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圆锥曲线与方程高考试题


一.选择题: 1.(2008 福建卷 11)又曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其 a 2 b2
C.(3,+ ? )
2

上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 B A.(1,3) B. ?1,3? D. ?3, ?? ?

2.(2008 海南卷 11)已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A ) A. (

1 1 ,-1) B. ( ,1) 4 4

C. (1,2) D. (1,-2)

① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;

② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;

③ c1a2 ? a1c2 ;



c1 c2 < . a1 a2

其中正确式子的序号是 B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

4.(2008 湖南卷 8)若双曲线

x2 y 2 3a ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距 2 a b 2
B )

离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5)

D. (5,+ ? )

7.(2008 全国二 9)设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( B ) a 2 (a ? 1) 2
D. (2,5)

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

C. (2, 5)

8.(2008 山东卷(10)设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的 13

点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 A (A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? ?1 13 2 5 2 x2 y2 ? ?1 13 2 12 2

(C)

x2 y2 ? ?1 32 4 2

(D)

9.(2008 陕西卷 8)双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 a 2 b2

F1 作倾斜角为 30? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为
( B A. 6 ) B. 3 C. 2
2

D.

3 3

10.(2008 四川卷 12)已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且 AK ? (A) 4

2 AF ,则 ?AFK 的面积为 ( B )
(B) 8 (C) 16 (D) 32

11.(2008 天津卷 7)设椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的 2 m n

焦点相同,离心率为

1 ,则此椭圆的方程为 B 2
(B)

(A)

x2 y 2 ? ?1 12 16

x2 y 2 ? ?1 16 12

(C)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (D) ? ?1 48 64 64 48

x2 y 2 14.(2008 重庆卷 8)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离 a b
心率 e= 5k ,则双曲线方程为 C

(A)

x2 y2 - =1 a 2 4a 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 a 2 5a 2
(D)

(C)

x2 y 2 ? ?1 4b 2 b 2

x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2

二.填空题: 1.(2008 海南卷 14)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线 9 16
32 15

的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为_______

2.(2008 湖南卷 12)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点为 F,右准线为 l ,离心率 a 2 b2
.

e=

5 . 过顶点 A(0,b)作 AM ? l ,垂足为 M,则直线 FM 的斜率等于 5

1 2

3.(2008 江苏卷 12)在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O a 2 b2

a 为半径的圆, 为圆心, 过点 ?

? a2 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直, 则离心率 e = ? c ?
2



2 2

4.(2008 江西卷 15)过抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作倾角为 30? 的直线,与抛物线 分别交于 A 、 B 两点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF FB

?



1 3

5.(2008 全国一 14)已知抛物线 y ? ax ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的
2

三个交点为顶点的三角形面积为

.2

6.(2008 全国一 15)在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? .

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆 18

3 8

1.(2008 安徽卷 22) . (本小题满分 13 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F1 (? 2, 0) a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P (4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP ?QB ? AQ ?PB ,证明:点 Q 总在某定直线上 解 (1)由题意:

??? ? ??? ?

???? ??? ?

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b
(2)方法一

,解得 a ? 4, b ? 2 ,所求椭圆方程为
2 2

x2 y 2 ? ?1 4 2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,?? (3)

2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,?? (4)

(1)+(2)?2 并结合(3) , (4)得 4 s ? 2 y ? 4 即点 Q ( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 方法二 设点 Q ( x, y ), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。

??? ? ??? ? ???? ??? ?

??? ? ??? ? PA PB 且 ???? ? ??? ? AQ QB
又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ (? ? 0, ?1) ,于是

??? ?

???? ??? ?

??? ?

x1 ?

4 ? ?x 1? ? y , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y x2 ? , y2 ? 1? ? 1? ?

(1) (2)
2 2

由于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1) , (2)分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4, 整理得

( x 2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0 ( x 2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4)-(3) 得

(3) (4)

8(2 x ? y ? 2)? ? 0

∵ ? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0

即点 Q ( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 2.(2008 北京卷 19) . (本小题共 14 分) 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.
2 2

(Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60? 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

则 x1 ? x2 ?

3n 2 ? 4 3n , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 4 2
n . 2

所以 y1 ? y2 ?

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60? , 所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

2

?3n 2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 3.(2008 福建卷 21) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F a b
(1,0) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围. 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、 不等式的解法等基本知识, 考查分类与 整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形, 所以 OF ?
2 2 2

3 MN , 2

即 1=

3 2b ? , 解得b= 3. 2 3
2

x2 y 2 ? 1. a ? b ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为 ? 4 3
2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

又 a +b m >0,所以-m a b +b -a b +a <0 对 m ? R 恒成立, 2 2 2 2 2 2 2 即 a b m > a -a b +b 对 m ? R 恒成立. 2 2 2 2 2 2 2 当 m ? R 时,a b m 最小值为 0,所以 a - a b +b <0. 2 2 2 2, 2 2 2 4 a <a b - b a <( a -1)b = b , 2 2 因为 a>0,b>0,所以 a<b ,即 a -a-1>0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为(

解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解: (i)当直线 l 垂直于 x 轴时,

x=1 代入

1 y2 b2 ( a 2 ? 1) 2 ? ? 1, y ? =1. A a 2 b2 a2
2 2 2 2 2,

因为恒有|OA| +|OB| <|AB| ,2(1+yA )<4 yA

yA2>1,即

a2 ? 1 >1, a

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> . 2 2 2

(ii)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A(x1,y1), B(x2,y2).

