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山东省枣庄市滕州市善国中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


山东省枣庄市滕州市善国中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
一.(选择题,每题 5 分,共 75 分) 1. (5 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为() A.5 B. 4 C. 3 D.2 2. (5 分)若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a=() A.4 B. 2 C . ﹣2 D.﹣4 3. (5 分)若 a<b<0,则下列结论中不恒成立的是() A.|a|>|b| B. C.a +b >2ab
2 2

D.

4. (5 分)如果在△ ABC 中,a=3, A. B.

,c=2,那么 B 等于() C. D.

5. (5 分)由首项 a1=1,公比 q=2 确定的等比数列{an}中,当 an=64 时,序号 n 等于() A.4 B. 5 C. 6 D.7 6. (5 分)设 a,b,c,d∈R,给出下列命题: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; ③若 a>b,c>d,则 ac>bd; 2 2 ④若 ac >bc ,则 a>b. 其中真命题的序号是() A.①② B.②④ C.①②④ 7. (5 分)在△ ABC 中,已知 a=5 A.105° B.60°

D.②③④

,c=10,A=30°,则 B 等于() C.15° D.105°或 15°

8. (5 分)等差数列{an}前 17 项和 S17=51,则 a5﹣a7+a9﹣a11+a13=() A.3 B. 6 C.17 D.51 9. (5 分)已知 x>0,函数 A.5 B. 4 的最小值是() C. 8 D.6

10. (5 分)在△ ABC 中,∠A=60°,a=

,b=3,则△ ABC 解的情况()

A.无解

B.有一解

C.有两解

D.不能确定

11. (5 分){an}为等比数列,Sn 是其前 n 项和,若 a2?a3=8a1,且 a4 与 2a5 的等差中项为 20, 则 S5=() A.29 B.30 C.31 D.32 12. (5 分)若正实数 a,b 满足 a+b=1,则 + 的最小值是() A.4 B. 6 C. 8 D.9

13. (5 分)在△ ABC 中,sinAsinB<cosAcosB,则这个三角形的形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 14. (5 分)已知(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<1 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7 15. (5 分)设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=() A. B. C. D.n +n
2

二.(非选择题,共 75 分,填空每题 5 分) 16. (5 分)a>1,则 . 17. (5 分) 与2 的等比中项为. 的最小值是

18. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值是.

19. (5 分)已知 6,a,b,48 成等差数列,6,c,d,48 成等比数列,则 a+b+c+d 的值为. 20. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成等 差数列,且 a=1,b= ,则 S△ ABC=.

三.解答题 2 21. (12 分)已知不等式 ax ﹣3x+2>0 (1)若 a=﹣2,求上述不等式的解集; 2 (2)不等式 ax ﹣3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b},求 a,b 的值.

22. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.


23. (12 分)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积. 24. (14 分)设数列{an}前 n 项和 Sn,且 Sn=2an﹣2,令 bn=log2an (Ⅰ)试求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求证数列{cn}的前 n 项和 Tn<2.

b.

山东省枣庄市滕州市善国中学 2014-2015 学年高二上学期 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.(选择题,每题 5 分,共 75 分) 1. (5 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为() A.5 B. 4 C. 3 D.2 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 写出数列的第一、三、五、七、九项的和即 5a1+(2d+4d+6d+8d) ,写出数列的第二、 四、六、八、十项的和即 5a1+(d+3d+5d+7d+9d) ,都用首项和公差表示,两式相减,得到结 果. 解答: 解: ,

故选 C. 点评: 等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解,让每一个偶数项减去前一奇 数项,有几对得到几个公差,让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数. 2. (5 分)若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a=() A.4 B. 2 C . ﹣2 D.﹣4

考点: 等差数列;等比数列. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 因为 a,b,c 成等差数列,且其和已知,故可设这三个数为 b﹣d,b,b+d,再根据 已知条件寻找关于 b,d 的两个方程,通过解方程组即可获解. 解答: 解:由互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,可设 a=b﹣d,c=b+d,由题设得, ,

解方程组得

,或



∵d≠0, ∴b=2,d=6, ∴a=b﹣d=﹣4, 故选 D. 点评: 此类问题一般设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立等式求解, 注意三个成等差数列的数的设法:x﹣d,x,x+d. 3. (5 分)若 a<b<0,则下列结论中不恒成立的是() A.|a|>|b| B. C.a +b >2ab
2 2

D.

