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从一道课本习题看三角公式之间的关系
高中数学(人教版)第一册(下)第 88 页题 19:已知 sin ? ? cos ? ? 值。现将 sin ? ? cos ? ?

2 ,求 sin 2? 的 3

2 5 两边平方,易得 sin 2? ? ? 。 3 9 5 14 2 顺水推舟,由 2 sin ? cos ? ? 两边乘以-1 后再加 1 得 (sin ? ? cos ? ) ? , 9 9 2 2 ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? 3 3 ? ? 解方程组 ? 或? ?sin ? ? cos? ? 14 ?sin ? ? cos? ? ? 14 ? ? 3 3 ? ? ? 2 ? 14 ? 2 ? 14 ?sin ? ? ?sin ? ? ? ? 6 6 得? 或? ?cos? ? 2 ? 14 ?cos? ? 2 ? 14 ? ? 6 6 ? ? sin ? ? cos ?, sin ? cos ? 之间有着知其一可求其二的密切关系, 不难发现 sin ? ? cos ?, 进而可求 sin ? 与 cos ? 的值,从而求出θ 的任一三角函数值,其中 sin ? cos ? 起着纽带的
作用。应用这一关系可以巧妙地解决一类相关问题。

7 ,且 ? ? ? x ? 0 ,求 tan x 的值。 17 7 49 解:由 sin x ? cos x ? ? ,两边平方得 1 ? 2 sin x cos x ? 17 289 240 529 2 sin x cos x ? , (sin x ? cos x) 2 ? 289 289 ?? ? x ? 0 因 sin x cos x ? 0,
例 1. 已知 sin x ? cos x ? ? 所以 ? ? ? x ? ?

?

2

, sin x ? 0, cos x ? 0 ,

23 7 ,与 sin x ? cos x ? ? 联立方程组, 17 17 15 8 cos x ? ? 解出 sin x ? ? , 17 17 15 故 tan x ? 8
得 sin x ? cos x ? ? 例 2. 函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值为_________。 解:设 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ,则 ? 2 ? t ? 2 。

t 2 ?1 又 sin x cos x ? , 2
那么 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? t ? 所以当 t ?

t 2 ?1 1 ? (t ? 1) 2 ? 1 , 2 2

2 时,y 有最大值 2 ?

1 。 2

例 3. 求 f (? ) ?

4 sin ? cos ? ? 1 ? (0 ? ? ? ) 的最大值和最小值。 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 sin(? ?

解:设 t ? sin ? ? cos ? ? 由0 ?? ?

?

3? ,则 1 ? t ? 2 2 4 4 4 2 又由 (sin? ? cos? ) 2 ? t 2 ,得 2 sin ? cos? ? t ? 1 ,

?

,得

?

?? ?

?

4

),

?

2(t 2 ? 1) ? 1 1 ? 2(t ? 1) ? t ?1 t ?1 当 1 ? t ? 2 时,利用单调性定义容易证明 f (t ) 是 t 的增函数,所以 1 1 , 2(1 ? 1) ? ? f (t ) ? 2( 2 ? 1) ? 1?1 2 ?1 1 即 ? ? f (t ) ? 2 ? 1 为 f(t)的取值范围。 2 1 故函数 f(θ )有最大值 2 ? 1 ,最小值 ? 2
所以 f (t ) ? 例 4. 在△ABC 中, sin A ? cos A ? 积。 解:由 sin A ? cos A ? 得 (sin A ? cos A) ?
2

2 ,AC ? 2,AB ? 3 ,求 tanA 的值和△ABC 的面 2

2 , 2

1 1 , 2 sin A cos A ? ? 2 2 因 0? ? A ? 180 ? , sin A ? 0 ,所以 cos A ? 0 。 3 2 又 (sin A ? cos A) ? 1 ? 2 sin A cos A ? , 2 6 即 sin A ? cos A ? 。 2 2? 6 2? 6 从而得 sin A ? , cos A ? 4 4 sin A ? ?2 ? 3 则 tan A ? cos A 1 1 2? 6 3 ? ( 2 ? 6) 。 故 S ?ABC ? AC ? AB ? sin A ? ? 2 ? 3 ? 2 2 4 4
练一练:

60 ? ? ,且 ? ? ? ,求 sin ? 与 cos ? 的值。 169 4 2 2 2. 已知 sin x ? sin y ? ,求 cos x ? cos y 的取值范围。 2
1. 已知 sin ? cos ? ? 答案:

1. sin ? ?

12 5 , cos ? ? 13 13
2

289 17 ,则 sin ? ? cos ? ? 。 169 13 49 7 又 1 ? 2 sin ? cos ? ? ,得 sin ? ? cos ? ? ,由此可解得) 169 13 ? 14 14 ? , ? 2. ?? 2 2 ? ?
(提示:由题意可得 (sin ? ? cos ? ) ? (提示:设 cos x ? cos y ? t 两边平方,把 sin x ? sin y ?

2 两边平方,相加得 2

t2 3 cos(x ? y ) ? ? 即可得解)精品推荐 强力推荐 值得拥有 2 4