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高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:第1章综合素质检测


第一章综合素质检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个备选答案中,有且仅有 一个是符合题目要求的) 1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a 等于( A. 6 C. 3 [答案] D [解析] 在△ABC 中,由正弦定理,得 csinB sinC= = b 2× 6 3 2 1 = , 2 B.2 D. 2 )

又∵B=120° ,∴C 为锐角, ∴C=30° ,∴A=30° ,∴a=c= 2. 2.在△ABC 中,若 AB= 3-1,BC= 3+1,AC= 6,则 B 等于( A.30° C.60° [答案] C AB2+BC2-AC2 1 [解析] cosB= = ,∴B=60° . 2AB· BC 2 3.在△ABC 中,A=45° ,AC=4,AB= 2,那么 cosB=( 3 10 A. 10 C. 5 5 3 10 B.- 10 D.- 5 5 ) B.45° D.120° )

[答案] D [解析] BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA =16+2-8 2cos45° =10,∴BC= 10, AB2+BC2-AC2 5 cosB= =- . 2AB· BC 5 4. (2013~2014 学年度山东菏泽市高二期末测试)在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, ccosA =b,则△ABC( )

A. 一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是斜三角形

D.一定是直角三角形 [答案] D [解析] 解法一:∵ccosA=b, ∴sinCcosA=sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC=0, ∵sinA≠0,∴cosC=0,又 0<c<π, π ∴C= ,故选 D. 2 解法二:由余弦定理,得 b2+c2-a2 c· =b, 2bc ∴b2+c2-a2=2b2, 即 a2+b2=c2,故△ABC 是直角三角形. 5.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α、β 的关系为( A.α>β C.α+β=90° [答案] B [解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角,故 α=β. 6.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( A. 7 25 7 B.- 25 24 D. 25 ) B.α=β D.α+β=180° )

7 C.± 25 [答案] A

b c 4 [解析] 由 = 及 8b=5c,C=2B 得,5csin2B=8csinB,∴cosB= ,∴cosC=cos2B=2cos2B-1 sinB sinC 5 = 7 . 25 7.△ABC 的三边分别为 2m+3,m2+2m,m2+3m+3(m>0),则最大内角度数为( A.150° C.90° [答案] B [解析] 解法一:∵m>0,∴m2+3m+3>2m+3, m2+3m+3>m2+2m. 故边 m2+3m+3 对的角为最大角,由余弦定理, B.120° D.135° )

?2m+3?2+?m2+2m?2-?m2+3m+3?2 cosθ= 2?2m+3??m2+2m? 1 =- ,∴θ=120° . 2 解法二:特值法.取 m=1,则三边长为 5,3,7 52+32-72 1 ∴cosθ= =- ,∴θ=120° . 2 2×5×3 8. 在△ABC 中, 关于 x 的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1-x2)sinC=0 有两个不等的实数根, 则 A 为( A.锐角 C.钝角 [答案] A [解析] 把已知方程整理得(sinA-sinC)x2+2sinB· x+(sinA+sinC)=0, Δ=4sin2B-4(sinA-sinC)(sinA+sinC)>0, 即 sin2B+sin2C-sin2A>0. ∴b2+c2-a2>0,∴cosA>0,可知 A 为锐角. b 9.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 asinAsinB+bcos2A= 2a,则 =( a A.2 3 C. 3 [答案] D [解析] ∵asinAsinB+bcos2A= 2a, ∴由正弦定理,得 sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA, ∴sinB(sin2A+cos2A)= 2sinA, ∴sinB= 2sinA, ∴ sinB = 2. sinA B.2 2 D. 2 ) B.直角 D.不存在 )

b sinB 由正弦定理,得 = = 2. a sinA 10.在△ABC 中,a2+b2-ab=c2=2 3S△ABC,则△ABC 一定是( A.等腰三角形 C.等边三角形 [答案] B a2+b2-c2 1 [解析] 由 a +b -ab=c 得:cosC= = , 2ab 2
2 2 2

