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上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(6)不等式


上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大 上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:不等式 第 6 部分 不等式
一、选择题: 选择题:

1 1 < < 0 ,有下面四个不等式:① a b | a | > | b | ;② a < b ;③ a + b < ab ,④ a 3 > b 3 ,不正确的不等式的个数是 ( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 填空题: 二、填空题:
15.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)若 ( 年高三第二次联考理科) 11.上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)已知奇函数 f ( x ) 在 (?∞, 0) 为 ( 2010学年第二学期高三第二次联考理科 高三第二次联考理科) 减函数,且 f (2) = 0 ,则不等式 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) < 0 的解集 为 . ( ?∞, ?1) ∪ (3, +∞ )

1、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)已知集合 A = x x ≤ 2 , ( 2010学年第二学期高三教学质量测试理科)

{

}

? x+5 ? B = ?x ≤ 0? ,则 A ∩ B = ? x ?1 ?

. x ? 2 ≤ x <1

{

}

1. (上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)不等式 | x ? 2 | ≤1 的解集 月高考模拟理科)





[1,3]
2

8、上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)不等式 x ? 3 > ax ? a 对 ( 2010学年第二学期高三教学质量测试理科) .a < 3 ax ? 1 < 0} , 2 ∈ A , ? A , 且 3 7.上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)已知集合 A = { x | 年高三第二次联考理科) ( x?a 则实数 a 的取值范围是 [ , ) U ( 2 , 3 ] 。 10.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)若直线 ax + 2by ? 2 = 0( a, b > 0) 始终 ( 届高三下学期质量调研文科) 平分圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 = 0 的周长,则
1 1 3 2

一切 3 ≤ x ≤ 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是

1 1 + 的最小值为 a b

4

.

? ? x ≥ 0, 12. (上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)(文)设 x, 满足约束条件 ? 月高三调研测试) 若 y 上海市奉贤区 ? y ≥ 0, ?x y ? + ≤ 1, ? 3a 4a

z=

y +1 1 的最小值为 ,则 a 的值 4 x +1

78

月高三模拟理科) 11. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)已知函数 f ( x) = lg( x + 1) ,若 a ≠ b 且 上海市杨浦区

f (a ) = f (b) ,则 a + b 的取值范围是

. 【 (0,+∞) 】

13. 上海市杨浦区 月高三模拟理科) 13.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC、BD 相交 于 O,记△BCO、△CDO、△ADO 的面积分别为 S1、S2、S3,则 是 【 ( 2 , +∞ ) 】 .

S1 + S 3 的取值范围 S2

?x > 0 ? 学习诊断文科) (n ∈ N * ) 所 14、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三 学习诊断文科)设不等式组 ? y > 0 、 上海市徐汇区 ? y ≤ ? nx + 4n ?
的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点) 表示的平面区域 Dn 的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为 an , 则

1 (a2 + a4 + L + a2010 ) = 2010

。 3018

4. (上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)若实数对 ( x, y ) 满足 x 2 + y 2 = 4 ,则 xy 的最大 月高考模拟理科) 值为 2 解答题 三、解答题: .

20.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)本题满分 12 分. . 月高考二模试题文 某小型工厂安排甲乙 两种产 品的生产,已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料 A、B、C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示: 原材料 A B C 甲(吨) 1 4 2
[来源:学科网]

乙(吨) 1 0 5
[来源:学科网]

资 源数量(吨) 50 160 200

如果甲产品每吨的利润为 300 元,乙产品每吨的利润为 200 元,那么应如何安排生产, 工厂每周才可获得最大利润? 20.本题满分 12 分. . 解 设工厂一周内安排生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,所获周利润为 z 元. 依据题意,得目标函数为 z = 300 x + 200 y , 约束条件为 4分 2分

? x + y ≤ 50 ?4 x ≤ 160 ? ? ?2 x + 5 y ≤ 200 . ?y ≥ 0 ? ?x ≥ 0 ?
欲求目标函数 z = 300 x + 200 y 的最大值.

8分

先画出约束条件的可行域,求得有关点 A(40, 、B (40, 、C ( 0) 10) 图阴影部分所示.