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: a,b 两数可以是满足 a<b<0 任意数,代入后看所给不等式是否成立,即可得到正 确选项. 解答: 解:若 a<b<0,不妨设 a=﹣2,b=﹣1 代入各个选项,错误的是 A、B, 当 a=b=﹣2 时,C 错. 故选 D. 点评: 利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法,属于基础题. 4. (5 分)如果在△ ABC 中,a=3, A. B. ,c=2,那么 B 等于() C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由余弦定理可得 cosB= <π 即可求得 B= . = = ,由于 B 为△ ABC 内角,即 0<B

解答: 解:由余弦定理知:cosB=

=

= ,

∵B 为△ ABC 内角,即 0<B<π ∴B= .

故选:C. 点评: 本题主要考察了余弦定理的应用,属于基础题. 5. (5 分)由首项 a1=1,公比 q=2 确定的等比数列{an}中,当 an=64 时,序号 n 等于() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的通项公式可得 2 =64,解方程可得. n﹣1 n﹣1 解答: 解:由题意可得 an=a1q =2 =64, 解得 n﹣1=6,即 n=7 故选 D 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 6. (5 分)设 a,b,c,d∈R,给出下列命题: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; ③若 a>b,c>d,则 ac>bd; 2 2 ④若 ac >bc ,则 a>b. 其中真命题的序号是() A.①② B.②④ C.①②④
n﹣1

D.②③④

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: ①若 ac>bc,则 a>b,c≤0 时不成立; ②利用不等式的基本性质即可得出; ③若 a>b,c>d,取 a=2,b=1,c=﹣2,d=﹣3,则 ac<bd,即可判断出; ④若 ac >bc ,则 c >0,可得 a>b. 解答: 解:①若 ac>bc,则 a>b,c≤0 时不成立; ②若 a>b,c>d,则 a+c>b+d,正确; ③若 a>b,c>d,取 a=2,b=1,c=﹣2,d=﹣3,则 ac<bd,不成立; 2 2 ④若 ac >bc ,则 a>b,正确. 其中真命题的序号是②④. 故选:B. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 7. (5 分)在△ ABC 中,已知 a=5 A.105° B.60° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. ,c=10,A=30°,则 B 等于() C.15° D.105°或 15°
2 2 2

分析: 根据正弦定理 知

,将题中数据代入即可求出角 C 的正弦值,然后根据

三角形的内角和,进而求出答案. 解答: 解:∵知 a=5 ,c=10,A=30° 根据正弦定理可知 ∴sinC═ =

∴C=45°或 135° B=105° 或 15° 故选 D. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用来运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系.属于基础题. 8. (5 分)等差数列{an}前 17 项和 S17=51,则 a5﹣a7+a9﹣a11+a13=() A.3 B. 6 C.17 D.51 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据 S17=51 求出 a1+d 的值,再把 a1+16 代入 a5﹣a7+a9﹣a11+a13 即可得到答案. 解答: 解:∵S17= = =51

∴a1+8d=3 ∴a5﹣a7+a9﹣a11+a13=a1+4d﹣a1﹣6d+a1+8d﹣a1﹣10d+a1+12d=a1+8d= 故选 A. 点评: 本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式.由于公式较多,应注意平时多 积累.

9. (5 分)已知 x>0,函数 A.5 B. 4

的最小值是() C. 8 D.6

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由于 x>0,利用基本不等式求得函数 解答: 解:∵x>0,函数 故函数 的最小值是 4, ≥2 的最小值.

=4,当且仅当 x= ,x=2 时,等号成立,

故选:B. 点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件,并注意检验等号成 立的条件.

10. (5 分)在△ ABC 中,∠A=60°,a= A.无解 B.有一解

,b=3,则△ ABC 解的情况() C.有两解 D.不能确定

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 a,b 及 sinA 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值,求解即可. 解答: 解:由正弦定理得: 即 ,解得 sinB= ,

因为,sinB∈[﹣1,1],故角 B 无解. 即此三角形解的情况是无解. 故选 A. 点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值,掌握正弦函数的图象与性质,是一道基 础题. 11. (5 分){an}为等比数列,Sn 是其前 n 项和,若 a2?a3=8a1,且 a4 与 2a5 的等差中项为 20, 则 S5=() A.29 B.30 C.31 D.32 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列与等比数列的通项公式可得 a1,q,再利用前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a2?a3=8a1, ∴ =8a1,化为 .