)

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

∴∠C=60° ,又 2 3S△ABC=a2+b2-ab, 1 ∴2 3× ab· sin60° =a2+b2-ab, 2

得 2a2+2b2-5ab=0, 即 a=2b 或 b=2A. 当 a=2b 时,代入 a2+b2-ab=c2 得 a2=b2+c2; 当 b=2a 时,代入 a2+b2-ab=c2 得 b2=a2+c2. 故△ABC 为直角三角形. → → → → 11.在△ABC 中,若|AB|=2,|AC|=5,AB· AC=-5,则 S△ABC=( 5 3 A. 2 5 C. 2 [答案] A → → → → [解析] AB· AC=|AB|· |AC|cosA=10cosA=-5, 1 3 ∴cosA=- ,∴sinA= , 2 2 1→ → 5 3 ∴S△ABC= |AB|· |AC|· sinA= . 2 2 12.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 [答案] D [解析] 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,假设△A2B2C2 是锐角三角形,由 ) B. 3 D.5 )

? ? π sin B = cos B = sin ? -B ? ? 2 ? -C ? ?sinC =cosC =sin?π 2
2 1 1 2 1 1

π sinA2=cosA1=sin? -A1? 2

? ? π ,得?B =2-B ? -C ?C =π 2
2 2

π A2= -A1 2
1



1

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾,故假设不成立, 2 即△A2B2C2 是钝角三角形,故选 D. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13.三角形一边长为 14,它对的角为 60° ,另两边之比为 8?5,则此三角形面积为________. [答案] 40 3

[解析] 设另两边长为 8x 和 5x,则 cos60° = 1 面积为 S= ×16×10· sin60° =40 3. 2

64x2+25x2-142 得 x=2,另两边长为 16 和 10,此三角形 80x2

1 14.在△ABC 中,若 tanA= ,C=150° ,BC=1,则 AB=________. 3 [答案] 10 2

1 10 BC· sinC 10 [解析] ∵tanA= ,∴sinA= ,由正弦定理,得 AB= = . 3 10 sinA 2 15.如图,已知梯形 ABCD 中,CD=2,AC= 19,∠BAD=60° ,则梯形的高为__________.

[答案]

3 3 2

[解析] 解法一:∵∠BAD=60° , ∴∠ADC=180° -∠BAD=120° . ∵CD=2,AC= 19, ∴ 19 2 57 = ,∴sin∠CAD= . sin120° sin∠CAD 19

3 57 ∴sin∠ACD=sin(60° -∠CAD)= . 38 3 57 19× 38 AC· sin∠ACD ∴AD= = =3. sinD sin120° ∴h=AD· sin60° = 3 3 . 2

解法二:在△ACD 中, AC2=AD2+CD2-2AD· CDcos120° , ∴AD2+2AD-15=0. ∴AD=3 (AD=-5 舍去). 3 3 . 2

∴h=ADsin60° =

A b+c 16.在△ABC 中,cos2 = ,则△ABC 的形状为________. 2 2c [答案] 直角三角形 A 1+cosA b+c 1 b [解析] ∵cos2 = = = + , 2 2 2c 2 2c

b ∴cosA= . c b2+c2-a2 由余弦定理,得 cosA= , 2bc ∴ b2+c2-a2 b = ,∴a2+b2=c2. 2bc c

∴△ABC 为直角三角形. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)(2013~2014 学年度贵州遵义四中高二期中测试)在△ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A、 B、C 的对边,若 cosA= (1)求角 B 的大小; (2)若 c=4,求△ABC 的面积. [解析] (1)∵cosA= 10 5 ,cosC= , 10 5 10 5 ,cosC= . 10 5

