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必修五--不等式的知识点归纳和习题训练


必修五:不等式
知识点一:不等式关系与不等式
一、不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ;

a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
(4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? a b

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) (7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1)

【典型例题】
1.已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a2<b2 B.a2b<ab2 C.2a-2b<0 ) C. a ? b
2 2

) 1 1 D. > a b

2.如果 a ? 0 , b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( A.

1 1 ? a b

B. ? a ? b

D. a ? b

3. 已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题:
c d c d (1)若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0;(2)若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; a b a b c d (3)若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0,其中正确命题的个数是( a b A.0 B.1 C.2 D.3 ) 4. 设 a、b、c、d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是( A. a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd a b D. > d c )

【习题训练】
1:已知 a ? b , c ? d ,且 c 、 d 不为 0 ,那么下列不等式成立的是( A. ad ? bc B. ac ? bc C. a ? c ? b ? d ) D. a ? c ? b ? d
1

2:下列命题中正确的是(

) B.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d

2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

C.若 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 ? a b


D.若 a ? b , c ? d ,则

a b ? c d

3. 下列命题中正确命题的个数是(

①若 x ? y ? z ,则 xy ? yz ;② a ? b , c ? d , abcd ? 0 ,则

a b ? ; c d

1 1 b b ?1 ? ? 0 ,则 ab ? b2 ;④若 a ? b ,则 ? . a b a a ?1 A. 1 B. 2 C. 3
③若 4. 如果 a ? R ,且 a ? a ? 0 ,那么 a , a , ?a , ? a 的大小关系是(
2 2 2

D. 4 )

A . a ? a ? ?a ? ?a
2 2

B. ?a ? a ? ?a ? a
2 2

C. ? a ? a ? a ? ? a
2

2

D. a ? ? a ? a ? ? a
2

2

5.用“ ? ” “ ? ”号填空:如果 a ? b ? 0 ? c ,那么 6.已知 a , b , c , d 均为实数,且 ab ? 0 , ? A. bc ? ad B. bc ? ad

c c ________ . a b


c d ? ? ,则下列不等式中成立的是( a b
C. )

a b ? c d

D.

a b ? c d

7. 已知实数 a 和 b 均为非负数,下面表达正确的是( A. a ? 0 且 b ? 0 C. a ? 0 或 b ? 0

B. a ? 0 或 b ? 0 D. a ? 0 且 b ? 0

8.已知 ?1 ? a ? b ? 3且2 ? a ? b ? 4 ,则 2a+3b 的取值范围是( ) 13 17 7 11 7 13 9 13 (? , ) B (? , ) (? , ) (? , ) A C D 2 2 2 2 2 2 2 2

二、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离 2、 如果a ? 0, 则不等式:

| x |? a | x |? a

??? x ? a或x ? ?a ??? x ? a或x ? ?a

| x |? a | x |? a

??? ? a ? x ? a ??? ? a ? x ? a

3.当 c ? 0 时,

| ax ? b |? c ? ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c ,

| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c ;
2

当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? x ? R , | ax ? b |? c ? x ? ? . 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式 (组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |? a (a ? 0) ? ?a ? x ? a , | x |? a (a ? 0) ? x ? a 或 x ? ?a . (2)定义法:零点分段法; 【典型例题】
2 2 1. 给出下列命题:① a ? b ? ac ? bc ;② a ? b ? a ? b ;③ a ? b ? a ? b ;④
2 2 3 3

(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.

a ? b ? a2 ? b2 .其中正确的命题是(
A.①② B.②③

) C.③④ )
2

D.①④

2. 设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a +b <0
3 3 2

C.a -b <0

D.b+a>0

3.不等式 3 ? 5 ? 2x ? 9 的解集为( A. [?2,1) [4,7)

) (运用公式法) C. (?2, ?1] [4,7) D. (?2,1] [4,7)

B. (?2,1] (4,7]

4. 求解不等式: | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 . (运用零点分段发)

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4 D. 6

) (零点分段法)

【习题训练】 1.解不等式 | x | ? | x ?1|? 3 2.若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。

3

三、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

② 指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x)

a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

③ 对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

例 1 .不等式 lg( x 2 ? 1) ? 1的解集是____________. 例 2.