∵a4 与 2a5 的等差中项为 20,∴a4+2a5=40, ∴ ,

∴8+16q=40,解得 q=2,a1=1. ∴S5= =31.

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式,属于基础题. 12. (5 分)若正实数 a,b 满足 a+b=1,则 + 的最小值是() A.4 B. 6 C. 8 D.9

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题.

分析: 由已知中正实数 a, b 满足 a+b=1, 根据基本不等式“1 的活用”, 我们将分子式中的“1” 全部变形成 a+b,然后利用分式的性质,化简得到两数为定值的情况,利用基本不等式即可得 到答案. 解答: 解:∵正实数 a,b 满足 a+b=1, ∴ + = 故 + 的最小值是 9 故选 D 点评: 本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用,其中对于已知两数之和为定 值,求两分式之和的最值时,“1 的活用”是最常用的办法. 13. (5 分)在△ ABC 中,sinAsinB<cosAcosB,则这个三角形的形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 把已知的不等式移项后,根据两角和的余弦函数公式化简得到 cos(A+B)大于 0, 然后利用诱导公式得到 cosC 小于 0,即可判断三角形的内角 C 的大小.推出结果. 解答: 解:若 sinAsinB<cosAcosB, 则 cosAcosB﹣sinAsinB>0, 即 cos(A+B)>0, ∵在△ ABC 中,A+B+C=π, ∴A+B=π﹣C, ∴cos(π﹣C)>0, 即﹣cosC>0, ∵0<C<π, ∴ <C<π, =5+( )≥ 9

即△ ABC 是钝角三角形. 故选:B. 点评: 考查学生灵活运用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简求值,会根据三角函数值 的正负判断角的范围. 14. (5 分)已知(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.a<1 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 将两点坐标分别代入直线方程中,只要异号即可. 解答: 解:因为(3,1)和(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧, 所以有(3×3﹣2×1+a)[3×(﹣4)﹣2×6+a]<0, 解得﹣7<a<24 故选 C.

点评: 本题考查线性规划知识的应用.一条直线把整个坐标平面分成了三部分,让其大于 0 的点,让其大于 0 的点以及让其小于 0 的点. 15. (5 分)设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=() A. B. C. D.n +n
2

考点: 等差数列的前 n 项和;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 设数列{an}的公差为 d,由题意得(2+2d) =2?(2+5d) ,解得 由此可求出数列{an}的前 n 项和. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d, 2 则根据题意得(2+2d) =2?(2+5d) , 解得 或 d=0(舍去) , .
2

或 d=0(舍去) ,

所以数列{an}的前 n 项和

故选 A. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 二.(非选择题,共 75 分,填空每题 5 分) 16. (5 分)a>1,则 3. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 根据 a>1 可将 a﹣1 看成一整体,然后利用均值不等式进行求解,求出最值,注意等 号成立的条件即可. 解答: 解:∵a>1,∴a﹣1>0 =a﹣1+ +1≥2+1=3 的最小值是

当 a=2 时取到等号, 故答案为 3 点评: 本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及均值不等式的应用,属于基础题. 17. (5 分) 考点: 专题: 分析: 解答: 与2 的等比中项为±2.

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由题意和等比中项的性质直接求出. 解:设 与 2 的等比中项为 G,



=4,解得 G=±2,

故答案为:±2. 点评: 本题考查等比中项的性质,注意等比中项有两个,属于基础题.

18. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值是 4.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=x+y 化为 y=﹣x+z,z 相当于直线 y=﹣x+z 的纵截距, 由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=x+y 化为 y=﹣x+z,z 相当于直线 y=﹣x+z 的纵截距, 则由 y=6﹣2x 与 y=x 联立解得, x=2,y=2; 故 z=2+2=4; 故答案为:4. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 19. (5 分)已知 6,a,b,48 成等差数列,6,c,d,48 成等比数列,则 a+b+c+d 的值为 90. 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 6,a,b,48 成等差数列,可得 a+b=6+48,根据 6,c,d,48 成等比数列,可 3 得 48=6q ,故公比 q=2,求出 c 和 d 的值,即得 a+b+c+d 的值. 解答: 解:根据 6,a,b,48 成等差数列,可得 a+b=6+48=54,根据 6,c,d,48 成等比数 列, 3 可得 48=6q ,故公比 q=2,故 c+d=12+24=36,∴a+b+c+d=54+36=90, 故答案为 90.

