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2014届高三数学一轮复习


[知识能否忆起] 1.双曲线的定义
[动漫演示更形象,见配套课件]

平面内与定点F1、F2的距离的 差的绝对值 等于常数
(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双 曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 .

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准 方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0, b>0) a2 b2

图像

标准方程 范围 对称性 性 质 顶点

x2 y2 - =1(a>0, a2 b2 b>0)

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

x≥a或x≤-a _______________

x≥a或x≤-a ______________ 坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____

坐标轴 对称轴:_______
原点 对称中心:_____

(0,a) (a,0) A1____________ (-a,0), (0,-a) ,A2_________ A1_________ A2______
b y=± ax

渐近线

a y=± bx

x2 y2 y2 x2 标准方程 2- 2=1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a b c 2 2 a + b (1 ,+ ∞ ) 离心率 e=a ,e∈ ,其中c=________



线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| = 2a ;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的

质 实虚轴 长|B B |=2b ; a 叫做双曲线的实半轴长, b 1 2 __ 叫做双曲线的虚半轴长

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的 左焦点的坐标为
? A.? ?- ? ? C.? ?- ? ? 2 ? ,0? 2 ? ? 6 ? ,0? 2 ? ? B.? ?- ?
?

(
? 5 ? ,0? 2 ?
?

)

? D.? ?- 3,0?

2 y 解析:∵双曲线方程可化为 x2- =1, 1 2

1 ∴a =1,b = . 2
2 2

3 6 ∴c =a +b = ,c= . 2 2
2 2 2

? ∴左焦点坐标为? ?- ?

? 6 ? , 0 ?. 2 ?

答案:C

x2 2 2.(教材习题改编)若双曲线 2-y =1 的一个焦点为(2,0), a 则它的离心率为 ( )

2 5 A. 5 2 3 C. 3

3 B. 2 D.2

解析:依题意得 a2+1=4,a2=3, 2 2 2 3 故 e= 2= = . 3 a 3

答案:C

2 y 3.设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲 24

线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等 于
A.4 2 B. 8 3

(

)

C.24 D.48 解析:由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知,
|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=2c =10,所以△PF1F2 为直角三角形,所以△PF1F2 的面 1 积 S= ×6×8=24. 2

答案:C

x2 y2 4.双曲线m- =1(m>0)的焦距为 6,则双曲线的离心率 e= 4 ________.

3 3 5 解析:由题意得 m+4=3,则 m=5,e= = . 5 5
3 5 答案: 5

x2 y2 5.如果双曲线 - =1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8, 4 12 那么点 P 到它的左焦点的距离是________

解析:由双曲线方程得 a=2,c= 4.根据双曲线的定义 |PF1|-|PF2|=± 2a,则|PF1|=|PF2|± 2a=8± 4, ∴|PF1|=4 或 12,经检验二者都符合题意.
答案:4 或 12

1.区分双曲线与椭圆中 a、b、c 的关系,在椭圆中 a2=b2 +c2,而在双曲线中 c2=a2+b2.双曲线的离心率 e>1;椭圆的 离心率 e∈(0,1). 2.当 a>b>0 时,双曲线的离心率满足 1<e< 2; 当 a=b>0 时,e= 2; 当 b>a>0 时,e> 2. 3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,当直线与双 曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.

双曲线的定义及标准方程
x2 y2 (1)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10, a b ( )

[例 1]

点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为

x2 y2 A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20

x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80

(2)(2012· 辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2 为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则 |PF1|+|PF2|的值为________. x2 y2 [自主解答] (1)∵ 2- 2=1 的焦距为 10, a b
c 5 ∴c=5= a +b .又a= ,a=2 5,b= 5 2
2 2

(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上,因为 PF1⊥PF2, 所以(2 2)2=|PF1|2+|PF2|2,
? ? 2 | PF | - | PF | 又因为? 1 2? ? ?= 2 ,所以 (|PF1| - |PF2|) = 4 ,可

得 2|PF1|· |PF2|=4, 则 (|PF1|+ |PF2|)2 = |PF1|2 + |PF2|2 + 2|PF1|· |PF2|= 12, 所以|PF1|+|PF2|=2 3.
[答案] (1)A (2)2 3

1.应用双曲线的定义需注意的问题: 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何 条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且 该常数必须小于两定系点的距离”.若定义中的“绝对值”去 掉,点的轨迹是双曲线的一支. 2. 求双曲线方程常用待定系数法, 若不能明确焦点在哪条 坐标轴上,可设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0).

x2 y2 1.(2012· 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1, 16 20 F2 分别是双曲线左右两个焦点,若 |PF1|=9,则 |PF2| = ( )

