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18学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式(1)学案新人教A版必修5

3.4 基本不等式(1) 学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大 小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 知识点一 算术平均数与几何平均数 思考 如图,AB 是圆 O 的直径,点 Q 是 AB 上任一点,AQ=a,BQ=b,过点 Q 作 PQ 垂直 AB 于 Q,连接 AP,PB.如何用 a,b 表示 PO,PQ 的长度? |AB| a+b 2 答案 |PO|= = .易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ,那么|PQ| =|AQ|·|QB|,即|PQ|= ab. 2 2 梳理 一般地,对于正数 a,b, a+b 2 为 a,b 的算术平均数, ab为 a,b 的几何平均数.两 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,即 ab ≤ |PO|≥|PQ|. a+b 2 . 其几何意义如上图中的 知识点二 基本不等式及其常见推论 思考 如何证明不等式 ab≤ a+b 2 (a>0,b>0)? 2 2 答案 ∵a+b-2 ab=( a) +( b) -2 a· b=( a- b) ≥0, 当且仅当 a=b 时, 等号 成立, ∴a+b≥2 ab, ∴ ab≤ 2 a+b 2 , 当且仅当 a=b 时,等号成立. 梳理 a+b ab≤ (a>0,b>0).当对正数 a,b 赋予不同的值时,可得以下推论: 2 (1)ab≤( a+b 2 )≤ 2 a2+b2 2 (a,b∈R); (2) + ≥2(a,b 同号); (3)当 ab>0 时, + ≥2; (4)a +b +c ≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). 1 2 2 2 b a a b b a a b 类型一 常见推论的证明 例 1 证明不等式 a +b ≥2ab(a,b∈R). 证明 ∵a +b -2ab=(a-b) ≥0, ∴a +b ≥2ab. 引申探究 证明不等式( 2 2 2 2 2 2 2 a+b 2 )≤ 2 2 a2+b2 2 2 (a,b∈R). 证明 由例 1,得 a +b ≥2ab, ∴2(a +b )≥a +b +2ab, 两边同除以 4,即得( 2 2 2 2 a+b 2 )≤ 2 a2+b2 2 ,当且仅当 a=b 时,取等号. 反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是 a,b∈R,与基本不等式不同. (2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法. 跟踪训练 1 已知 a,b,c 为任意的实数,求证:a +b +c ≥ab+bc+ca. 证明 ∵a +b ≥2ab;b +c ≥2bc;c +a ≥2ca, ∴2(a +b +c )≥2(ab+bc+ca), 即 a +b +c ≥ab+bc+ca, 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 类型二 用基本不等式证明不等式 例 2 已知 x、y 都是正数. 求证:(1) + ≥2; (2)(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y . 证明 (1)∵x,y 都是正数, ∴ >0, >0, ∴ + ≥2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x x y x y y x y x x y y x y x · =2,即 + ≥2, x y x y 当且仅当 x=y 时,等号成立. (2)∵x,y 都是正数, ∴x+y≥2 xy>0, x2+y2≥2 x2y2>0,x3+y3≥2 x3y3>0. ∴(x+y)(x +y )(x +y ) 2 2 3 3 2 ≥2 xy·2 x y ·2 x y =8x y , 即(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y , 当且仅当 x=y 时,等号成立. 反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的 逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时, 要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法, 证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式 模型,再使用. 跟踪训练 2 已知 a、b、c 都是正实数,求证:(a+b)(b+c)·(c+a)≥8abc. 证明 ∵a,b,c 都是正实数, ∴a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0,c+a≥2 ca>0. ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ab·2 bc·2 ca=8abc. 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc, 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 类型三 用基本不等式比大小 例 3 某工厂生产某种产品,第一年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b, 这两年的平均增长率为 x(a,b,x 均大于零)则( A.x= C.x> ) a+b 2 2 B.x≤ D.x≥ a+b 2 2 a+b a+b 答案 B 解析 第二年的产量为 A+A·a=A(1+a), 第三年产量为 A(1+a)+A(1+a)·b=A(1+a)(1+b). 若平均增长率为 x,则第三年产量为 A(1+x) . 依题意有 A(1+x) =A(1+a)(1+b), ∵a>0,b>0,x>0, ∴(1+x) =(1+a)(1+b)≤? 2 2 2 ? ? +a + 2 +b ?2 ?, ? 2+a+b a+b ∴1+x≤ =1+ , 2 2 3 ∴x≤ a+b 2 . 反思与感悟 基本不等式 a+b 2 ≥ ab一端为和,一端为积,使用基本不等式比大小要擅于利 用这个桥梁化和为积或者化积为和. lg a+lg b 跟踪训练 3 设 a>b>1,P= lg a·lg b,Q= , 2 R=lg

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