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高三数学一轮(北师大版)课件:第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”_图文

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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
集合与常用逻辑用语

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第一章 第三节 全称量词与存在量词、逻

辑联结词“且”“或”“非”

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第一章

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考纲要求

命题分析

从近几年的高考题来看,常以逻辑联 结词“或”“且”“非”为工具,考 查函数、数列、立体几何、解析几何 1.了解逻辑联结词 等知识.全称命题、特称命题的考 “或”、“且”、 查,一般有两种方式:一是直接考 “非”的含义. 查,判断含有全称量词与存在量词命 2.理解全称量词 题的真假,以命题为载体,综合考查 与存在量词的意义. 已学过的其他知识点.二是考查含有 3.能正确地对含 全称量词与存在量词命题的否定,熟 有一个量词的命题进 练掌握全称命题与特称命题的否定形 行否定. 式是关键.因此2016年高考仍以全称 命题、特称命题的否定和真假判断为 主,题型可能延续选择题的形式,分 值5分.
第一章 集合与常用逻辑用语

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或 且 ____” 、“ 非 ____” 叫作逻辑联结 1. 命题中的“ ____” 、“

词.
2.用来判断复合命题的真假的真值表: p q p且q p或q 非p 真 假 ______ ______ ______ 真 真 真 真 假 假 假 真 假 ______ 假 ______ 假 ______ 假 ______ 真 ______ 真 ______ 假 ______ 假 ______ 真 ______ 真

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3.全称量词与存在量词
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都 是在指定范围内 , 表示整体或全部的含义 , 这样的词叫作 全称量词 . _________ “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都是表示个 存在量词 . 别或一部分的含义,这样的词叫作_________ 全称命题 . (2)含有全称量词的命题,叫作_________ 特称命题. (3)含有存在量词的命题,叫作________

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4.命题的否定 特称 命 题 ; 特 称 命 题 的 否 定 是 (1) 全 称 命 题 的 否 定 是 ______ 全称 命题. ______ p且非q ; (2)p或q的否定为:非 ________ p或非q p且q的否定为:非 ________.

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5.含有一个量词的命题的否定
命题 任意x∈M,P(x) 存在x0∈M,P(x0) 命题的否定

存在x∈ M,非P(x) ______
任意x∈M,非P(x)

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1.(文)下列命题中的假命题 是( ... A.存在 x∈R,lgx=0 C.任意 x∈R,x3>0
[答案] C

)

B.存在 x∈R,tanx=1 D.任意 x∈R,2x>0

[解析] 本题主要考查全称命题和特称命题真假的判断. 对于选项C,当x≤0时,x3≤0,故C是假命题.

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(理)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0

)

[答案] C
[ 解析 ] “ 对任意 x∈R , x3 - x2 + 1≤0” 等价于关于 x 的不 等式x3-x2+1≤0恒成立,其否定为:x3-x2+1≤0不恒成立,即 存在x∈R,使得x3-x2+1>0成立.

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2.(文)(2015·湖北八校联考)已知命题p:所有指数函数都
是单调函数,则非p为( ) A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数

D.存在一个单调函数,它不是指数函数
[答案] C [解析] 命题p:所有指数函数都是单调函数,则非p为: 存在一个指数函数,它不是单调函数.

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(理)下列命题中,真命题是(

)

A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.任意m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数

D.任意m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
[答案] A [解析] 对于选项A,存在m∈R,即当m=0时,f(x)=x2+ mx=x2是偶函数.故A正确.

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3.(2015·日照模拟)已知命题p:三角形中至少有一个内角
大于 60°,命题 q :三角形中至多有一个内角是钝角.则下面 命题为真命题的是( A.p或(非q) C.(非p)且(非q) ) B.p且q D.(非p)且q

[答案] D
[ 解析 ] 题. 正三角形的三个内角都是 60°,故命题 p 是假命 题.根据反证法可证,命题q是真命题.故只有(非p)且q是真命

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4.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定 是( .. A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1

)

[答案] C

[解析] 本题考查了全称、特称命题及命题的否定.
“ 存 在 实 数 x , 使 x>1” 的 否 定是 “ 对 任 意 实 数 x , 都 有 x≤1”.

