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2、5从力做的功到向量的数量积


§2.4.1 平面向量数量
积的物理背景及其含义

学习目标:

? 1.理解平面向量的数量积及 其物理意义、几何意义; ? 2.掌握平面向量数量积的重 要性质及运算律;
? 3.能够运用定义和运算性质解 决相关问题.

预习提纲:
看课本P103到P104
1.物理学中的功的定义是怎样的,它是标量 还是矢量? 2.两个向量的夹角是如何规定的?范围是什 么? 3.向量的数量积是如何定义的?如何表示? 有哪些性质? 4.如何理解投影?它是一个向量还是一个数?

一、向量数量积的物理背景
F

θ
O 位移S A

问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那 么力F 所做的功应当怎样计算?

力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是F与s的夹角。

二、两个向量的夹角
两个非零向量 则 ?AOB ? ?

a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b,
叫做向量 和 b的夹角. a B

(0? ? ? ? 180? )
b
?
O

b

a

a

A

注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B

a
O

a
A B b O ? ? 180? A

b

?

b B

O

a
?

? ? 0?

? ? 90

A

a 与 b 同向

a 与 b 反向

a 与 b 垂直,
记作

a?b

如图,等边三角形ABC中,求: (1)AB与AC的夹角____; 60 ? (2)AB与BC的夹角________ 120 . C
?

C

'

120
A

?

通过平移 变成共起点!

60

?

1200

B

D

四、投影的概念
b ? O

B

b cos ?

B1 A ? ? 叫做向量b 在向量a的方向上的投影,

a

即有向线段OB1的数量

投影的作图:
B b O O B B

θ
a

b
B1

θ
O
B O a

b

θ
a A

A

B1

A

O

A

| b |cos ??0

| b |cos ??0

| b |cos ??0

B | b |cos ???b?

A

| b |cos ?= ??b?

三、向量 a 与 b 的数量积的概念
已知两个非零向量a与b, 他们的夹角为?, 我们把数量 a b cos ?叫做a与b的数量积 (或内积) .记作a ? b,即a ? b ? a b cos ? .
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
0 · a =0

a· b =| a || b |cos? 数量积 a · b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向 上的投影| b |cos ?的乘积.

注意:
? ?
一种新的运算

b =| a || b |cos? 数量积 a ·

? ? ? a ? b 表示数量而不表示向量,与实数a ? b
? ? ? ? 不同,a ? b 、a ? b 表示向量;

“ · ”不能省略不写,也不能写成“×”

? ?

0? a ? 0
注意公式变形,知三求一.

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?
a· b =| a || b |cos?
?

当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

例1.已知 a ? 5, b ? 4, a与b的夹角? ? 120 ,求a ? b.

解: a ? b ? a b cos ?
? 5 ? 4 ? cos120 1 ? 5 ? 4 ? (? ) ? ?10 2

变式一

| a |? 4, | b |? 4, a ? b ? 8 2,

求a与b的夹角
8 2 2 解:由cos? ? ? ? 2 | a || b | 4 ? 4 可得?=45
0

a ?b

向量数量积的性质 设a、 b是非零向量

(1) a ? b ? 0 ? a ? b (2) 当a与b同向时, a ? b ?| a || b | ; a ? b ? ? | a || b | 当a与b反向时, 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a
2

(3) a ? b ?| a || b |

平面向量的数量积的运算律:
(1)交换律 a ?b ? b ? a

(2)数乘结合律 (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) (3)分配律 (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? 其中, a、b 、c是任意三个向量, ??R
注:

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

例 2:求证:

(1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b
2

2

2

(2)( a ? b) ( ? a ? b) ? a ? b
2

2

2

( 1)证明:(a ? b) ? (a ? b)( ? a ? b)
? (a ? b) ? a ? (a ? b) ? b

? a ? a ? a ?b ? b? a ? b?b
? a ? 2a ? b ? b
2 2

例3、 已知 | a |? 6, | b |? 4,a 与b 的夹角为 ? ? 60o , 求(a ? 2b ) ? (a ? 3b ) 。
解:

(a ? 2b) ? (a ? 3b)

? a ? a ? a ? b ? 6b ? b
? a ? a ?b ? 6 b
2

2

2

? a ? a b cos ? ? 6 b
2

2

? 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4 ? ?72

2

变式二 已知 a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为60 ,求 a ? b 和 a ? b .

解: a ? b ? ( a ? b)
? a ? 2a ? b ? b
2

2

2

2

? 6 ? 2 ? 6 ? 4 ? cos60 ? 4
? 76 ? 2 19

2

同理可得 a ? b ? 2 7

例4.已知 | a |? 3,| b |? 4,当且仅当k为何值时, 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?

解:a ? kb与a ? kb互相垂直的条件是
(a ? kb) ( ? a ? kb )=0
即a ? k b ? 0.
2 2 2

3 ?9 ? 16k ? 0. ? k ? ? 4
2

a ? 3 ? 9, b ? 42 ? 16,
2

2

2

3 因此,当k= ? 时,a ? kb与a ? kb 互相垂直. 4

重点知识回顾:
夹角的范围 数量积 性质
0 ?? ??

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? ? ? 或 | a |? a ? a

a· a=|a|2 (简写 a2 = |a|2)
a ?b ? 0 ? a ? b

运算律

) (1) a · b= ? b· a (交换律 ? ? ? ? ? (2) (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b )

c+b· c (分配律) (3) (a+b) · c = a·

课堂小结
? ? ? ? 1.理解平面向量的数量积的物理意义、几何意义 2.掌握平面向量的数量积的概念 3.掌握平面向量的数量积的运算律 4.理解数量积的运算是不同于实数运算 的一种新的运算,注意它们的区别; ? 5.会用数量积的运算解决一些基本问题

检测:1.已知: a与b是非零向量

(1) a ? b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a ? a ?| a | (3) | a ? b |?| a || b | (4) a ? b ? 0 ? a ? b
(5) a ? b ? a ? b ? 0 (6)a // b ? a ? b ?| a || b |
(× ) (√)

(× )

(√)
(× )

2、判断下列说法的正误,并说明理由
(1)在?ABC中,若AB ? BC <0,则?ABC是锐角?。

错误
(2)在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC是钝角?。

正确 正确

(3)在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC是直角?。

| b |? 8, a与b平行, 3.| a |? 6, 求a ? b.
同向时,48 反向时,-48

解: a和b方向相同时,? ? 0 ? a ? b ? a b cos0 ? 48 a和b方向相反时,? ? 180 ? a ? b ? a b cos180 ? ?48

作业:

? ? ? ? ? ? ? ? 1、若 | a |?| b |? 1, a ? b 且2a ? 3b 与ka ? 4b 也 互相垂直,求k的值。 ? ? ? 2、设a是非零向量,且b ? c , 求证: ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c )


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