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江苏省2017届高考数学模拟试卷(八)


江苏省 2017 届高考数学模拟试卷(八)
一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B= . 2 2.命题“? x>0,x +x﹣2>0”的否定是 . 3.函数 f(x)=cos(3x+φ) (0≤φ≤π)是奇函数,则 φ 的值为

. .

4.已知向量 =(2,x) , =(1,3) , 与 的夹角为锐角,则实数 x 的取值范围为 5. B、 C 所对的边分别为 a, b, c, sinA= , 在△ABC 中, 角 A、 若 a=1, 则 = . 6. =2sin 已知函数 f (x) (?x+φ) 对任意 x 都有 f ( =f +x) ( ﹣x) , 则|f ( ) |=



7.若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x﹣y 的最大值是 . 8.已知等差数列{an}共有 20 项,所有奇数项和为 132,所有偶数项和为 112,则等差数列 的公差 d= . 9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则三棱锥 A﹣B1D1D 3 的体积为 cm .

10.已知曲线 f(x)=xsinx+1 在点( 则实数 a= .
2 2


n﹣1

+1)处的切线与直线 ax﹣y+1=0 互相垂直,

11.设数列 1,1+2,1+2+2 ,…1+2+2 +2 ,…的前 n 项和为 Sn,则 S10= . 3 2 2 12.已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 时有极值 0,则 a﹣b 的值为 . 2 13.如图,已知二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为实数,a≠0)的图象过点 C(t,2) ,且与 x 轴交于 A,B 两点,若 AC⊥BC,则 a 的值为 .

14.已知函数 f(x)=

.若存在 x1,x2,当 1≤x1<x2<3 时,f

(x1)=f(x2) ,则

的取值范围是



1

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ; (1)若 ? =﹣1,求 sin(α+ ﹣ |= )的值; ,且 α∈(0,π) ,求 与 的夹角.

(2)O 为坐标原点,若|

16. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

17. (14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,



(1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积. 18. (16 分)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60° (如 图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 平方米,且高 度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米) ,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长 的和)为 y(米) . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

19. (16 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (Ⅰ)若 a=﹣2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值. 20. (16 分){an}前 n 项和为 Sn,2Sn=an+1﹣ 2 (1)求 a1 的值; (2)求{an}通项公式;
n ?1

2

+1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列

*

2

(3)证明

+

+…+

< .

江苏省 2017 届高考数学模拟试卷(八)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. (2012?江苏)已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B= {1,2,4,6} . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由题意,A,B 两个集合的元素已经给出,故由并集的运算规则直接得到两个集合 的并集即可 【解答】解:∵A={1,2,4},B={2,4,6}, ∴A∪B={1,2,4,6} 故答案为{1,2,4,6} 【点评】本题考查并集运算,属于集合中的简单计算题,解题的关键是理解并的运算定义 2. (2016 秋?盐城校级月考)命题“? x>0,x +x﹣2>0”的否定是 ? x>0,x +x﹣2≤0 . 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;转化思想;简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“? x>0,x +x﹣2>0”的否定是: 2 ? x>0,x +x﹣2≤0. 2 故答案为:? x>0,x +x﹣2≤0. 【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系,是基础题. 3. (2016 秋?盐城校级月考)函数 f(x)=cos(3x+φ) (0≤φ≤π)是奇函数,则 φ 的值为 . 【考点】余弦函数的奇偶性. 【专题】计算题;转化思想;三角函数的图像与性质. 【分析】利用函数是奇函数,推出方程求解即可. 【解答】解:函数 f(x)=cos(3x+φ) (0≤φ≤π)是奇函数, 可得 φ=kπ+ ,k∈Z.
2 2 2

k=0 满足题意. 所以 φ 的值为: 故答案为: . .

【点评】本题考查三角函数的奇偶性的应用,考查计算能力.

3

4. (2016 秋?盐城校级月考)已知向量 =(2,x) , =(1,3) , 与 的夹角为锐角,则实 数 x 的取值范围为 (﹣ ,6)∪(6,+∞) . 【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量的物理背景与概念. 【专题】计算题;转化思想;平面向量及应用. 【分析】由题意可得数量积大于 0,且 x×1﹣2×3≠0,解不等式求得 x 的取值范围. 【解答】解:由题意可得 故实数 x 的取值范围为 (﹣ =2+3x>0,且 x×1﹣2×3≠0,∴x>﹣ ,且 x≠6, ,6)∪(6,+∞) ,

故答案为: (﹣ ,6)∪(6,+∞) . 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式的应用,属于基础题. 5. (2016 秋?盐城校级月考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1, sinA= ,则 =

3 . 【考点】正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;解三角形. 【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出. 【解答】解:∵a=1,sinA= ,∴ 则 = =3. =3.

