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2014~2015学年度 最新 高三数学(理)冲刺经典题库集锦:专题7《数列求和及综合应用》ppt课件_图文

专题七 数列求和及综合应用 数列求和及综合应用 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下 两个问题: 1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公 式,考查用等差、等比数列知识分析问题和探 考 究创新的能力,属中档题; 情 2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列 解 读 的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及 转化与化归思想的应用,属中档题. 3 主干知识梳理 1.数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将 数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列 或常见的数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法,这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{an},{bn}分 别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n项和公式时所用的方法,也就是 将一个数列倒过来排列 (反序),当它与原数列相加时若有 公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用 倒序相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或 n项的差,通过相 加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和 .这种方 法,适用于求通项为 的数列的前n项和,其中{an} . 1 若为等差数列,则= anan 1 + 1 1? 1 1 ? = ?a -a ? anan+1 d? n n+1? 常见的裂项公式: 1 1 1 ① = - ; n?n+1? n n+1 1 11 1 ② = ( - ); n?n+k? k n n+k 1 1 1 1 ③ = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 1 ④ = ( n+k- n). n+ n+ k k 2.数列应用题的模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时, 该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2) 等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个 固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就 是公比. (3) 混合模型:在一个问题中同时涉及等差数列和等 比数列的模型. (4) 生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定 的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体 量增加(或减少)时,我们称该模型为生长模型.如分 期付款问题,树木的生长与砍伐问题等. (5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项an与它 的前一项an-1(或前n项)间的递推关系式,我们可以 用递推数列的知识来解决问题. 热点分类突破 ? 热点一 ? 热点二 ? 热点三 ? 热点四 分组转化求和 错位相减法求和 裂项相消法求和 数列的实际应用 热点一 分组转化求和 例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在 下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18 (1)求数列{an}的通项公式; 思维启迪 根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式; 解 当a1=3时,不合题意; 当a1= 2时,当且仅当 a2=6,a3=18时,符合题意; 当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3. 故an=2· 3n-1 (n∈N*). (2) 若数列 {bn} 满足: bn = an + ( - 1)nln an ,求数列 {bn}的前n项和Sn. 解 因为bn=an+(-1)nln an 思维启迪 分组求和. =2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1) =2· 3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] =2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 所以 Sn = 2(1 + 3 + ? + 3n - 1) + [ - 1 + 1 - 1 + … + ( -1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3. 当n为偶数时, 1- 3 n n n Sn=2× + ln 3=3 + ln 3-1; 2 1- 3 2 当n为奇数时, ? ? 1- 3 n - 1 ? ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? -n?ln 3 1- 3 ? 2 ? n n n- 1 =3 - ln 3-ln 2-1. 2 n 综上所述, ? ?3n+nln 3-1, n为偶数, ? 2 Sn=? ? n n- 1 3- ln 3-ln 2-1, n为奇数. ? ? 2 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思 想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数 列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等 思 差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解 维 . 在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是 升 华 正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行讨论, 最后再验证是否可以合并为一个公式. 变式训练1 已知数列{an}中,a1=1,anan+1=( 1 )n(n∈N*). 2 (1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}(n∈N*) 都是等比数列; 证明 因为anan+1=( 1 )n,an+1an+2=( 1)n+1, 又a1=1,a2= 1 ,所以数列a1,a3,?,a2n-1,?,是 an+2 1 所以 = . an 2 2 2 2 以1为首项,1为公比的等比数列; 2 比数列. 1 为公比的等 数列a2,a4,?,a2n,?,是以 1 为首项, 2 2 (2) 若 数 列 {an} 的 前 2n 项 和 为 T2n , 令 bn = (3 - T2n)· n· (n+1),求数列{bn}的最大项. 解 由 (1) 可得 T2n =