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专题九 圆锥曲线2015原题


专题九 圆锥曲线
1.【2015 高考福建,理 3】若双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 E 上,且 9 16

PF1 ? 3 ,则 PF2 等于( )
A.11 B.9
2

C.5

D.3

2.【2015 高考四川,理 5】过双曲线 x ? 于 A,B 两点,则 AB ? ( (A) )

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 3

4 3 3

(B) 2 3

(C)6

(D) 4 3

3.【2015 高考广东,理 7】已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点 F2 ? 5,0? ,则双曲线 2 4 a b

C 的方程为(
A.

) B.

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

4.【2015 高考新课标 1,理 5】已知 M( x0 , y0 )是双曲线 C: 焦点,若 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是( (A) ((C ) (?

x2 ? y 2 ? 1上的一点, F1 , F2 是 C 上的两个 2

???? ? ???? ?

)

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(D) (?

5.【2015 高考湖北,理 8】将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个 单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C 2 ,则( A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 ) B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2
2

2 2 2 6.【2015 高考四川,理 10】设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A,B 两点,与圆 ? x ? 5 ? ? y ? r ? r ? 0 ? 相

切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( (A) ?1, 3? (B) ?1, 4? (C) ? 2, 3? (D) ? 2, 4?



1

7.【2015 高考重庆,理 10】设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 1,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交 a 2 b2
2 2

于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a ? a ? b ,则该双曲 线的渐近线斜率的取值范围是 A、 (?1,0) ? (0,1) C、 (? 2,0) ? (0, 2) ( ) B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (??, ? 2) ? ( 2, ??)

8.【2015 高考天津,理 6】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的 a 2 b2
)

?

?

一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 21 28 28 21 3 4 4 3

2

9.【2015 高考安徽,理 4】下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( (A) x ?
2

y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4
2

(C)

y2 ? x2 ? 1 4

(D) y ?

x2 ?1 4

10.【2015 高考浙江,理 5】如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ,

B , C ,其中点 A , B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是( )

A.

BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

C.

BF ? 1 AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

11.【2015 高考新课标 2,理 11】已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形, 且顶角为 120° ,则 E 的离心率为( A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 )

2

12.【2015 高考北京,理 10】已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2

. .

【2015 高考上海, 理 5】 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1 , 则p?

【2015 高考湖南,理 13】设 F 是双曲线 C : 点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 13.【2015 高考浙江,理 9】双曲线

x2 y2 ? ? 1的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中 a 2 b2
. ,渐近线方程是 .

x2 ? y 2 ? 1 的焦距是 2

14.【2015 高考新课标 1,理 14】一个圆经过椭圆 在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的三个顶点,且圆心 16 4
.

15.【2015 高考陕西,理 14】若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点,则

p?



【2015 高考上海,理 9】已知点 ? 和 Q 的横坐标相同, ? 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍, ? 和 Q 的轨迹分 别为双曲线 C1 和 C2 .若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则 C2 的渐近线方程为 16.【2015 高考山东,理 15】平面直角坐标系 xoy 中,双曲线 C1 :
2



x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线与抛物 a 2 b2
.

线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0? 交于点 O, A, B ,若 ?OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 17.【2015 江苏高考,12】在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P
2 2

到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为 18.【2015 高考新课标 2,理 20】 (本题满分 12 分)

.

已知椭圆 C : 9 x ? y ? m (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A , B ,线
2 2 2

段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

m , m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 3

的斜率,若不能,说明理由. 19.【2015 江苏高考,18】 (本小题满分 16 分)

3

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程;

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦点 F 到左 2 a b 2

(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

P l

y A O C B x

20.【2015 高考福建,理 18】已知椭圆 E:
y A

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . 2 a b 2

G B

O

x

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点, (Ⅱ)设直线 x = my - 1
判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 4

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ? 对称. 21.【2015 高考浙江,理 19】已知椭圆 2 2
(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

22.【2015 高考山东,理 20】平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 2 a b 2

4

左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 错误!未找到引用源。为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 错误!未找到引用源。 为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 , P 错误!未找到引用源。为椭圆 C 错误!未找到引用源。上任意一点, 4a 2 4b 2
于 A, B 两点,射线 PO 错误!未找到引用源。交椭圆 E 于点 Q .

过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E

( i )求

OQ OP

错误!未找到引用源。的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值. 23,【2015 高考安徽,理 20】设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 a 2 b2

0 ? ,点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? a,
(I)求 E 的离心率 e;

? 2 MA ,直线 OM 的斜率为

5 . 10

(II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b ? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 E 的方程.

7 ,求 2

x2 y 2 24.【2015 高考天津,理 19】 (本小题满分 14 分)已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F ( ?c,0) ,离心 a b b4 3 4 3 2 2 率为 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c, |FM|= . 4 3 3
(I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP ( O 为原点)的斜率的取值范围.

25.【2015 高考重庆,理 21】如题(21)图,椭圆 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF 1

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 a 2 b2

[来源:gkstk.Com]

5

y P

F1

O

F2

x

Q

(1)若 PF 1 ? 2 ? 2, PF 2 ? 2 ? 2 ,求椭圆的标准方程 (2)若 PF1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e. 26.【2015 高考四川,理 20】如图,椭圆 E:

x2 y2 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1)的动 2 a b 2

直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立?若存在,求出 ? QB PB

28.【2015 高考陕西,理 20】 (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? : 点 ? 到经过两点 ? c,0 ? ,

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原 a 2 b2

? 0, b ? 的直线的距离为 2 c .
(I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ?
2 2

1

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点,求椭圆 ? 的 2

方程.

29.【2015 高考新课标 1,理 20】在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交与 M,N 4

6

两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

y 2 x2 【2015 高考湖南,理 20】已知抛物线 C1 : x ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦 a b
2

点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . (1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形 【2015 高考上海,理 21】已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 ? 、 ? 和 C 、

????

??? ?

[来源:gkstk.Com]

D ,记得到的平行四边形 ?? CD 的面积为 S .
(1)设 ? ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,用 ? 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ; (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ?

1 ,求面积 S 的值. 2

7


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