A.1
C.1或17

B.17
D.以上答案均不对

x2 y2 (2)(2012· 山东烟台模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一 a b 个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5,则该双曲线的方程为
2 4 y A.5x2- =1 5

(
x2 y2 B. - =1 5 4
2 5 y D.5x2- =1 4

)

y2 x2 C. - =1 5 4

解析: (1)由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8, 又∵|PF1|=9, ∴|PF2| =1 或 17, 但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4 =2>1,∴|PF2|=17. c (2)抛物线 y =4x 的焦点为(1,0),所以 c=1,又a= 5,所以
2

1 2 4 5y2 2 a = ,b = ,双曲线方程为 5x - =1. 5 5 4
2

[答案] (1)B

(2)D

双曲线的几何性质

[例 2]

x2 如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2- a

y2 =1(a>0,b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 b2 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则离 心率为________.

[自主解答]

连接 AF1,AO,由题意

知 |AO| = |F1O| = c ,∠ AOF1 = 60° ,所以 |AF1|=c,|AF2|= 3c,由双曲线定义得 3 c 2 c-c=2a,所以 e=a= = 3+1. 3-1
[答案] 3+1

(1)求双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中 a,c 的关系,在求解中要善于利用几何图形的性质并结合双曲 线的定义建立关系式. (2)解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形 结合思想的应用.

x2 y2 2.(2013· 大同模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛 a b 物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点 为 P,若|PF|=5,则双曲线的方程为
x2 2 A. -y =1 3
2 y C.x2- =1 2 2 y B.x2- =1 3

(

)

x2 2 D. -y =1 2

解析:设点 P(m,n),依题意得,点 F(2,0),由点 P 在抛物 线 y2=8x 上,且|PF|=5
? ?m+2=5, 得? 2 ? ?n =8m,

由此解得 m=3,

a2+b2=4, ? ? 2 n =24.于是有? 9 24 由此解得 a2=1,b2=3,故该 2- 2 =1, ? a b ? y2 双曲线的方程为 x - =1. 3
2

答案:B

直线与双曲线的位置关系
[例 3] (2012· 南昌模拟)已知双曲线

x2 y2 - =1(b>a>0),O 为坐标原点,离心 a2 b2 率 e=2,点 M( 5, 3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程; (2)若直线 l 与双曲线交于 P,Q 两点,且 OP · OQ =0. 1 1 求 + 的值. |OP|2 |OQ|2

[自主解答]

(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,

x2 y2 双曲线方程为 2- 2=1,即 3x2-y2=3a2. a 3a ∵点 M( 5, 3)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12

x2 y2 (2)设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),联立 - =1,得 4 12

?x2= 12 , ? 3-k2 ? 2 12 k ? y 2= , 3-k2 ?

2 12 ? k +1? 2 2 2 ∴|OP| =x +y = . 3-k2

1 则 OQ 的方程为 y=-kx, ? 1? 12?1+k2? 12?k2+1? ? ? 2 同理有|OQ| = = , 1 3k2-1 3- 2 k 3-k2+?3k2-1? 2+2k2 1 1 1 ∴ + = = = . |OP|2 |OQ|2 12?k2+1? 12?k2+1? 6

(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方 程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成 关于 x(或 y)的一元二次方程. 利用根与系数的关系, 整体代入. (2)与中点有关的问题常用点差法.
*

(3)根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率的关系来判断直线

与双曲线的位置关系.

x2 y2 3. (2011· 江西高考)P(x0, y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0, a b b>0)上一点, M、 N 分别是双曲线 E 的左、 右顶点, 直线 PM, 1 PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点, O 为坐标原点, C 为双曲线上一点, 满足 OC =λOA + OB ,求 λ 的值.

x2 y2 解:(1)点 P(x0,y0)(x≠± a)在双曲线 2- 2=1 上, a b
2 x0 y2 0 有 2- 2=1. a b

y0 y0 1 由题意又有 · = , x0-a x0+a 5 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, c 30 则 e=a= . 5

(2)由题意直线方程为 4x2-10cx+35b2=0,

2 2 2 ? x - 5 y = 5 b , ? y= x- c,联立? ? ?y=x-c,



设 A(x1,y1),B(x2,y2), 5c ? ?x1+x2= 2 , 则? 2 35 b ?x1x2= . 4 ?



? ?x3=λx1+x2, 设 OC =(x3,y3), OC =λ OA + OB ,即? ? ?y3=λy1+y2.