故答案为:3. 【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

6. (2016 秋?盐城校级月考)已知函数 f(x)=2sin(?x+φ)对任意 x 都有 f( ﹣x) ,则|f( )|= 2 .

+x)=f(

【考点】正弦函数的对称性. 【专题】综合题;转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件可得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 值,从而得出结论. 【解答】解:由题意可得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,故|f( )|=2, 对称,故 f( )等于函数的最

故答案为:2 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题. 7. (2010?南京二模)若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x﹣y 的最大值是 1 .
4

【考点】简单线性规划. 【专题】常规题型. 【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z=x﹣y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出 直线 z=x﹣y 过可行域内的点 A 时,从而得到 z 最大值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=x﹣y, 将最大值转化为 y 轴上的截距的最小值, 当直线 zz=x﹣y 经过区域内的点 A(1,0)时,z 最大, 最大值为:1 故答案为:1.

【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画 出可行域、求出关键点、定出最优解. 8. (2016 秋?盐城校级月考)已知等差数列{an}共有 20 项,所有奇数项和为 132,所有偶数 项和为 112,则等差数列的公差 d= ﹣2 . 【考点】等差数列的通项公式;数列的函数特性. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】直接由公式 结合已知得答案.

【解答】解:由 S 奇=132,S 偶=112,得: ,解得 d=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题. 9. (2012 秋?苏州期末)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm, 3 则三棱锥 A﹣B1D1D 的体积为 3 cm .

5

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题. 【分析】连接 AC 交 BD 于 O,根据此长方体的结构特征,得出 AO 为 A 到面 B1D1D 的垂 线段.△B1D1D 为直角三角形,面积易求.所以利用体积公式计算即可. 【解答】解:长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的底面 ABCD 是正方形. 连接 AC 交 BD 于 O, 则 AC⊥BD,又 D1D⊥BD, 所以 AC⊥面 B1D1D,

AO 为 A 到面 B1D1D 的垂线段,

且 AO= 又 S△B1D1D=



所以所求的体积 V=

cm3.

故答案为:3 【点评】本题考查锥体体积计算,对于三棱锥体积计算,要选择好底面,便于求解.

10. (2016 秋?盐城校级月考)已知曲线 f(x)=xsinx+1 在点(



+1)处的切线与直

线 ax﹣y+1=0 互相垂直,则实数 a= ﹣1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;导数的综合应用. 【分析】欲求出实数 a,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再 结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【解答】解:f′(x)=sinx+xcosx, ∵曲线在点( , +1)处的切线与直线 ax﹣y+1=0 互相垂直, )=﹣ ,即:1=﹣ ,

∴根据导数几何意义得:f′( 解得:a=﹣1. 故答案为:﹣1.

6

【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点 切线方程等基础知识.属于基础题. 11. (2016 秋?盐城校级月考)设数列 1,1+2,1+2+2 ,…1+2+2 +2 则 S10= 2036 . 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由 1+2+2 +2
2 n﹣1 n 2 3 n 2 2 n﹣1

,…的前 n 项和为 Sn,

=2 ﹣1,得 Sn=(2+2 +2 +…+2 )﹣n,由此能求出 S10. =2n﹣1,

【解答】解:∵1+2+22+2n﹣1= ∴Sn=(2+2 +2 +…+2 )﹣n =
n+1 2 3 n

﹣n

=2 ﹣2﹣n, 11 ∴S10=2 ﹣2﹣10=2036. 故答案为:2036. 【点评】 本题考查数列的前 n 项和的求法, 是中档题, 解题时要注意分组求和法的合理运用. 12. (2015 春?灵宝市期末)已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 时有极值 0,则 a﹣b 的值 为 ﹣7 . 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】求导函数,利用函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=﹣1 处有极值 0,建立方程组,求 得 a,b 的值,再验证,即可得到结论. 3 2 2 【解答】解:∵函数 f(x)=x +3ax +bx+a 2 ∴f'(x)=3x +6ax+b, 3 2 2 又∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=﹣1 处有极值 0, ∴ ,∴ 或
3 2 2 3 2 2

当 当

时,f'(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)2=0,方程有两个相等的实数根,不满足题意; 时,f'(x)=3x2+6ax+b=3(x+1) (x+3)=0,方程有两个不等的实数根,满足题意;

∴a﹣b=﹣7 故答案为:﹣7. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于基础题. 13. (2012?慈溪市模拟)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为实数,a≠0)的图象 过点 C(t,2) ,且与 x 轴交于 A,B 两点,若 AC⊥BC,则 a 的值为 ﹣ .