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1 5 .命题“对一切非零实数 x ,总有 x + x ≥2”的否定是 ____________,它是________(填“真”或“假”)命题. 1 [ 答案] 存在 x∈R,x≠0,x+x <2 真 1 [ 解析] 例 如 : x=-2,则 x∈R,x≠0,x+x< 2 .

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6. 下 列 结 论 : ①若 命 题 p: 存 在 x∈Z,x3<1; 命 题 q: 任 意 x∈R,x2-x +1 > 0 . 则 命 题 “p 且(非 q)”是 假 命 题 ; ②已 知 直 线 的 充 要 条 件 是 l1:a x +3y-1=0,l2:x+b y +1=0,则 l1⊥l2

a - 3; b= “若 . (把

③命 题 “若 x2-3x+2=0,则 x=1”的 逆 否 命 题 为 : x≠1, 则 x2-3x+2≠0”. 其 中 正 确 结 论 的 序 号 为 你 认 为 正 确 结 论 的 序 号 都 填 上 )
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[答案] ①③
[ 解析] 对①命题 p 真, 命题 q 真, 所以命题“p 且(非 q)” 是假命题,故①正确.对②当 a=b=0 时,l1⊥l2,故充要条件 a 为 a+3b=0,所以b=-3 是 l1⊥l2 的充分不必要条件.对③显 然正确,故答案为①③.

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含有逻辑联结词的命题的真假判断 (1) 已知命题 p :若 a>1 ,则 ax>logax 恒成立;命题 q:在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不

必要条件 ( 其中 m , n , p , q∈N*) ,则下面选项中真命题是
( ) A.(非p)且(非q) C.(非p)或q B.(非p)或(非q) D.p且q

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( 2 ) 设命题 p: 函 数 y=s n i2 x 的 最 小 正 周 期 为 数 y=c o s x 的 图 像 关 于 直 线 ( ) A.p 为真 B.非 q 为假

π 命 题 q:函 2;

π x= 2对 称 . 则 下 列 判 断 正 确 的 是

C.p 且 q 为假 D.p 或 q 为真 [ 思路分析] 判 断 含 有 逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假 的 关 键 是
对 逻 辑 联 结 词 “或” “ 且” “ 非”的 含 义 的 理 解 , 应 根 据 组 成

各 个 命 题 的 语 句 中 所 出 现 的 逻 辑 联 结 词 进 行 命 题 结 构 与 真 假 的 判 断 . 故 先 要 判 断 命 题 p与q的 真 假 .
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[规范解答]

(1)命题p,如图所示,作出函数y=ax(a>1)与y

=logax(a>1)在(0,+∞)上的图像,显然当a>1时,函数y=ax的 图像在函数 y = logax 图像的上方,即当 a>1 时, ax>logax 恒成 立,故命题p为真命题.

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命题q,由等差数列的性质,可知当公差不为0时,m+n=
p+q是an+am=ap+aq的充分必要条件,故命题q为假命题. 故非p为假命题,非q为真命题,所以p且q为假命题,(非p) 或q为假命题,(非p)且(非q)为假命题,(非p)或(非q)为真命题, 故选B.

2π (2)函数 y=sin2x 的最小正周期为 T= 2 =π, 故 p 为假命题; π 函数 y=cosx 的对称轴方程为 x=kπ,k∈Z,2不是 y=cosx 的 对称轴,所以 q 为假命题,故 p 且 q 为假命题,选 C.

[ 答案]

(1)B (2)C
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[ 方法总结 ]

若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真

假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据 “ 或 ” —— 一真即真, “ 且 ” —— 一假即假, “ 非 ” —— 真假相 对,做出判断即可.

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b 若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>-a}, 命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集是{x|a<x<b},则 在命题“p 且 q”、“p 或 q”、“非 p”、“非 q”中,是真命 题的有________.

[答案] 非p,非q [解析] 依题意可知命题 p和q都是假命题,所以“p且q” 为假、“p或q”为假、“非p”为真、“非q”为真.

