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高一同步学讲义 集合间的基本关系


集合间的基本关系
一、子集、空集等概念的教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1,2,3} , B ? {1,2,3,4,5} ; (2) C ? {新华一中高一

班全体女生} , D ? {新华一中高一

班全体学生} ;

(3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形}

1.子集的定义: 对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含 关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 记作: 。 A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: A

B

A? B
2. 集合相等定义: 如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的, 因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如(3)中的两集合 E ? F 。 3. 真子集定义: 若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。 记作: A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4. 空集定义: 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 。 用适当的符号填空:

?
重要结论:

?0? ;

0

?; ?

??? ; ?0?

???

(1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; (4) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: 1. 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; 2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。

1

三、例题讲解: 例 1.填空: (1) 2 N; .

{2}
2

N;

?

A;

(2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 例 2. (课本例 3)写出集合 {a, b} 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。

例 3.若集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , B
2

?

?

?

?

A,求 m 的值。

(m=0 或 或-

1 3

1 ) 2

例 4.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ? 3)

?

?

?

?

2

集合的基本运算㈠ 教学目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握交集与并集的区别与联系; (3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 一、复习回顾: 1.已知 A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则 A 2.用适当符号填空: 0 {0} {0}; 0 Φ; Φ {x|x 2 +1=0,x∈R} {x>2} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} ; {x|x>-3} S;{x|x∈S 且 x ?A}= 。

二、交集、并集概念及性质的教学: 思考 1:考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, (2)

A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ? x x 是实数? ;

1.并集的定义: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作:A∪B(读作: 并 B”,即 “A )

A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B?

用 Venn 图表示:

这样,在问题(1) (2)中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B A∪B=A ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= ; ; 。 ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= , A∪B=B ?

B∪A .

3

2.交集的定义: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集(intersection set) ,记作 A∩B(读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况:

B

A

A(B)

A

B

A B

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф = A∩B=A ? 巩固练习(口答) :

A∩B A∩B=B ? ;

B∩A

①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 三、例题讲解: 变式:A={x|-5≤x≤8}

②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= 。

;

例 1. (课本例 5)设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 ,求 A∪B.

?

?

?

?

例 2. (课本例 7)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l 2 上点的集合为 L2,试用集合的运算表示 l1 ,

l2 的位置关系。

例 3.已知集合 A ? x x ? mx ? m ? 19 ? 0 ,
2 2

C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m,同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ?
(m=-2)

?

?

?

?

B ? y y2 ? 5y ? 6 ? 0

?

?

4

集合的基本运算(二) 教学目标: (1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义, (2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ CU A ”的涵义; (3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。 一、复习回顾: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 交集和补集的有关运算结论有哪些? 4. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B 与 R 有何关系?

思考: U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 二、全集、补集概念及性质的教学: 1.全集的定义: 一般地, 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集 (universe set),记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2.补集的定义: 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集合 A 相对于全集 U 的补 集(complementary set) ,记作: CU A , 读作: 在 U 中的补集” “A ,即

CU A ? ? x x ?U , 且x ? A?

用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

A ? CU A ? ?, CUU ? ?,
巩固练习(口答) :

A ? CU A ? U , CU ? ? U

CU (CU A) ? A

①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则 CU A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A =

5

三、例题讲解:

2, 4,6? 例 1. (课本例 8)设集 U ? x x是小于9的正整数 , A ? ?1, 3?,B ? ?3, 5, ,求 CU A , CU B .

?

?

例 2.设全集 U ? x x ? 4 , 集合A ? x ?2 ? x ? 3 , B ? x ?3 ? x ? 3 ,求 CU A ,

?

?

?

?

?

?

A ? B , A ? B, CU ( A ? B), (CU A) ? (CU B), (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。 (结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) )

例 3.设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0 ,若

?

?

(CU A) ? B ? ?2? , A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。 (答案: ?2,3, 4? )
集合复习课 一、复习回顾: 1. 提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些? 2. 提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示?图形语言如何表示? 3. 提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性质? 3. 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些? 4. 集合问题的解决方法:Venn 图示法、数轴分析法。 二、集合性质的运用: 例 3:A={x|x 2 +4x=0},B={x|x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0}, 若 A∪B=A,求实数 a 的值。

说明:注意 B 为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要注意判别式。 例 4:已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围。

6

(三)巩固练习: 1.已知 A={x|-2<x<-1 或 x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩B={x|1<x≦3},求集合 B。 2.P={0,1},M={x|x ? P},则 P 与 M 的关系是 。

3.已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为 40、31 人,两项均不及格的为 4 人,那 么两项都及格的为 人。 4.满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 个。

5.已知集合 A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6},则 B 的子集的集合一共有多少个元 素? 6.已知 A={1,2,a},B={1,a 2 },A∪B={1,2,a},求所有可能的 a 值。 7.设 A={x|x -ax+6=0},B={x|x -x+c=0},A∩B={2},求 A∪B。 8.集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q。 9. A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B。 10.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。
2 2

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