2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x2 3-5y3=5b ,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 2 2 化简得 λ2(x2 - 5 y ) + ( x - 5 y ) + 2 λ ( x x - 5 y y ) = 5 b , 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 又 A(x1, y1), B(x2, y2)在双曲线上, 所以 x1 -5y1 =5b2, 2 2 x2 2-5y2=5b .

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得 λ2+4λ=0,解出 λ=0 或 λ=-4.

x2 y2 [典例] 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左 a b 焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2)

(

)

[解析] 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又 △ABE 是锐角三角形, 所以∠AEB 为锐角, 即∠AEF<45° , b2 于是|AF|<|EF|, a <a+c,于是 c2-a2<a2+ac,即 e2-e- 2<0,解得-1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2.

[答案] B

[题后悟道]

离心率是圆锥曲线的重要几何性质,求

解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于 a,b, c 的方程(不等式), 通过这个方程(不等式)和 b 与 a, c 的关 系消掉 b 后,建立 a,c 之间的方程(不等式),只要能通过 c 这个方程求出a即可,不一定具体求出 a,c 的数值.

针对训练

x2 y2 1.(2012· 郑州模拟)已知点 F,A 分别为双曲线 2- 2=1(a> a b 0,b>0)的左焦点,右顶点,点 B(0,b)满足 FB ,· AB ,=0, 则双曲线的离心率为 ( )

A. 2 1+ 3 C. 2

B. 3 1+ 5 D. 2

解析:依题意得 F(-c,0),A(a,0),又 B(0,b),则 FB ,=(c, b), AB ,=(-a,b).由 FB ,· AB ,=0,得 b2=ac,所以 c2-
2 2 c - a 1 1± 5 2 2 a =ac, ac =1, 即 e-e=1, e -e-1=0, 解得 e= . 2

1+ 5 1+ 5 又 e>1,所以 e= ,即双曲线的离心率等于 . 2 2 答案:D

x2 y2 2. (2012· 南昌模拟 )已知椭圆 2+ 2= 1(a> b> c> 0, a2= b2 a b +c2)的左、右焦点分别为 F1,F2,若以 F2 为圆心,b-c 为半径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 3 T, 且|PT|的最小值为 (a-c), 则椭圆的离心率 e 的取值 2 范围是________.

解析: 因为 |PT|= |PF2|2-?b-c?2(b>c),而|PF2|的最小 值为 a-c,所以|PT|的最小值为 ?a-c?2-?b-c?2.依题意 3 有, ?a-c? -?b-c? ≥ (a-c), 所以(a-c)2≥4(b-c)2, 2
2 2

所以 a-c≥2(b-c),所以 a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2 -c2),所以 5c2+2ac-3a2≥0,所以 5e2+2e-3≥0 ①. 又 b>0,所以 b2>c2,所以 a2-c2>c2,所以 2e2<1 3 2 联立①②,得 ≤e< . 5 2 ?3 2? ? 答案:? , ? 2? ?5 ? ②,

教师备选题(给有能力的学生加餐)
x2 y2 1.已知双曲线 2- 2=1 的左,右焦点分别为 F1、F2,过 a b 点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P, 且∠ π PF1F2= ,则双曲线的离心率为________________. 6
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(五十五)”

解析:根据已知得点 P

? b2? b2 的坐标为?c,±a ?,则|PF2|= a , ? ?

π 2b2 2b2 b2 b2 又∠PF1F2= ,则|PF1|= a ,故 a - a =2a,所以 2= 6 a 2,e= b2 1+ 2= 3. a

答案: 3

2.(2012· 大同模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点 为(2,0),右顶点为( 3,0).

(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A
OB >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. 和 B,且 OA ·

x2 y2 解:(1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 由已知得 a= 3,c=2,再由 c2=a2+b2 得 b2=1, x2 2 所以双曲线 C 的方程为 -y =1. 3

x2 2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 整理得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0,
2 ? 1 - 3 k ≠0, ? 由题意得? 2 2 2 ? Δ = ? 6 2 k ? + 36 ? 1 - 3 k ? = 36 ? 1 - k ?>0, ?

1 故 k ≠ 且 k2<1, 3
2



6 2k 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB= , 1-3k2 -9 xA· xB= , 1-3k2
OB >2 得 xAxB+yAyB>2, 由 OA ·

又 xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2
2 - 9 3 k +7 6 2 k 2 =(k +1)· + 2k· +2= 2 , 1-3k2 1-3k2 3k - 1

3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 >0, 3k -1 3k2-1 1 解不等式得 <k2<3, 3 1 由①②得 <k2<1, 3 所以 k
? 的取值范围为? ?-1,- ? ? ? 3? ? ? 3 ? ∪ , 1 ? 3 ?. 3? ? ? ?




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