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全称命题与特称命题及其真假判断 下列命题中的假命题是( A.任意的x∈R,2x-1>0 B.任意的x∈N+,(x-1)2>0 )

C.存在x∈R,lgx<1
D.存在x∈R,tanx=2 [ 思路分析 ] 判断全称命题是假命题,只要举出反例即 可,判断特称命题为真,只要找到一个x0使命题成立即可.

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[ 规范解答 ]

对于任意的 x∈R , x - 1∈R ,此时 2x - 1>0 成

立,∴A是真命题; 又∵(x-1)2>0?x∈R且x≠1,而1∈N+, ∴B是假命题; 又∵lgx<1?0<x<10,∴C是真命题;

又∵y=tanx的值域为R,∴D是真命题,故选B.
[答案] B

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[ 方法总结 ]

1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对限

定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立. 2 .要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中 的一个x=x0,使p(x0)不成立即可.

3 .要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M
中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命 题就是假命题.

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下列命题中,真命题的是(

)

π A.存在 x∈[0,2],sinx+cosx≥2 B.任意的 x∈(3,+∞),x2>2x+1 C.存在 x∈R,x2+x=-1 π D.任意的 x∈(2,π),tanx>sinx

[答案] B

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[ 解析]

π π s n i x+c o s x= 2s n i( x+4),当 x∈[0,2]时, 2s n i( x

π +4)∈[1, 2], 所 以 A错 ; 当 x>3 时, x2-2x-1=(x-1)2-2 > 0 , 所以 B 正 确 ; 对 方 程 x2+x+1=0 的判别式 Δ=12-4=-3 < 0 ,
2

π 所以不存在 x∈R 使 x +x=-1, 故C错 ; 当 x∈(2, π)时, s n i x>0, a tn x<0 故 D 错.

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全称命题与特称命题的否定 已 知 命 题 p : 任 意 x1 , x2∈R , (f(x2) - f(x1))(x2 - x1)≥0,则非p是( )

A.存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0
B.任意x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.任意x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 [思路分析] 首先确定已知命题中所含的量词,然后根据 含有一个量词的命题的否定形式进行判断即可.

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[规范解答]

已知命题是一个全称命题,由全称命题的否

定形式,可知其否定是一个特称命题,把全称量词“任意”改 为存在量词 “ 存在” ,然后把 “ f(f(x2) - f(x1))(x2 - x1)≥0” 改为 “(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0”,即可得到该命题的否定形式为“存

在x1,x2∈R,f(x2)-f(x1)(x2-x1)<0”,故选C.
[答案] C

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[方法总结]

(1)全称命题和特称命题的否定具有特定的形

式:全称命题“任意x∈M,p(x)”的否定形式为“存在x∈M, 非 p(x)” ,特称命题 “ 存在 x∈M , q(x)” 的否定形式为 “ 任意 x∈M,非q(x)”. (2)常见词语的否定形式有: 原语句 否定 形式 是 不 是 都是 > 至少有 一个 一个也 没有 至多有 一个 至少有 两个 对任意 x∈A 使p(x)真

不都 ≤ 是

存在x0∈A 使p(x0)假

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写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)p:任意x∈R,x不是3x-5=0的根. (2)q:有些合数是偶数.

(3)r:存在x0∈R,|x0-1|>0.
[ 解析 ] 题. (2)非q:每一个合数都不是偶数,假命题. (3)非r:任意x∈R,|x-1|≤0,假命题. (1) 非 p :存在 x0∈R , x0 是 3x - 5 = 0 的根,真命

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借助逻辑联结词求解参数范围问题 (12分)已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调 递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对任意x∈R恒成立.若“p

且q”为假,“p或q”为真,求a的取值范围.

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[规范解答] ∵函数y=ax在R上单调递增,∴p:a>1.
不等式ax2-ax+1>0对任意x∈R恒成立,且a>0, ∴a2-4a<0,解得0<a<4,∴q:0<a<4.(5分) ∵“p且q”为假,“p或q”为真, ∴p、q中必有一真一假.(7分)

①当p真,q假时,{a|a>1}∩{a|a≥4}={a|a≥4}.(9分)
②当p 假, q真时, {a|0<a≤1}∩{a|0<a<4} = {a|0<a≤1} . (11 分) 故a的取值范围是{a|0<a≤1,或a≥4}.(12分)

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答题模板 第一步:求命题p、q对应的参数的范围. 第二步:求命题非p、非q对应的参数的范围. 第三步:根据已知条件构造新命题,如本题构造新命题

“p且q”或“p或q”.
第四步:根据新命题的真假,确定参数的范围.