解不等式 lg( x ? ) ? 0.
2 x 2 ? (a ? 1) x ? 3 ? 1. x 2 ? ax


1 x

例 3. 解关于 x 的不等式

例 4. 不等式 5 ? x ≥ x ? 1 的解集是(

( A) { x | ? 4 ≤ x ≤ 1} ( B ) {x | x ≤ ? 1}

(C ) {x | x ≤ 1}

( D) {x | ?1 ≤ x ≤ 1}

四、三角不等式:

|a |-|b|?|a ?b|?|a |?|b|

五、不等式证明的几种常用方法 比较法(做差法、做商法) 、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。 【典型例题】
1.若 ? ? 3x ? x ? 1 , ? ? 2 x ? x ,则(
2 2



??? A.

??? B.

??? C.

??? D.


2 2 2.若 x ? 2 或 y ? ?1, ? ? x ? y ? 4x ? 2 y , ? ? ?5 ,则 ? 与 ? 的大小关系是(

A. ? ? ?

B. ? ? ?

C. ? ? ?

D. ? ? ?

4

3.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

ln 2 ln 3 ln 5 4.若 a= ,b= ,c= 则 a,b,c 按从小到大排列应是________. 2 3 5 5.设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a、b、c 之间的大小关系为________. 6.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( )
2 A. lg x ? 1 ? lg 2 x

?

?

B. x ? 1 ? 2 x
2

C.

1 ?1 x ?1
2

D. x ?

1 ?2 x
b

7. 若 a 、 b 是任意实数,且 a ? b ,则( A. a ? b
2 2

) C. lg ? a ? b? ? 0

b B. ? 1 a

?1? ?1? D. ? ? ?? ? ? 2? ? 2?

a

8. 已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , e ? 0 ,求证:

e e ? . a?c b?d

【习题训练】
2 2 1. 不等式① a ? 2 ? 2a ,② a ? b ? 2 ? a ? b ?1? ,③ a ? b ? ab 恒成立的个数是(
2 2 2



A. 0 A. a ? b ? ?b ? ?a C. a ? ?b ? b ? ? a
2

B. 1

C. 2 ) B. a ? ?b ? ? a ? b D. a ? b ? ?a ? ?b
2

D. 3

2. 已知 a ? b ? 0 , b ? 0 ,那么 a , b , ?a , ?b 的大小关系是(

3. 若 f ? x ? ? 3x ? x ?1 , g ? x ? ? 2x ? x ?1 ,则 f ? x ? , g ? x ? 的大小关系是( A. f ? x ? ? g ? x ? C. f ? x ? ? g ? x ? B. f ? x ? ? g ? x ? D.随 x 值的变化而变化



5 5 3 2 2 3 4. 已知 a 、 b ? R? ,且 a ? b ,比较 a ? b 与 a b ? a b 的大小.

六、数轴穿跟法: 奇穿,偶不穿
5

2 2 例题:不等式 ( x ? 3x ? 2)(x ? 4) ? 0 的解为(

x?3



A.-1<x≤1 或 x≥2 B.x<-3 或 1≤x≤2 C.x=4 或-3<x≤1 或 x≥2 D.x=4 或 x<-3 或 1≤x≤2

知识点二:一元二次不等式及其解法
二、一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 和 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 及其解法
2

??0

??0
y ? ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

?a ? 0? 的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等实根 b x1 ? x 2 ? ? 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x
?x

x ? x1或x ? x2 ? x1 ? x ? x 2 ?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?

顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间

分式不等式

f ( x) ?0 ? g ( x)

,分式不等式

f ( x) ?0? g ( x)

.

【典型例题】 1.集合 A= {x | x ? 5x ? 4 ? 0}, B= {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,则 A ? B 等于(
2 2

)

A. {x | 1 ? x ? 2或3 ? x ? 4}

B. {x | 1 ? x ? 2且3 ? x ? 4} D. {x | ?1 ? x ? ?4或2 ? x ? 3}

, 2, 3, 4} C. {1
1 3

2 2.设二次不等式 ax ? bx ? 1? 0 的解集为 {x | ?1? x ? } ,则 ab 的值为(

)
6

A.-6 3.已知函数 y ? A. a ? 0

B.-5

C.6

D.5 )

ax2 ? 2 x ? 3 ,若 x 的取值范围是全体实数,则实数 a 的取值范围是(
B. a ?