50 100 40) , )、D (0, ,如 3 3

将直线 300 x + 200 y = 0 向上平移,可以发现,经过可行域的点 B 时,函数

z = 300 x + 200 y 的值最大(也可通过代凸多边形端点进行计算,比较大小求得),最 大值为
14000(元). 11 分 所以工厂每周生产甲产品 40 吨,乙产品 10 吨时,工厂可获得的周利润最大(14000 元). 12 分 21、(上海市五校 2011 年联合教学调研理科 2011 年联合教学调研理科(满分 14 分) ( 某地区的农产品 A 第 x 天 (1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N * ) 的销售价格 p = 50 ? x ? 6 (元∕百斤) ,一 ( ,且 农户在第 x 天 (1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N * ) 农产品 A 的销售量 q = a + x ? 8 (百斤) a 为常数)

该农户在第 7 天销售农产品 A 的销售收入为 2009 元。 (1)求该农户在第 10 天销售农产品 A 的销售收入是多少? (2)这 20 天中该 农户在哪一天的销售收入最大?为多少? 21、解:⑴由已知第 7 天的销售价格 p = 49 ,销售量 q = 41 . ∴第 7 天的销售收入

W7 = 49 × (a + 1) =2009 (元) . ? a = 40 第 10 天的销售收入 W10 = 46 × 42 = 1932 (元)

3分 5分

?(44 + x)(48 ? x) ? ⑵设第 x 天的销售收入为 Wx ,则 Wx = ? 2009 ? (56 ? x)(32 + x) ?
当 1 ≤ x ≤ 6 时, Wx = (44 + x )(48 ? x) ≤ (

1≤ x ≤ 6 x=7 8 ≤ x ≤ 20
8分

(44 + x) + (48 ? x) 2 ) = 2116 .(当且仅当 x = 2 时 2 10 分 取等号)∴当 x = 2 时取最大值 W2 = 2116 (56 ? x) + (32 + x) 2 当 8 ≤ x ≤ 20 时, x = (56 ? x )(32 + x) ≤ ( W ) = 1936 . (当且仅当 x = 12 时 2 取等号)∴当 x = 12 时取最大值 W12 = 1936 . 12 分
由于 W2 > W7 > W12 ,∴第 2 天该农户的销售收入最大 13 分 答:⑴第 10 天的销售收入 2009 元;⑵第 2 天该农户的销售收入最大 14 分 23. 上海市杨浦区 月高三模拟理科) 个小题, 23.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设二次函数 f ( x) = (k ? 4) x + kx
2

(k ∈ R) ,对任意实数 x ,有 f ( x) ≤ 6 x + 2 恒成立;

数列 {a n } 满足 an+1 = f (an ) . (1)求函数 f (x ) 的解析式和值域; (2)试写出一个区间 ( a , b ) ,使得当 a 1 ∈ ( a , b ) 时,数列 {a n } 在这个区间上是递增数 列, 并说明理由; (3)已知 a1 =

1 ? ,是否存在非零整数 λ ,使得对任意 n ∈ N ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? log 3 ? ?1 2 n?1 + n ? 1 ? + log 3 ? 1 ? + ??? + log 3 ? 1 ? > ? 1 + (?1) +2λlog 3log3 2 恒成 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

立,若存在, 求之;若不存在,说明理由. 23. 个小题, 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.
2 (1) 解: )由 f ( x ) ≤ 6 x + 2 恒成立等价于 (k ? 4) x + ( k ? 6) x ? 2 ≤ 0 恒成 (

立,…………………………1 分 ………………………… 从而得: 从而得: ?

[来源 学科网 ZXXK] 来源:学科网 来源 学科网 来源

?k ?4<0 ?(k ?6) +8(k ?4) ≤0
2

,化简得 ?

?k < 4
2 ?(k ? 2) ≤ 0

,从而得 k = 2 ,所以

f ( x) = ?2 x 2 + 2 x ,……… 分 ………3
…………………………………………………4 其值域为 (?∞, ] .………………………………………………… 分 ………………………………………………… (2)解:当 a1 ∈ ( 0 , )

1 2

[来源 学科网 来源:学科网 来源 学科网] 来源 学科网

1 ) 时,数列 {a n } 在这个区间上是递增数列,证明如下: 在这个区间上是递增数列,证明如下: 2
2

设 an ∈ (0, ), n ≥ 1 ,则 a n +1 = f ( a n ) = ?2a n + 2a n = ?2( a n ? ) +
2

1 2

1 2

1 1 ∈ (0, ) ,所以对一 2 2

………………………………… …………7 切 n ∈ N ,均有 a n ∈ (0, ) ;………………………………… 分
*

1 2

1 1 2 a n+1 ? a n = f (a n ) ? a n = ?2a n + 2a n ? a n = ?2(a n ? ) 2 + 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a n ∈ (0, ) ? ? < a n ? < ? (a n ? ) 2 < ? ? 2( a n ? ) 2 > ? ? ? 2( a n ? ) 2 + > 0 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8
, 从而得 a n +1 ? a n > 0 ,即 a n +1 > a n ,所以数列 {a n } 在区间 (0, ) 上是递增数 ………………………10 列.……………………… 分 ……………………… 等无穷多个. 注:本题的区间也可以是 [ , ) 、 [ , ) 、 [ , ) 等无穷多个 另解: 在某个区间上是递增数列, 另解:若数列 {a n } 在某个区间上是递增数列,则 a n +1 ? a n > 0 ……7 即 a n +1 ? a n = f ( a n ) ? a n = ?2a n + 2a n ? a n = ?2a n + a n > 0 ? a n ∈ (0, ) …… 分
2 2

