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2.4等比数列的概念和性质


复习与提问:
1、等差数列的定义:一个数列从第2项起, 每一项与前一项的差等于同一个常数,这 个数列叫做等差数列. an+1-an=d 定义的符号表示:等差数列 an = a1 +(n-1)d ? 2、等差数列的通项公式: ? 3、等差中项:a,A,b成等差数列,则 A=(a+b)/2
?

小实验:
1.看清楚
折1次 厚度 2(21) 折2次

已知白纸的厚度为1,将白纸对折. 纸的厚度是怎样变化的. 折3次 8(23) 折4次 ... 折28次

4(22)

16(24) ... 228

? 2.想一想

你能折到28次吗?

(如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28 次的时候,请大家估计一下纸的总厚度.

0.04毫米= 0.04

×

10-3




厚度 = 228×0.04 ×10-3=10737.41824

观察下列数列,看看他们有什么共同的特点
(1)
(2)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

,2

63

(3) 9,92,93,94,95,96,

9

7

(4)

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点: 从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数.

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的 比 等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的公比(q)。

等差数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的 差 等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列 , 这个常数叫做等差数列的公差(d)。

练习
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1,3,9,27,81,…
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2

(2)
(3)

5 , 5 , 5 , 5 , 5 ,5 ,…

是,公比 q=1

(4)
(5) (6) (7)

1,-1,1,-1,1,…
1,0,1,0,1,… 0,0,0,0,0,…

是,公 比q= -1
不是等比数列

不是等比数列

1, x , x , x , x , ?( x ? 0)
2 3 4

是,公比 q= x

公比q是每一项(第2项起)与它的前一项的比;防止把被除数 与除数弄颠倒;公比可以是正数,负数,可以是1,但不可以为0

对定义的理解

对定义的理解
1. 各项不能为零,即
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1,3,9,27,…
2 4 8 16

2. 公比不能为零,即 1 1 1 1 , , , , ? 3. 当q>0,各项与首项同号 4. 数列

an ? 0 q?0

5 , 5, 5, 5 , … 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,… 0,0,0,0,…

当q<0,各项符号正负相间

a?0

a, a , a , …

时,既是等差数列 又是等比数列; a ? 0 时,只是等差数列

而不是等比数列.





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

an?1 ?q an

通项公式

?

名称

















an ? a1 ? (n ? 1)d
法1:不完全归纳法

an ? a1qn?1
法1:不完全归纳法

a2 ? a1 ? d

通项 公式

a 3 ? a1 ? 2d
a4 ? a1 ? 3d

a2 ? q ? a 2 ? a1q a1 a 3 ? a1q2

……
由此归纳等差数列的通 项公式可得:

……

a4 ?

a1q3

由此归纳等差数列的通 项公式可得:

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ?

a1qn-1

名称

















an ? a1 ? (n ? 1)d
法2:累加法

法2:



通项 公式

n ? 2 , a 2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d
a4 ? a 3 ? d

a2 n? 2, ?q a1

……
an ? an?1 ? d
把这n-1个式子相加,得:

……

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d , n ? N*

当n=1时,a1=a1 上式成立

名称

















an ? a1 ? (n ? 1)d
法2:累加法 法2:

an ? a1qn?1
累乘 法

通项 公式

n ? 2 , a 2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d
a4 ? a 3 ? d

a2 n? 2, ?q a1
a3 ?q a2
n

……
an ? an?1 ? d
把这n-1个式子相加,得:

…… a
a n ?1

?q

an ? a1 ? (n ? 1)d
当n=1时,上式成立

把这n-1个式子相乘,得:

an ? a1qn?1
*

an ? a1 ? (n ? 1)d , n ? N

当n=1时,上式成立

an ? a1qn?1 , n ? N*

等比数列的通项公式:
等比数列?an ?,首项为 a1 公比为q,则通项公式为 n-1 an=a1q
当q=1时,这是 一个常函数。

,

an ? 0

﹡ (n∈N ,q≠0)

注:方程中有四个量,知三求一,这是公式最 简单的应用

练习

从通项公式,想象一下等比数列的图象 是怎么样的吗?

等比数列通项公式的图象表示:

在 右 边 的 直 角 坐 标 系, 中 画出通项公式为 a n ? 2 n ?1 的数列的图象和函数 y?2 的 图 象 , 你 会 发 现 什? 么
x ?1

课本50页探究(2)
从图象的对比可以看: 出 等比数列 an关 于n的 图 象 是指数函数图象上的一 些孤立点 .