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第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范. 温馨提示:解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对 应的参数的取值范围求解出来,然后转化为集合交、并、补的 基本运算.

答题时,可依答题模板的格式进行,这样可使答题思路清
晰,过程完整,老师在阅卷时,便于查找得分点.

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(文)已 知 命 题

p:“任意的 x∈[ 1 2 ,]

,x2-a≥0”,命题 q:

“存在 x0∈R,x2 若 命 题 “p 且 q”是真命 0+2ax0+2-a=0”, 题,求实数 a 的取值范围.

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[解析] 由“p且q”是真命题, 则p为真命题,q也为真命题. 若p为真命题,a≤x2恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1.

若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,
Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2. 综上可知实数a的取值范围为a≤-2或a=1.

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( 理)(2015·锦州月考)命题p:关于 x的不等式x2+2ax +4>0
对一切x∈R 恒成立,q :函数 f(x) = (3- 2a)x是增函数,若 p或 q 为真,p且q为假,求实数a的取值范围. [解析] 设g(x)=x2+2ax+4,由于关于x的不等式x2+2ax +4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图像开口向上且与x

轴没有交点,
故Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2. 又∵函数f(x)=(3-2a)x是增函数, ∴3-2a>1,∴a<1. 又由于p或q为真、p且q为假,可知p和q一真一假.
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( 1 ) 若p真q

? ?-2<a<2 假,则? ? ?a≥1,

∴1≤a<2;

( 2 ) 若p假q

? ?a≤-2或a≥2, 真,则? ? ?a<1,

∴a≤-2.

综上可知,所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ 1 2 ,) .

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错误理解命题的否定

1 已知命题 p: 2 >0,则非 p 对应的 x 的集合 x -x-2

为(

) A.{x|-1<x<2} C.{x|-2<x<1} B.{x|-1≤x≤2}

[ 错解]

D.{x|-2≤x≤1} 1 ∵p 的否定非 p 为 2 ≤0, x -x-2

即 x2-x-2<0,解得-1<x<2,故选 A.

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[错 因 分 析 ]

1 非p并 非 是 2 ≤0, 而 是 p 对应 x 的 取 x -x-2

值 集 合 的 补 集 , 解 决 此 类 问 题 时 , 不 宜 直 接 通 过 式 子 的 变 形 或 运 算 得 出 命 题 非 再 研 究 非 p, 而 是 先 由 原 命 题 为 真 得 出 参 数 的 取 值 范 围 ,

p为 真 时 参 数 的 取 值 范 围 .

[ 正确解答]

1 由 p: 2 >0 得 p:x>2 或 x<-1,所以 x -x-2

非 p 对应的 x 值的取值范围是{x|-1≤x≤2},故选 B.

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[误区警示]

要深刻认识真值表,对逻辑联结词理解不准

确是出现错误的最常见原因,p与非p的并集应是全集.另外, 含有量词命题的否定,除了把命题的结论否定外,还要注意量 词的改变,即全称量词改为存在量词 ,存在量词改为全称量

词.

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一个关系
逻辑联结词与集合的关系 “或”、“且”、“非”三个逻辑联结词,对应着集合运

算中的“并”、“交”、 “补”,因此,常常借助集合的
“并”、“交”、“补”的意义来解答由“或”、“且”、 “非”三个联结词构成的命题问题.

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两类否定
1.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题 全 称 命 题 p : 任 意 x∈M , p(x) , 它 的 否 定 非 p : 存 在 x0∈M,非p(x0).

(2)特称命题的否定是全称命题
特 称 命 题 p : 存 在 x0∈M , p(x0) , 它 的 否 定 非 p : 任 意 x∈M,非p(x).

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2.复合命题的否定 (1)非(p且q)?(非p)或(非q); (2)非(p或q)?(非p)且(非q). 三条规律

(1)对“p且q”命题:一假则假;
(2)对“p或q”命题:一真则真; (3)对“非p”命题:与“p”命题真假相反.

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