1 3

C. a ?

1 3
)

D. 0? a ?

1 3

4.若不等式 ax2 ? bx ? c?0(a ? 0) 的解集为 ? ,则(

A. a ? 0, b2 ? 4ac ? 0 B. a ? 0, b2 ? 4ac ? 0 C. a ? 0, b2 ? 4ac ? 0 D. a ? 0, b2 ? 4ac ? 0 5.若关于实数 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则实数 a 的取值范围
2 2



.

例 1. 已知关于 x 的不等式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的解集是 ? ? ?,? ? ,求关于 x 的不等式

? ?

1? 3?

(a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集.
例 2 :解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0(a ? R) . 例 3 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? , ? ?(0 ? ? ? ? ) ,求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2 2

例 4.解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0

例5 不等式1+x>
A.{x|x>0} C.{x|x>1}

1 的解集为 [ 1? x

] B.{x|x≥1} D.{x|x>1 或 x=0} ]

例 6 与不等式

x?3 ≥ 0同解的不等式是 [ 2?x
B.0<x-2≤1

A.(x-3)(2-x)≥0

C.

2?x ≥ 0 D.(x-3)(2-x)≤0 x?3
]

例 7 不等式

ax <1的解为{x|x<1或x> 2},则a的值为 [ x ?1

1 2 1 C.a= 2 A.a<
例8 解不等式
2

B.a>

1 2 1 2

D.a=-
3x ? 7 ≥2. x ? 2x ? 3

例 9 已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2 ≤0},若B ? A,求a的范围. 例 10 解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0. 例 11 不等式|x2-3x|>4 的解集是________.
7

例12 解关于x的不等式:

x <1-a(a∈R) . x ?1

【提高训练】
1.设集合 P ? {m | ?1?m?0}, Q ? {m ? R | mx2 ? 4mx ? 4?0对任意实数 x恒成立 } ,则下列关系中成 立的是( ) B. Q ? P ) C. ?? 1,1? ) D. ?? ?,?1? ? ?1,??? C. P ? Q D. P ? Q ? ?

A. P ? Q

2.不等式 x 2 ? | x | ?2?0( x ? R) 的解集是( A. ?? 2,2? B.

?? ?,?2? ? ?2,???
1 x

3.若 a>0,b>0,则不等式 ? a ? ?b 的解集是(

1 1 ? x? 0或0? x? } a b 1 1 C. {x | ? ? x ? 0或0? x ? } b a
A. {x | ?
2 2

1 1 ? x? } b a 1 1 D. {x | x?? 或x? } a b
B. {x | ? .

4. 关于实数 x 的方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有两个正根,则实数 m 的取值范围是 5. 已知不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x | x ? 1, 或x ? b} .(1)求 a,b;
2

(2)解不等式 ax ? (ac ? b) x ? bc ? 0 .
2

【习题训练】 1.解下列不等式 (1)(x-1)(3-x)<5-2x; (2)x(x+11)≥3(x+1)2

8

(3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

3 (4)3x 2 ? 3x ? 1> ? x 2 2 1 (5) x 2 ? x ? 1> x( x ? 1) 3

2.不等式(x+2)(1-x)>0 的解集是( ) A. {x|x<-2或 x>1} B. {x|x<-1或x>2} C. {x|-2<x<1} D. {x|-1<x<2} 2 3.设 f(x)=x +bx+1,且 f(-1)=f(3),则 f(x)>0 的解集是( ) A. (??,?1) ? (3,??) C. {x|x≠1} B.R D. {x|x=1 )

4.已知集合 M ? {x | x 2 ?4}, N ? {x | x 2 ? 2x ? 3?0} ,则集合 M ? N 等于( A. {x | x? ?2} B. {x | x?3} C. {x | ?1? x? 2}

D. {x | 2? x?3}

5.若不等式 ax 2 +x+a<0 的解集为 Φ ,则实数 a 的取值范围( A a≤1 1 或 a≥ 2 2
2

) D a≥
1 2

B

a<

1 2

C -

1 1 ≤a≤ 2 2

6:设 m ? R ,解关于 x 的不等式 m x ? 2mx ? 3 ? 0 .
2

7.若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ? x ? a ?? x ?

? ?

1? ? ? 0 的解是( a?