7

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】设 A(x1,0) ,B(x2,0) ,由题意可得 t2+bt+c=2,由 AC⊥BC,可得 ﹣t,﹣2)?(x2﹣t,﹣2)=0,代入根据方程的根与系数关系可求 a 【解答】解:设 A(x1,0) ,B(x2,0) 2 ∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象过点 C(t,2) , 2 ∴at +bt+c=2 ∵AC⊥BC, ∴ ∴ ∴ 即 at +bt+c+4a=0 ∴4a+2=0 ∴ 故答案为:﹣ 【点评】 本题主要考查了利用二次函数的性质求解函数中的参数, 解题中注意整体思想的应 用.
2

=(x1

=(x1﹣t,﹣2)?(x2﹣t,﹣2)=0

14. (2015 春?洪泽县期末)已知函数 f(x)=

.若存在 x1,x2,

当 1≤x1<x2<3 时,f(x1)=f(x2) ,则 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用. f x) 【分析】 作函数 ( 的图象, 结合图象可得 +

的取值范围是

( ,

]



≤x1< ; 化简

=

=1+

;从而求取值范围.

8

【解答】解:作函数 f(x)=

的图象如下,

f( )= 故令 x+ =1+ 故

+1=1+ 得,x=

; + ;

+ ≤x1< ; = =1+ ;

又∵





=

﹣1;

<1+





故答案为: ( ,

].

【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用,属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分) (2013?宣武区校级模拟)已知 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ; (1)若 ? =﹣1,求 sin(α+ ﹣ |= )的值; ,且 α∈(0,π) ,求 与 的夹角.

(2)O 为坐标原点,若|

【考点】平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角;运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题.

9

B, C 三点的坐标, 【分析】 (1) 根据已知中 A, 我们易求出向量 =﹣1,我们易得到一个三角方程,解方程即可得到 sin( (2) 根据向量减法的三角形法则, 我们易将 =



的坐标, 根据

)的值. 转化为| |= , 结合 (1)

中结论,易构造出关于 α 的三角方程,解方程即可求解. 【解答】解: (1)∵A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ; ∴ =(cosα﹣3,sinα) ; =(cosα,sinα﹣3) ; ∴ =cos2α+sin2α﹣3(sinα+cosα) sin( )=﹣1

=1﹣3(sinα+cosα)=1﹣3 ∴sin( (2)∵ = = ∴cosα=﹣ 又∵α∈(0,π) ∴α= 则 与 , 的夹角为 ﹣ = )= =|

|=|

|

=



【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算,同角三角函数关系,辅助角公式,三 角函数给值求角, 其中根据平面向量数量积运算公式, 将问题转化为三角函数问题是解答问 题的关键. 16. (14 分) (2012?江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是 棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

10

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】 (1) 根据三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 得到 CC1⊥平面 ABC, 从而 AD⊥CC1, 结合已知条件 AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线,得到 AD⊥平面 BCC1B1, 从而平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)先证出等腰三角形△A1B1C1 中,A1F⊥B1C1,再用类似(1)的方法,证出 A1F⊥平 面 BCC1B1,结合 AD⊥平面 BCC1B1,得到 A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理,得 到直线 A1F∥平面 ADE. 【解答】解: (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD? 平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD? 平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F? 平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD? 平面 ADE, ∴直线 A1F∥平面 ADE. 【点评】 本题以一个特殊的直三棱柱为载体, 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂 直的判定等知识点,属于中档题. 17. (14 分) (2015?广州校级二模)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, c,已知 c=2, .

(1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积. 【考点】解三角形;三角形中的几何计算.

