题满分 14 分) 1 解析: (Ⅰ) f '( x) = ae x , g '( x) = , x 函数 y = f ( x) 的图象与坐标轴的交点为(0, a), 函数 y = g ( x) 的图象与坐标轴的交点为(a,0) , 1 由题意得 f '(0) = g '(a),即a = , 又? a ? 0, ?a = 1 ················· 分 ··········· ····· 4 ·········· ······ a 1 1 1 x ?1 (Ⅱ)∵ F ( x) = g ( x) ? ,∴ F '( x) = ? 2 = 2 , x x x x ∴函数 F ( x) 的递减区间是 (0,1) ,递增区间是 (1, ??) , S?AOB =

所以函数 F ( x) 极小值是 F (1) = 1 ,函数 F ( x) 无极大值 ···············8 分 ··········· ···· ·········· ···· x?m x?m (Ⅲ)由 ? x得 x ? x, f ( x) e 故 m ? x ? xe x 在 x ?[0, ??) 上有解, 令 h( x) = x ? xe x , m ? h( x)max ·························· 10 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 当 x = 0 时, m ? 0 1 x 1 e ? xe x ) = 1 ? ( ? x )e x , 当 x ? 0 时, h'(x) = 1 ? ( 2 x 2 x
? x ? 0,? 1 2 x ? x?2 1 2 x ? x = 2, e x ? 1,? ( 1 2 x ? x )e x ? 2

故 h '( x) = 1 ? (

1 2 x

? x )e x ? 0 , ··························13 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····

即 h( x) = x ? xe x 在区间 [0, ??) 上单调递减,故 h( x) max = h(0) = 0, ··········· ·········· · ·········· ··········· · ?m ? 0 ,即实数 m 的取值范围 (??,0) ······················ 14 分
资阳市高二文科数学试卷第 10 页(共 8 页)

资阳市高二文科数学试卷第 11 页(共 8 页)


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