A.a<x<

1 a

1 B. <x<a a

1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a

9

8.若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},则 a=________,b=________. 9.不等式(x+5)(3-2x)≥6 的解集为( )

9 } 2 9 C. {x|x≥1 或x≤- } 2
A. {x|x≤-1 或x≥
2

B. {x|-1≤x≤ D. {x|-

9 } 2

9 ≤x≤1} 2
) D.5

10.设一元二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|-1≤x≤ A.-6 11.不等式组 ? B.-5

1 } ,则 ab 的值是( 3
C.6

?

x?2 ? 2

2 ?log2 ( x ? 1) ? 1

的解集为(



A. (0, 3 )

B. ( 3 ,2)

C. ( 3 ,4)

D. (2,4) 则 A∩B=( )

x ? ? ? 12.设集合 A ? ? ? 0, x ? R ? , ? x 4 x ? 1 ? 9, x ? R? , B ? ? x x ? 3 ? ? ? ?

A. (?3,?2] C. (?? ,?3] ? [ 5 ,?? ) 2
2 2

B. ( ?3,?2] ? [0, ]

5 2 5 D. (?? ,?3) ? [ ,?? ) 2


13.关于 x 的方程 x +ax+a -1=0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围是 14.不等式(x-2) x 2 ? 2x ? 3 ≥0 的解集为________________.

知识点三:简单的线性规划
1、一元一次不等式与线性规划 (1) ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.

?线性约束条件 ? 可行域 ? (2)线性规划: ?线性目标函数(截距、斜率、距离) ?可行解 ? 最优解 ?
【典型例题】
?x+y-1<0 ? 1.下面给出的四个点中,位于? 表示的平面区域内的点是( ? ?x-y+1>0

) D.(2,0)

A.(0,2)

B.(-2,0)

C.(0,-2)

10

x≥1, ? ? 2.已知变量 x、y 满足条件?x-y≤0, ? ?x+2y-9≤0, A.2 B.5 C.6

则 x+y 的最大值是( D.8 )

)

?x-y+1≤0 ? y 3.若实数 x、y 满足? ,则 的取值范围是( x ?x>0 ?

A.(0,1)

B.(0,1]

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

y≥1, ? ? 3. 已知实数 x, y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤m, A.7 B.5 C.4

如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1, 则实数 m 等于(

)

D.3

【提高训练】 x≥1, ? ? 1.已知变量 x、y 满足条件?x-y≤0, ? ?x+2y-9≤0, A.2 B.5

则 x+y 的最大值是( D.8

)

C.6

2.点 P(x,y)在直线 4x+3y=0 上,且满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距离的取值范围 是( )A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15]

x+2y≤10 ? ?2x+y≥3 3.设 D 是不等式组? 0≤x≤4 ? ?y≥1 的最大值是________.

表示的平面区域,则 D 中的点 P(x,y)到直线 x+y=10 距离

?x ? y ≤ 3 2 2 5. 设 x 、 y 满足条件 ? ? y ≤ x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值 ?y≥0 ?



【习题训练】 y≤2x, ? ? 1.已知实数 x、y 满足?y≥-2x, ? ?x≤3,

则目标函数 z=x-2y 的最小值是______.

11

x>0, ? ? 2.不等式组?y>0, ? ?4x+3y<12

表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____个.

x+y≥2, ? ? 3 . 若实数 x,y 满足不等式组?2x-y≤4, ? ?x-y≥0,

则 2x+3y 的最小值是________.

?x ? 2 ? 4. 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] 5. B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5]





知识点四:基本不等式

? ?a、b ? R, a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? (1) ?a、b ? R? , a ? b ? 2 ab ,(当且仅当 a ? b 时成立等号), ? 2 2 ?a、b ? R? , ab ? ( a ? b ) 2 ? a ? b ? ? 2 2
?和定,积最大;积定,和最小。 ? ?一正二定三相等。(特别留意等号成立的条件)

扩展:平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) , 即
a 2 ?b 2 a ? b 2 (当 ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b

a = b 时取等)

(2)对勾函数 y ? x ?

k , (k ? 0) x

定义域 (??,0) (0, ??) , 值域(-?,-2 k ] [2 k , ??) 奇函数 渐近线:直线 y ? x 和直线 x ? 0

12

拐点:(- k , -2 k ) ,( k , 2 k )
x? 1 a b Dx Ax 2 ? Bx ? C ? 、 、 、 2 x b a Ax ? Bx ? C Dx

基本不等式 1.基本不等式 (1) a2 ? b2 ? 2ab(a, b ? R) . (2) ab ? 平均数. 变式:(3) ab ?
a 2 ? b2 ( a, b ? R ) 2
a?b a?b 和 ab 分别叫做正数 a,b 的 (a ? 0, b ? 0) ,其中 2 2

平均数和

(4) ab ? (

a?b 2 ) ( a, b ? R ) 2

以上各不等式当且仅当 2.最值问题

时取等号.