11

【专题】计算题. 【分析】 (1)由 c 及 cosC 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 b 的关系式 a +b ﹣ab=4,再由 2 2 已知三角形的面积及 sinC 的值,利用三角形的面积公式得出 ab 的值,与 a +b ﹣ab=4 联立 组成方程组,求出方程组的解即可求出 a 与 b 的值; 2 2 (2)利用正弦定理化简 sinB=2sinA,得到 b=2a,与(1)得出的 a +b ﹣ab=4 联立组成方程 组,求出方程组的解得到 a 与 b 的值,再由 sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三 角形 ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵c=2,cosC= , ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得:a +b ﹣ab=4, 又△ABC 的面积等于 ∴ , ,sinC= ,
2 2 2 2 2 2 2

整理得:ab=4, (4 分) 联立方程组 ,

解得 a=2,b=2; (6 分) (2)由正弦定理,把 sinB=2sinA 化为 b=2a, (8 分) 联立方程组 ,

解得: 又 sinC= ,





则△ABC 的面积

. (10 分)

【点评】此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦、余弦定理,三角形的面积公式, 以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (16 分) (2014?南京模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与 底边成角为 60°(如图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积 为 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米) ,外周长(梯形的上 底线段 BC 与两腰长的和)为 y(米) . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

12

【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】应用题;压轴题. 【分析】 (1)先由横断面积用 x 表示 BC,从建立 y 关于 x 的函数关系式,定义域由线段必 须大于零和高度不低于 米求解; (2)解 y≤10.5 分式不等式; (3)求函数 y 的最小值,根据函数特点及条件可选用不等式解决. 【解答】解: (1) ∴ ,得 ,其中 , , ,



,得 2≤x<6

∴ (2)

; (6 分) 得 3≤x≤4∵[3,4]? [2,6)

∴腰长 x 的范围是[3,4](10 分) (3) 当并且仅当 ,即 , 时等号成立.

∴外周长的最小值为 米,此时腰长为 米. (15 分) 【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力,属于中档题. 19. (16 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (Ⅰ)若 a=﹣2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (Ⅰ)将 a=﹣2 代入,然后求出导函数 f'(x) ,欲证函数 f(x)在(1,+∞)上是 增函数只需证导函数在(1,+∞)上恒大于零即可; (Ⅱ)先求出导函数 f'(x) ,然后讨论 a 研究函数在[1,e]上的单调性,将 f(x)的各极值 与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值. f =x2﹣2lnx, 【解答】 解: (Ⅰ) 当 a=﹣2 时, (x) 当 x∈ (1, +∞) , 故函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数.
13
2



(Ⅱ)

,当 x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].

若 a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当 a=﹣2,x=1 时,f'(x)=0) , 故函数 f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. 若﹣2e2<a<﹣2,当 此时 f(x)是减函数;当 故[f(x)]min=
2

时,f'(x)=0;当

时,f'(x)<0,

时,f'(x)>0,此时 f(x)是增函数. =
2

若 a≤﹣2e ,f'(x)在[1,e]上非正(仅当 a=﹣2e ,x=e 时,f'(x)=0) , 2 故函数 f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e . 综上可知,当 a≥﹣2 时,f(x)的最小值为 1,相应的 x 值为 1; 当﹣2e2<a<﹣2 时,f(x)的最小值为
2 2

,相应的 x 值为



当 a≤﹣2e 时,f(x)的最小值为 a+e ,相应的 x 值为 e 【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 以及利用导数求闭区间上函数的最值, 属于中档题.
n ?1

20. (16 分){an}前 n 项和为 Sn,2Sn=an+1﹣ 2 (1)求 a1 的值; (2)求{an}通项公式; (3)证明 + +…+ < .

+1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列

*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由 2Sn=an+1﹣2 +1,n∈N ,分别取 n=1,2 时,可得 a2=2a1+3,a3=6a1+13.利 用 a1,a2+5,a3 成等差数列,即可得出; (2)当 n≥2 时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1,化为 利用等比数列的通项公式即可得出; (3)由 出. 【解答】 (1)解:∵2Sn=an+1﹣2 +1,n∈N , ∴n=1,2 时,2a1=a2﹣3,2a1+2a2=a3﹣7, ∴a2=2a1+3,a3=6a1+13. ∵a1,a2+5,a3 成等差数列, ∴2(a2+5)=a1+a3, ∴2(2a1+8)=a1+6a1+13,
14
n+1 * n+1 *

,变形



≥3n﹣1.可得

,再利用等比数列的前 n 项和公式即可得

解得 a1=1. (2)解:当 n≥2 时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1= , ∴ ∴数列 ∴ ∴ (3)证明:∵ , . ≥3n﹣1. ,a1+2=3. 是等比数列, ,化为







+

+…+

+…+

=

=



【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 递推式的应用、 “放 缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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