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矩阵分析课后习题解答(整理版)


第一章 线性空间与线性变换
(以下题目序号与课后习题序号不一定对应,但题目顺序是一致的, 答案为个人整理,不一定正确,仅供参考,另外,此答案未经允许不 得擅自上传)

(此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别)

1.9.利用子空间定义,R ( A) 是 C m 的非空子集, 即验证 R ( A) 对 C m 满足加

法和数乘的封闭性。 1.10.证明同 1.9。 1.11. dim R( A) ? rankA, dim N ( A) ? n ? rankA(解空间的维数)

1.13.提示:设 A ? (aij ) n?( ,0,0,?)T (其中1 n i , j ? n ) ,分别令 X ? X i ? (0,0,?1 ? 位 于 X i 的 第 i 行 ), 代 入 X T AX ? 0 , 得 aii ? 0 ; 令 ,代入 X ? X ij ? (0,0?,1,0,0?1,0,0?)T (其中 1 位于 X ij 的第 i 行和第 j 行)
X T AX ? 0 ,得 aii ? aij ? a ji ? a jj ? 0 ,由于 aii ? a jj ? 0 ,则 aij ? a ji ? 0 ,故
AT ? ? A ,即 A 为反对称阵。若 X 是 n 维复列向量,同样有 aii ? 0 ,

? 1 aij ? a ji ? 0 ,再令 X ? X ij ? (0,0,?i,0,0,?1,0,?)T (其中 i 位于 X ij 的第 i 行,

位 于 X ij 的 第 j 行 ) , 代 入 X H AX ? 0 , 得 aii ? a jj ? i(a ji ? aij ) ? 0 , 由 于
aii ? a jj ? 0 , a ji ? ?aij ,则 aij ? a ji ? 0 ,故 A ? 0

1.14. AB 是 Hermite 矩阵,则 ( AB) H ? B H AH ? BA ? AB 1.15.存在性:令 B ?
A ? AH A ? AH ,C ? , A ? B ? C ,其中 A 为任意复矩 2 2

阵,可验证 B H ? B, C H ? ?C 唯 一 性 : 假 设 A ? B1 ? C1 , B1H ? B1, C1H ? ?C1 , 且 B1 ? B, C1 ? C , 由
AH ? B1 ? C1 ? B1 ? C1 ,得 B1 ?
H H

A ? AH A ? AH ? B, C1 ? ? C (矛盾) 2 2

第二章 酉空间和酉变换

(注意实空间与复空间部分性质的区别)

2.8 法二:设 ei ? (e1 , e2 ,?en )(0,0,?1,0,?0)T ? (e1 , e2 ,?en ) X (1 在第 i 行) ;
e j ? (e1 , e2 ,?en )(0,0,?1,0,?0)T ? (e1 , e2 ,?en ) Y (1 在第 j 行)
~

~

根据此题内积定义 (ei , e j ) ? Y X ? ?

~H ~

?1 i ? j ?0 i ? j

故 e1 , e2 ,?en 是 V 的一个标准正交基。

(注意,在无特别定义的情况下,内积的定义默认为 ( X , Y ) ? Y H X )

2.15 先求得 C 使 C H AC ? ? , 假设 P ? CB , 使 P H AP ? I , 则有 (BBH )?1 ? ? , 依次式求得 B,进而求得 P。(此方法不一定正确) 2.16 将 进行列变换化为阶梯型知可取 ?1,? 2 为其中两个 (?1,? 2,?3)
T 基,另两个基可取 ?3 ? (0,0,1,0) ,?4 ? (0,0,0,1)T ,化标准正交基略。

2.17 略

第二章 矩阵的分解

?1 注:例 2.9(1)中的 Jordan 标准型有误, J ? ? ? ? ?

1

? ,Jordan 标准 1? ? 1? ?

型不唯一,各 Jordan 块之间可以互换,互换的原则是:同一特征值 对应的 Jordan 块之间可以互换;不同特征值对应的 Jordan 块整体可 以互换。

3.7、3.8 同 3.1

3.11 方法同上 3.12 由 Ak ? O 知 A 的特征值全为 0 ( ?x ? 0, Ax ? ?x ? Ak x ? ?k x ) , 则 A? I 的特征值全为 1,根据行列式与特征值的关系,则 A ? I ? 1

3.27 略

3.29 见课本 P67 例 3.17 3.30 见课本 P69 例 3.19

第三章 范数及其应用

4.12 (1) A F ? A m ? A 2 , AB 2 ? A 2 B 2 ? min? A 2 B F , A F B 2 ?
2

(2) n A 2 ? n max?i ( AH A) ? tr ( AH A) ? A F ?
A2? A
F

2

2

1 AF ? A2 n

? A m ? n A m 易证。
1 ?

第七章 广义逆矩阵


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