设 x , y 都为正数,则有(1)若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大 值 ;(2)若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 .

利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积 xy 最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 最小值时,看积 xy 是否为定值;③等号是否能够成立. 题型一:求值域
技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

13

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

题型二:条件求值
a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
2

3.已知 x,y 为正实数,且 x +

y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

4. 已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值.

【基础训练】 1.下列结论正确的是___ A .当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?
1 ?2 lg x

B. 当x ? 0 时, x ?

1 ?2 x

C.当 x ? 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

1 D. 0 ? x ? 2 时, x ? 无最大值 x
) D.[4,+∞) ; ; ; ; )

1 1 2.已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + 的取值范围是( a b A.(2,+∞) 3.若 x>0,y>0 且 B.[2,+∞)

C.(4,+∞)

2 8 ? ? 1 ,则 xy 的最小值是 x y
a b

4.若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是 5.x>1,y>1 且 lgx+lgy=4 则 lgxlgy 最大值为 6.点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上,则 3 ? 27 ? 3 最小值为
x y

1 1 7.已知正整数 a,b 满足 4a+b=30,使得 + 取最小值时,则实数对(a,b)是( a b A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2)

14

8. 若 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 9.设函数 A.有最大值 10. 函数 A.[2, ) B.(

1 1 2 2 ,则 , a , 2ab , a ? b 中最大的是_______________. 2 2
则 ( ) D.是减函数

B.有最小值

C.是增函数 )

的值域为(

,-2] C.[-2,2]

D.(

,-2]

[2,

)

11.已知不等式 ?x ? y ?? ? 为 12. 不等式 ;

?1 a? ? ? ? ? 9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值 ?x y?

1 的最大值是( ) y ? x(1 ? 3x) (0 ? x ? ) 3

(A)

4 1 1 1 (B) (C) (D) 12 243 64 72

【提高训练】 1.已知 x, y ? R? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则
2 已知点( )在直线 B.有最小值为 2

y2 的最小值 xz
上, 其中 ,则


( )

A.有最大值为 2

C.有最大值为 1 ,则 D.10

D.有最小值为 1 的最大值是( )

3. 已知非负实数 、 满足 A. 4. 设 A. 5. 设 有最大值 8 , B. B. C.5

,则(

) C. ( 有最大值 8 ) D. 有最小值 8

有最小值 8 ,则

A.有最大值 6. 已知点 A.8 B.6

B.有最小值 在直线 C. 3

C.有最大值 4 D.有最小值 4 上移动,则 D. 4 的最小值是( )

15

7.已知 x>y>0,求

x2 ?

的最小值及取最小值时的 x、y 的值. 4 y( x ? y)

【习题训练】
1.下列命题中正确的是

1 x2 ? 3 的最小值是 2 B、 y ? 的最小值是 2 x x2 ? 2 4 C、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x x y 2. 若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______ 1 1 3. 正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______ x y
A、 y ? x ? 4. 若 ,且 ,则在下列四个选项中,较大的是( )

A.

B.
?

C.

D.

5.设 a,b ? R ,a+2b=3 ,则

1 1 ? 最小值是 a b



6.若 x+2y=1,则 2x+4y 的最小值是________. 7. 若 x , y 是正数,且 A.最大值 16
1 4 ? ? 1 ,则 xy 有 x y

B.最小值

1 16

C.最小值 16

D.最大值

1 16

8.函数 y ?

4 9 的最小值是( ? 2 2 cos x sin x
B)13

) C)25 D)26

A)24

知识点五:不等式的综合应用 常见、常用结论:
?k ? f ( x)恒成立 ? k ? f ( x) max ?存在x使k ? f ( x)成立 ? k ? f ( x) min (1) ? (2) ? ?k ? f ( x)恒成立 ? k ? f ( x) min ?存在x使k ? f ( x)成立 ? k ? f ( x) max
16

1.不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____ 2.若不等式 2x ?1 ? m( x 2 ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围_____ 3.若不等式 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围. 4.

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