1 2

1 1 5 2

1 1 4 2

1 1 3 2

1 2

1 1 ∈ (0, ) ,所以对 2 2 1 1 * 一切 n ∈ N ,均有 a n ∈ (0, ) 且 a n +1 ? a n > 0 ,所以数列 {a n } 在区间 (0, ) 上 是递增数 2 2
又当 an ∈ (0, ), n ≥ 1 时, a n +1 = f ( a n ) = ?2a n + 2a n = ?2( a n ? ) +
2 2

1 2

1 2

…………………………10 列.………………………… 分 ………………………… (理科 (3) 理科)由(2)知 a n ∈ (0, ) ,从而 ) 理科) ( )

1 1 ? a n ∈ (0, ) ; 2 2 1 1 1 1 2 2 ? a n +1 = ? (?2a n + 2a n ) = 2a n ? 2a n + = 2(a n ? ) 2 ,即 2 2 2 2 1 1 ? a n +1 = 2( ? a n ) 2 ;……… 分 ………12 2 2 1 1 2 令 bn = ? a n ,则有 bn +1 = 2bn 且 bn ∈ (0, ) ; 2 2

1 2

从 而有 lg bn +1 = 2 lg bn + lg 2 , 可得 lg bn +1 + lg 2 = 2(lg bn + lg 2) , 所以数列 {lg bn + lg 2} 是

1 lg b1 + lg 2 = lg 为首项,公比为 2 的等比数列,…………… 分 为首项, 的等比数列,……………14 3

从而得 lg bn + lg 2 = lg ? 2

1 3

n ?1

?1? ? ? 2 n ?1 3 ?1? = lg? ? ,即 lg bn = lg ? ? 2 ? 3?

2 n ?1

,所 以

?1? ? ? 3 bn = ? ? 2
1

2 n ?1

1?1? = ? ? 2 ? 3?

2 n ?1



? ? ? 1 ? n ?1 n ?1 1 ? = log 3 (2 ? 3 2 ) = log 3 2 + 2 n?1 , = = 2 ? 3 2 ,所以 log 3 ? 所以 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? + log3 ? ? + ? ? ? + log3 ? ? 所以, 所以, log3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2? n? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
= n log3 2 + 1 ? 2n = 2n + n log3 2 ?1 .………… 分 …………16 ………… 1? 2

2 + + n log3 2 即 2 (log 3 2) n ?1 > ( ?1)
n

n ?1

2λ + n log3 2? 1 ,所以, 2n ?1 > ( ?1) n ? 1 所以,
n ?1

n ?1

λ 恒成立

为奇数时, (1) 当 n 为奇数时,即 λ < 2 )

n?1 恒成立, 恒成立,当且仅当 n = 1 时, 2 有最小值 1 为。∴ λ < 1 当

n 为偶数时,即 λ > ?2n ?1 恒成立,当且仅当 n = 2 时,有最大值 ?2 为。∴ λ > ?2 为偶数时, 恒成立,
所以, 非零整数, 所以,对任意 n ∈ N ,有 ?2 < λ < 1 。又 λ 非零整数,
?

∴ λ = ?1 ………………………………… 分 …………………………………18
19、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)(本题满分 12 分)第(1)小题满分 5 分, 、 上海市徐汇区 月高三学习诊断文科) ) 第(2)小题满分 7 分。 ) 关于 x 的不等式

x+m 2
1

x

< 0 的解集为 ( ?1 , n ) .

的值; (1)求实数 m 、 n 的值; ) 为纯虚数, (2)若 z1 = m + ni , z 2 = cos α + i sin α ,且 z1 z 2 为纯虚数,求 tan(α ? )

π
4

) 的值. 的值.

2 19. ( ) 19.解: 1)原不等式等价于 ( x + m ) x ? 2 < 0 ,即 x + mx ? 2 < 0 -------------------3 分

由题意得, 由题意得, ?

? ?1 + n = ? m 解得 m = ?1 , n = 2 . ??1× n = ?2

------------------------5 分 ------------------------7 分

(2) z1 = ?1 + 2i , z1 z 2 = ( ? cos α ? 2 sin α ) + i ( 2 cos α ? sin α ) ) 为纯虚数, 若 z1 z 2 为纯虚数,则 cos α + 2 sin α = 0 ,即 tan α = ?

1 2

---------------------------------- 9 分

1 ? ?1 π 4 = 2 tan(α ? ) = = ?3 -------------------- 12 分 π 1 4 1 + tan α ? tan 1? 4 2 tan α ? tan
[来源 来源:Zxxk.Com] 来源 来源

π


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