3 10 2 5 ∴sinA= ,sinC= , 10 5 ∴cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC= ∴cosB=-cos(A+C)= π ∴B= . 4 a c (2)由正弦定理,得 = , sinA sinC 3 10 4× 10 csinA ∴a= = =3 2. sinC 2 5 5 1 1 π 1 2 ∴S△ABC= acsinB= ×3 2×4×sin = ×3 2×4× =6. 2 2 4 2 2 18.(本题满分 12 分)在△ABC 中,已知 a= 6,A=60° ,b-c= 3-1,求 b、c 和 B、C. [解析] 由余弦定理,得 6=b2+c2-2bccos60° , ∴b2+c2-bc=6 ① 由 b-c= 3-1 平方得:b2+c2-2bc=4-2 3 ①、②两式相减得 bc=2+2 3. ② 10 5 3 10 2 5 2 × - × =- , 10 5 10 5 2

2 .又∵0<B<π, 2

?b-c= 3-1 ?b= 3+1 由? ,解得? ?c=2 ?bc=2+2 3



bsinA ? 3+1?sin60° 由正弦定理,得 sinB= = a 6 = 6+ 2 . 4

∵ 6< 3+1,∴B=75° 或 105° . ∵a2+c2>b2,∴B 为锐角, ∴B=75° ,从而可知 C=45° . csinA 2 [点评] 求角 B 时,若先求得 sinC= = ,∵a>c,∴C=45° ,从而得 B=75° . a 2 a2+c2-b2 6- 2 若用余弦定理 cosB= = ,∴B=75° . 2ac 4 19.(本题满分 12 分)如图,某海轮以 30n mile/h 的速度航行,在点 A 测得海面上油井 P 在南偏东 60° , 向北航行 40min 后到达点 B, 测得油井 P 在南偏东 30° , 海轮改为北偏东 60° 的航向再航行 80min 到达 C 点, 求 P、C 间的距离.

40 80 [解析] AB=30× =20,BC=30× =40. 60 60 在△ABP 中,∠A=120° ,∠ABP=30° ,∠APB=30° , AB 20 ∴BP= · sin∠BAP= sin120° =20 3. sin30° sin∠APB 在 Rt△BCP 中, PC= BC2+BP2= 402+?20 3?2=20 7. ∴P、C 间的距离为 20 7n mile. 20.(本题满分 12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c +b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. [解析] (1)由已知,根据正弦定理,得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bC.

由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,A=120° . 2 (2)由 a2=b2+c2+bc,得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 3 1 ∴ =1-sinBsinC,∴sinBsinC= . 4 4 1 又 sinB+sinC=1,故 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 另解:∵A=120° 且 sinB+sinC=1 1 3 ∴sinB+sin(60° -B)= sinB= cosB=sin(B+60° )=1 2 2 又 60° <B+60° <120° ∴B+60° =90° ,∴B=30° 从而 C=30° ∴△ABC 为等腰的钝角三角形. 1 21.(本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 cos2C=- . 4 (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sinA=sinC,求 b 及 c 的长. 1 [解析] (1)∵cos2C=1-2sin2C=- ,0<C<π, 4 ∴sinC= 10 . 4

a c (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 = ,得 c=4. sinA sinC 1 6 由 cos2C=2cos2C-1=- 及 0<C<π,得 cosC=± . 4 4 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6b-12=0(b>0),解得 b= 6或 2 6,

?b= 6 ?b=2 6 ∴? ,或? . ?c=4 ?c=4
22. (本题满分 14 分)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA 的值; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2,求 b、C. [解析] (1)由 3cos(B-C)-1=6cosBcosC, 得 3(cosBcosC-sinBsinC)=-1, 1 1 即 cos(B+C)=- ,∴cosA=-cos(B+C)= . 3 3

1 2 2 (2)∵0<A<π,cosA= ,∴sinA= . 3 3 1 由 S△ABC=2 2,得 bcsinA=2 2, 2 ∴bc=6. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, ∴9=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-16, ∴b+c=5.
? ? ? ?b+c=5 ?b=2 ?b=3 由? 得? 或? . ?bc=6, ?c=3 ? ? ? ?c=2


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