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高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:第1章基本知能检测


第一章基本知能检测
(时间:120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题有 4 个选项,其中有且仅有一个是正 确的,把正确的选项填在答题卡中) 1.一个三角形的内角分别为 45° 与 30° ,如果 45° 角所对的边长是 4,则 30° 角所对的边长为( A.2 6 C.2 2 [答案] C [解析] 设所求边长为 x,由正弦定理得, x 4 = ,∴x=2 2,故选 C. sin30° sin45° 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 A>B,则一定有( A.cosA>cosB C.tanA>tanB [答案] B [解析] ∵A>B,∴a>b, 由正弦定理,得 sinA>sinB,故选 B. b 3.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos2A= 2a,则 =( a A.2 3 C. 3 [答案] D [解析] 本小题考查内容为正弦定理的应用. ∵asinAsinB+bcos2A= 2a, ∴sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA, b sinB= 2sinA,∴b= 2a,∴ = 2. a 4.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6,b=4.满足条件的△ABC( A.无解 C.有两解 [答案] A [解析] 4×sin60° =2 3= 12, ∵ 6< 12, 即 a<bsinA,∴△ABC 不存在. B.有一解 D.不能确定 ) B.2 2 D. 2 ) B.sinA>sinB D.sinA<sinB ) B.3 6 D.3 2 )

5.(2013~2014 学年度山东济宁市微山一中高二期末测试)△ABC 中,三边 a、b、c 满足 b2+c2-a2= - 2bc,则角 A 等于( π A. 6 π C. 2 [答案] B [解析] ∵b2+c2-a2=2bccosA, ∴2bccosA=- 2bc,∴cosA=- 3π 又∵0<A<π,∴A= . 4 6.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° [答案] A [解析] 由 sinC=2 3sinB 及正弦定理,得 c=2 3b, ∴a2-b2= 3bc=6b2,即 a2=7b2. b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 由余弦定理,cosA= = 2bc 2b· 2 3b = 6b2 3 = , 4 3b2 2 B.60° D.150° ) 2 . 2 ) 3π B. 4 π D. 4

又∵0° <A<180° ,∴A=30° . a 7.在△ABC 中,∠A=60° ,b=1,△ABC 的面积为 3,则 为( sinA 8 3 A. 81 26 3 C. 3 [答案] B 1 [解析] 由 bcsinA= 3得 c=4. 2 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=13, 故 a= 13. a 13 2 39 所以 = = ,选 B. sinA 3 3 2 8.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( ) 2 39 B. 3 D.2 7 )

π A.(0, ] 6 π C.(0, ] 3 [答案] C [解析]

π B.[ ,π) 6 π D.[ ,π) 3

本题主要考查正余弦定理,∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,∴由正弦定理得:a2≤b2+c2-

b2+c2-a2 bc 1 π bc,即 b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得:cosA= ≥ = ,∴0<A≤ ,故选 C. 2bc 2bc 2 3 4 3 9.在△ABC 中,已知 B=45° ,c=2 2,b= ,则 A 的值是( 3 A.15° C.105° [答案] D b c [解析] ∵ = , sinB sinC csinB 2 2sin45° 3 ∴sinC= = = . b 2 4 3 3 ∵0° <C<180° .∴C=60° 或 120° , ∴A=75° 或 15° . 10. 在锐角三角形 ABC 中,b=1,c=2,则 a 的取值范围是( A.1<a<3 C. 3<a< 5 [答案] C [解析] ∵b<c,△ABC 为锐角三角形, ∴边 c 与边 a 所对的角的余弦值大于 0, 即 b2+a2-c2>0 且 b2+c2-a2>0,
2 ? ?1+a -4>0 ∴? . 2 ?1+4-a >0 ?

)

B.75° D.75° 或 15°

)

B.1<a< 5 D.不确定

∴3<a2<5,∴ 3<a< 5. A b+c 11.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 cos2 = ,则△ABC 的形状为( 2 2c A.直角三角形 C.等腰或直角三角形 [答案] A A 1+cosA b+c [解析] 由 cos2 = = , 2 2 2c B.等腰直角三角形 D.等边三角形 )

b 整理得 cosA= . c b2+c2-a2 又 cosA= ,联立以上两式整理得 c2=a2+b2, 2bc ∴C=90° .故△ABC 为直角三角形. 12.如图所示,在△ABC 中,已知∠A?∠B=1?2,角 C 的平分线 CD 把三角形面积分为 3?2 两部 分,则 cosA 等于( )

1 A. 3 3 C. 4 [答案] C

1 B. 2 D.0

[解析] 在△ABC 中,设∠ACD=∠BCD=β,∠CAB=α,由∠A?∠B=1?2,得∠ABC=2α. ∵∠A<∠B,∴AC>BC, ∴S△ACD>S△BCD, ∴S△ACD?S△BCD=3?2, 1 · AC· DC· sinβ 2 3 ∴ = , 1 2 · BC· DC· sinβ 2 ∴ AC 3 = . BC 2

由正弦定理得 AC BC = , sinB sinA AC BC AC BC = ? = , sin2α sinα 2sinαcosα sinα ∴cosα= AC 1 3 3 = × = , 2BC 2 2 4

3 即 cosA= .故选 C. 4 二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.等腰三角形的底边长为 6,腰长为 12,其外接圆的半径为________. [答案] 8 15 5

AB2+AC2-BC2 122+122-62 7 [解析] 设△ABC 中,AB=AC=12,BC=6,由余弦定理 cosA= = = . 2AB· AC 2×12×12 8