点评: 本题考查等差数列的定义和性质,等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式, 求出等比数列的公比 q=2,是解题的关键. 20. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成等 差数列,且 a=1,b= ,则 S△ ABC= .

考点: 正弦定理;等差数列的通项公式. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中, 由角 A, B, C 依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得 B= 于 a=1,b= C= ,由正弦定理可得 sinA= ,再结合 a<b 求得 A= ,可得 . 由

,再由 S△ ABC= ab,运算求得结果.

解答: 解:在△ ABC 中,由角 A,B,C 依次成等差数列,可得 A+C=2B,再由三角形内角 和公式求得 B= 由于 a=1,b= . ,有正弦定理可得 ,解得 sinA= ,再结合 a<b 求得 A= ,

∴C=

, ,

故 S△ ABC= ab= 故答案为 .

点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,正弦定理、根据三角函数的值求角,属于中 档题. 三.解答题 2 21. (12 分)已知不等式 ax ﹣3x+2>0 (1)若 a=﹣2,求上述不等式的解集; 2 (2)不等式 ax ﹣3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b},求 a,b 的值. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: (1)由已知,即解﹣2x ﹣3x+2>0,可先将二次项系数化为正数,再利用一元二次 不等式的解法,求解即可. 2 (2)根据一元二次不等式的性质可知,1,b 是方程 ax ﹣3x+2=0 的两根,代入求解. 2 2 解答: 解: (1)若 a=﹣2,则不等式 ax ﹣3x+2>0 等价为﹣2x ﹣3x+2>0, 即 2x +3x﹣2<0, (2x﹣1) (x+2)<0,解得﹣2<x< ,
2

∴不等式的解集为{x|﹣2<x< }. (2)∵不等式 ax ﹣3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b}, 2 ∴a>0,且 1,b 是对应方程 ax ﹣3x+2=0 的两根, ∴a﹣3+2=0,解得 a=1. 又 1×b= ,解得 b=2. 即 a=1,b=2. 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,体现了一元二次不等式、一元二次方程、二次 函数三者之间的关系,要熟练掌握三个二次之间的关系. 22. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.


2

考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为 d,由已知 S5=5a3=35,a5+a7=26,结合等差数列的 通项公式及求和公式可求 a1,d,进而可求 an,Sn, (Ⅱ) 由(Ⅰ)可求 bn= = = ,利用裂项即可求和

解答: 解: (Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为 d, 因为 S5=5a3=35,a5+a7=26, 所以 ,…(2 分)

解得 a1=3,d=2,…(4 分) 所以 an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn=3n+ ×2=n2+2n.…(6 分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 an=2n+1, 所以 bn= = …(8 分)

= 所以 Tn=

,…(10 分) .…(12 分)

点评: 本题主要考查了的等差数列的通项公式及求和公式的应用,数列的裂项相消求和方 法的应用,属于数列知识的简单综合

23. (12 分)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积.

b.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出 sinA 的值,由 A 为锐角,利用特殊角的三 角函数值即可求出 A 的度数; (Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a,b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)由 2asinB= b,利用正弦定理得:2sinAsinB= sinB, ∵sinB≠0,∴sinA= 又 A 为锐角, 则 A= ;
2 2 2 2 2 2



(Ⅱ)由余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cosA,即 36=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=64﹣3bc, ∴bc= ,又 sinA= , .

则 S△ ABC= bcsinA=

点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 24. (14 分)设数列{an}前 n 项和 Sn,且 Sn=2an﹣2,令 bn=log2an (Ⅰ)试求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求证数列{cn}的前 n 项和 Tn<2.

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,从而可求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)利用错位相减法,可求数列{cn}的前 n 项和 Tn,即可证明结论. 解答: (Ⅰ)解:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣2)﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1, 所以,an=2an﹣1,即 ,…(3 分)

当 n=1 时,S1=2a1﹣2,a1=2,…(4 分) 由等比数列的定义知,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以,数列{an}的通项公式为 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 ,…(8 分) .…(6 分)

所以

,①

以上等式两边同乘以 ,得 ①﹣②,得

,②

=

, 所以 .

所以 Tn<2.…(12 分) 点评: 本题考查等比数列的通项,考查数列的求和,考查错位相减法的运用,属于中档题.


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