8 7 6 5 4 3 2 1

y

y ? 2 x ?1

a n ? 2 n ?1

o

1 2 3 4 5 6 x

在等差数列 ?an ? 中

变形结论:
(n, m ? N * )

an ? am ? (n ? m)d

试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知 道 am 和公比q,能否求 an ?如果能, 请写出表达式。

an ? amq

n ?m

(n, m ? N )
*

观察如下的两个数之间,插入一个什么 数后者三个数就会成为一个等比数列:
( 1 ) 1, ±3 , 9 (3)-12, ±6,-3 (2)-1, ±2 ,-4 ( 4 ) 1, ±1 ,1

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G, 使a,G,b成等比数列,那么G叫 做a与b的等比中项。 G ? ? ab
注意:1.两个数的等比中项有两个,它们互为相反数;

2.这两个数必须满足同号的条件,即ab>0

例1、 一个等比数列的第3项与第4项分别是

12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是 a1 ,公比是 q ,那么 ① a1q2 ? 12

a1q 3 ? 18



把②的两边分别除以①的两边,得
把③代入① ,得

16 a1 ? 3

3 q? 2

16 3 a2 ? a1q ? ? ? 8 3 2

1 4 ? (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ,求它的第1项; 9 3

练习

解:设它的第一项是 a1,则由题意得

解得, a1 ? 36 答:它的第一项是36 .

1 5?1 4 a1 ? ( ? ) ? 3 9

(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得 a1q ? 10 , a1q 2 ? 20

解得, a1 ? 5 , q ? 2 a4 ? a1q3 ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.

二.等比数列通项公式的应用

a n ? a1 ? q

n? 1

例1:某种放射性物质不断变化为其他物质,每 经过一年剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半 衰期为多长(精确到1年)? 分析: 时间: 剩留量: 最初 1 经过1年a1=0.84

经过2年a2=0.842 经过3年a3=0.843 经过n年an=0.84n

开始

例3:根据图2-4-2中的框图, A=1 写出所打印数列的前5项, 并建立数列的递推公式, n=1 这个数列是等比数列吗?
输出A
n=n+1 n>5? 是 结束 A=A×(1/2)



?an ?, ?bn ? 例4:已知
是项数相同的等比数列, 求证: a ? b n n

?

? 是等比数列

证明:设数列?an ?的首项是a1,公比为p; ?bn ?的首项为b1,公比q,那么数列?an ? bn ? 的第n项与第n ? 1项分别为:

a1 ? p ? b1 ? q 与a1 ? p ? b1 ? q n ?1 n 即为a1b1 ( pq ) 与a1b1 ( pq )
n

n ?1

n ?1

n

它是一个与n无关的常数,所以?an ? bn ? 是一个以pq为公比的等比数列

an?1 ? bn?1 a1b1 ( pq) ? ? ? pq. n?1 an ? bn a1b1 ( pq)
n

练习
1、一个等比数列的第4项与第7项分别是 -
2

9

,

2

243

,求这个等比数列的通项公式

以及第5项

例2,已知数列{an }为等比数列 (1)若an ? 0, 且a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25, 求a3 ? a5 ; (2)a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8, 求an
3.等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2, 求n.

练习
等比数列 { a n } 中, a 4 ·a 7 = -512,a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数,求 a 10.

法一:直接列方程组求 a 1、q。
法二:在法一中消去了 a 1,可令 t = q 5 法三:由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = -512
2 ? a3 ? 124 a3 ? 512 ? 0

? a3 ? 128 或a3 ? ?4

? a 3 ? 128 ? a 3 ? ?4 ?? 或? ? a 8 ? ?4 ?a 8 ? 128

∵ 公比 q 为整数

? a3 ? ?4 128 5 ?? ?q ? ? ?32 ? q ? ?2 ?4 ?a8 ? 128

归纳:
数 列 等 差 数 列
an+1-an=d

等 比 数 列

定义式
公差(比) 定义变形 通项公式 一般形式

a ?q a
n ?1 n

d 叫公差
an+1=an+d an= a1+(n-1)d

q叫公比
an+1=an q an=a1qn-1

an=am+(n-m)d
an ? am d? n?m

an=amqn-m
q
n? m

an ? am

等比数列的性质

等比数列的性质

等比数列的性质

典例剖析

典例剖析

练习

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

(1)数列:1,2,4,8,16,…
(2)数列:
● ●

(3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…


1 1 1 8,4,2,1, , , ,? 2 4 8 1 n ?1 4? n an ? 8 ? ( ) ? 2 2
n

a ?2
n

n ?1

a ?4

● ●



● ●













● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6




7

8


9

10

n n ?1

1? ( ? 1) (4)数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,… a ? 2

小结
1.等比数列的定义
2.等比数列的通项公式及推导 3.等比中项的定义

4.等比数列的图像

作业
1.阅读教材第页至第页
2.教材第页第题

3.红对勾第课时


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