∵A∈(0,π),∴sinA=

15 , 8

BC 8 15 ∴外接圆半径 r= = . 2sinA 5 14.在△ABC 中,若 a2+b2<c2,且 sinC= [答案] 2π 3 3 ,则∠C=________. 2

[解析] ∵a2+b2<c2, ∴a2+b2-c2<0,即 cosC<0. 又 sinC= 3 2π ,∴∠C= . 2 3

15.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A,则 cosA=________. [答案] 6 3

[解析] ∵a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 3 2 6 由正弦定理 = , sinA sin2A ∴ 2sinAcosA 2 6 6 = ,∴cosA= . sinA 3 3

16.某人在 C 点测得塔 AB 在南偏西 80° ,仰角为 45° ,沿南偏东 40° 方向前进 10 m 到 O,测得塔 A 仰 角为 30° ,则塔高为________. [答案] 10 m [解析] 画出示意图,如图所示, CO=10,∠OCD=40° ,∠BCD=80° ,∠ACB=45° , ∠AOB=30° ,AB⊥平面 BCO, 令 AB=x,则 BC=x,BO= 3x, 在△BCO 中,由余弦定理,得 ( 3x)2=x2+100-2x×10×cos(80° +40° ), 整理得 x2-5x-50=0, 解得 x=10,x=-5(舍去), 故塔高为 10 m. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2013· 江西理,16)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C.已知 cosC +(cosA- 3sinA)cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

[解析] (1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB- 3sinAcosB=0, 即有 sinAsinB- 3sinAcosB=0. 因为 sinA≠0,所以 sinB- 3cosB=0. 又 cosB≠0,所以 tanB= 3. π 又 0<B<π,所以 B= . 3 (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accosB. 1 1 1 因为 a+c=1,cosB= ,有 b2=3(a- )2+ . 2 2 4 1 1 又 0<a<1,于是有 ≤b2<1,即有 ≤b<1. 4 2 18.(本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、C. π (1)若 sin(A+ )=2cosA,求 A 的值; 6 1 (2)若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 3 π π [解析] (1)由题设知 sinAcos +cosAsin =2cosA.从而 sinA= 3cosA,所以 cosA≠0,tanA= 3.因为 6 6 π 0<A<π,所以 A= . 3 1 (2)由 cosA= ,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccosA, 3 得 a2=b2-c2, π 1 故△ABC 是直角三角形,且 B= .所以 sinC=cosA= . 2 3 19.(本题满分 12 分)(2013· 湖北文,18)在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知 cos2A -3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinBsinC 的值. [解析] (1)由 cos2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cosA-2=0, 1 即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得 cosA= 或 cosA=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 1 π 3 (2)由 S= bcsinA= bcsin = bc=5 3,得 bc=20,又 b=5,知 c=4. 2 2 3 4 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sinBsinC= sinA· sinA= 2 sin2A= × = . a a a 21 4 7

20.(本题满分 12 分)(2013· 重庆理,20)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a2+b2 + 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值. 5 cos2α 5 [解析] (1)因为 a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有 cosC= = =- , 2ab 2ab 2 3π 故 C= . 4 (2)由题意得 ?sinαsinA-cosαcosA??sinαsinB-cosαcosB? 2 = , cos2α 5 因此(tanαsinA-cosA)(tanαsinB-cosB)= 2 , 5 2 , 5

tan2αsinAsinB-tanα(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB= tan2αsinAsinB-tanαsin(A+B)+cosAcosB= 2 .① 5

3π π 2 因为 C= ,A+B= ,所以 sin(A+B)= , 4 4 2 因为 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB, 即 3 2 2 -sinAsinB= , 5 2

3 2 2 2 解得 sinAsinB= - = . 5 2 10 由①得 tan2α-5tanα+4=0, 解得 tanα=1 或 tanα=4. π 1 21.(本题满分 12 分)在△ABC 中,C-A= ,sinB= . 2 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π [解析] (1)由 C-A= 和 A+B+C=π, 2 π π 得 2A= -B,0<A< .∴cos2A=sinB, 2 4 1 3 即 1-2sin2A= ,∴sinA= . 3 3

(2)由(1)得 cosA=

6 . 3

BC AC 又由正弦定理,得 = , sinA sinB ACsinA ∴BC= = sinB 6× 1 3 3 3 =3 2.

π π ∵C-A= ,∴C= +A, 2 2 π 6 ∴sinC=sin( +A)=cosA= , 2 3 1 1 6 ∴S△ABC= AC· BC· sinC= × 6×3 2× =3 2. 2 2 3 22.(本题满分 14 分)如图,已知扇形 AOB,O 为顶点,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2,在弧 AB 上有 一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 相交于点 C,设∠AOP=θ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的 值.

[解析] ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60° -θ,∠OCP=120° . 在△OCP 中,由正弦定理,得 OP CP 2 CP = ,即 = , sin120° sinθ sin∠OCP sinθ ∴CP= 又 4 sinθ. 3

CO 2 = , sin120° sin?60° -θ? 4 sin(60° -θ). 3

∴OC=

故△POC 的面积是 1 S(θ)= CP· CO· sin120° 2 1 4 4 3 = · sinθ· sin(60° -θ)· 2 3 2 3 = = 4 · sinθsin(60° -θ) 3 4 3 1 · sinθ( cosθ- sinθ) 2 2 3



2 1 [cos(2θ-60° )- ],θ∈(0° ,60° ), 2 3 3 . 3

∴当 θ=30° 时,S(θ)取得最大值为


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