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人教B版高中数学必修二课件 2.3.4 圆与圆的位置关系_图文

圆与圆的位置关系
学习目标: 知道两圆的位置关系,并会判断两圆的位置关系。 学习重点: 知道两圆的位置关系,并会判断两圆的位置关系。

再回首——圆与圆的位置关系
外离
外切 相交 内切 内含

d与R、r 关系

公共点个数

外离 外切 相交 内切 内含

d > R+r d = R+r |R-r| < d < R+r d = |R-r| d < |R-r|

无公共点 1个公共点 2个公共点 1个公共点 无公共点

例1:
已知圆

体验---形成方法
试判断圆 C1 与圆 C2的位置关系

C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0

圆 C1 的圆心是点(-1,-4),半径长

r1 ? 5

圆C2 的圆心是点(2,2),半径长 r ? 10 2
所以 | C1C2 |? (?1 ? 2) 2 ? (?4 ? 2) 2 ? 3 5

又r1 ? r2 ? 5 ? 10, | r1 ? r2 |? 5 ? 10

r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2

所以两圆相交,有两个公共点

理解提升方法
变式1 已知圆C1:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0和圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0相交,求交点坐标.

解:联立两个方程得
2 2 ? ? x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ① ? 2 2 x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ② ? ?

y

C2
A O C1 B

①-②得

x ? 2y ?1 ? 0 ③

解得:x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

x

? 交点为( A -1,1) , B(3,-1)

比 较
代 数 法 几 何 法
反思1:判断圆与圆位置关系时,用哪种方法更简捷?

反思2:若两圆相交求交点,应选用哪种方法?

理解提升方法
变式2 已知圆C1:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0和圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0相交,求公共弦所在直线方程.

解:联立两个方程得
2 2 ? x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ① ? ? 2 2 x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ② ? ?

y

C2
A O C1 B

①-②得

x ? 2y ?1 ? 0 ③ 解得:x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

x

? 交点为( A -1,1) , B(3,-1)
由两点式可得直线方程: x ? 2y ?1 ? 0

理解提升方法
? ? x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?
2 2

① ② ③ A

y

①-②得
x ? 2y ?1 ? 0

C2 O C1

设交点A( x1 , y1 )
2 2 ? x ? y ? 1 1 ? 2 x1 ? 8 y1 ? 8 ? 0 ? 2 2 x ? y ? ? 1 1 ? 4 x1 ? 4 y1 ? 2 ? 0 相减得 x1 ? 2 y1 ? 1 ? 0

B

x

即A点坐标满足③ 同理B点坐标满足③ 两点确定一条直线

小结
2 2 ? x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ? ? 2 2 x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ? ? 则两圆相交时,公共弦所在直线方程为:

( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0

感知---应用方法
变式3 已知圆C1:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0和圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0相交,求公共弦长.

方法一:A( ?1,1), B(3, ?1)
AB = ( ?1 ? 3)2 +(1 ? 1)2 =2 5

y

C2(2,2)
A O C1 (-1,-4) B

方法二:

x ? 2y ?1 ? 0

半径为5

弦心距为2 5

x

半弦长 52 ? (2 5)2 ? 5

例3.求圆心坐标为(3,4)并与圆 x ? y ? 1. 相外切的圆的方程。
2 2

例4.两圆 x2 ? y 2 ? 1. 和 ( x+4)2 ? ( y ? a)2 ? 25.

相切,试确定常数 a 的值

巩固提高方法
1.判断圆C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0与圆C 2 : x 2 ? y 2 ?4 x ? 3 y ? 2 ? 0的位置关系.
2 2 2 2

相交

2.圆C1 : x ? y ? 4 ? 0与圆C 2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 相交,求(1)公共弦所在直线; x ? y ? 2 ? 0 (2)公共弦长.

2 2

1.圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:

x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 C1(-2,2),r1=2,C2(2,5),r2=4, |C1C2|=
( ?2 ? 2) ? ( 2 ? 5)
2 2

= 5,

r2-r1<|C1C2|<r1+r2,

圆C1与圆C2相交,故选B.

归纳总结
知识
1.判断圆与圆位置关系的两种方法
2.求相交圆的公共弦

思想方法 1.类比
2.转化 3.数形结合

3探究:
(1)k 为何值时,圆C1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 14 y ? k ? 0相离,相交,相切?

(2)两圆不相交时,方程相减所得是否为直线? 这条直线与两圆有什么关系?


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