由题意得(a - a b +b )k - a b <0 对 k ? R 恒成立. 2 2 2 2 ① 当 a - a b +b >0 时,不合题意; ②
2 2 2 2 2 2 2

②当 a - a b +b =0 时,a=
2 2 2 2 2

2

2

2

2

1? 5 ; 2
2 2 2 4 2

③当 a - a b +b <0 时,a - a (a -1)+ (a -1)<0,a - 3a +1>0, 解得 a >
2

3? 5 5 1? 5 1? 5 2 3? 或a> (舍去) ,a> ,因此 a ? . 2 2 2 2
1? 5 ,+ ? ). 2

综合(i) (ii) ,a 的取值范围为(

4.(2008 广东卷 18) . (本小题满分 14 分) 设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 2 2b b

F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切
线经过椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这 些点的坐标) .

【解析】 (1)由 x ? 8( y ? b) 得 y ?
2

1 2 x ?b, 8

y F G A F1 O 图4 B x

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 , ? G 点 的 坐 标 为 (4, b ? 2) ,

1 过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 y ' ? x ,y ' |x ? 4 ? 1 , 4
即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b , ? F1 点 的 坐 标 为

(2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,

? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1 和 x 2 ? 8( y ? 1) ; 2

(2) ? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有 一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2, 0) 和 8

( 2, 0) ,

??? ? ??? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
关于 x 2 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解, 即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 5.( 2008 湖北卷 19).(本小题满分 13 分) 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中,

OD ? AB ,P 是半圆弧上一点,?POB ? 30? ,曲线 C 是
满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过 点P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. 本小题主要考查直线、 圆和双曲线等平面解析几何的基础知识, 考查轨迹方程的求法、 不等式的解法以及综合解题能力.(满分 13 分) (Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则

A(-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3 ,1 ) ,依题意得
2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= (2 ? 3 ) 2 ? 12 ? (2 ? 3) ? 12 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a =2,b =c -a =2.
2 2 2 2

x2 y2 ∴曲线 C 的方程为 ? ? 1. 2 2
解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a >0,b>0). a2 b2

则由

2 ? ( 3) 1 ? 2 ? 2 ?1 2 2 解得 a =b =2, b ? a ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得(1-K )

2

x2-4kx-6=0.
∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴
2 ? ?1-k ? 0 ? ? 2 2 ? ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0

?k ? ?1 ? ?? 3 ? k ? 3

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2= |EF|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? x 2 ) 2 ?
2 2

4k 6 ,于是 , x1 x 2 ? ? 2 1? k 1? k

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ?

2 2 3?k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



2 1 1 2 2 2 3?k2 2 2 2 3?k ? 1? k ? ? . ∴S△DEF= d ? EF ? ? 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2 . 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1,

2 ).

当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示) ,

S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x 2 ? OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ODE=

1 1 OD ? ( x1 ? x 2 ) ? OD ? x1 ? x 2 . 2 2

综上得 S△OEF=

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△OEF 面积不小于 2 2 , 即S ?OEF ? 2 2 , 则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2 .



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 ). 6.(2008 湖南卷 20).(本小题满分 13 分) 2 若 A、B 是抛物线 y =4x 上的不同两点,弦 AB(不平行于 y 轴)的垂直平分线与 x 轴相交于点 P,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x>2 时,点 P(x,0) 存在无穷多条“相关弦”.给定 x0>2. (I)证明:点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; (II) 试问:点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值? 若存在,求其最大值(用 x0 表示) :若不存在,请说明理由.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦 AB 所在直线的方程是 y ? ym ? k ( x ? xm ) ,代入 y ? 4 x 中,
2

整理得 k 2 x 2 ? 2[k ( ym ? kxm ) ? 2]x ? ( ym ? kxm ) 2 ? 0. 则 x1、x2 是方程(? )的两个实根,且 x1 ? x2 ? 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l,则

(? )

( ym ? kxm ) 2 . k2

l 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4(1 ? k 2 )( xm 2 ? x1 x2 ) ? 4(1 ? 4 2 )[ xm ? 2 ym ( ym ? 2 xm ) 2 ym ] 4 2 ym

2 2 4 2 ? (4 ? ym )(4 xm ? ym ) ? ? ym ? 4 ym ( xm ? 1) ? 16 xm 2 2 ? 4( xm ? 1) 2 ? [ ym ? 2( xm ? 1)]2 ? 4( x0 ? 1) 2 ? [ ym ? 2( x0 ? 3)]2 .
2 2 因为 0< ym <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设 t= ym ,则 t ? (0,4x0-8).

记 l =g(t)=-[t-2(x0-3)] +4(x0-1)

2

2

2.

2 若 x0>3,则 2(x0-3) ? (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 ym =2(x0-3)时,

l 有最大值 2(x0-1).
若 2<x0<3,则 2(x0-3) ? 0,g(t)在区间(0,4 x0-8)上是减函数, 所以 0<l <16(x0-2),l 不存在最大值. 综上所述, 当 x0>3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值 为 2(x0-1) ;当 2< x0 ? 3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 7.(2008 江西卷 21) . (本小题满分 12 分) 设点 P ( x0 , y0 ) 在直线 x ? m( y ? ? m, 0 ? m ? 1) 上,过点 P 作双曲线 x ? y ? 1 的两条切
2 2
2

线 PA、PB ,切点为 A 、B ,定点 M ( (1)求证:三点 A 、M 、B 共线。

1 , 0) . m

(2)过点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N ,试求 ?AMN 的重心 G 所在曲线方程.
2 2 证明: (1)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由已知得到 y1 y2 ? 0 ,且 x12 ? y12 ? 1 , x2 ? y2 ? 1,

? y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 设切线 PA 的方程为: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 由 ? 得 2 2 ? x ? y ?1
(1 ? k ) x ? 2k ( y1 ? kx1 ) x ? ( y1 ? kx1 ) ? 1 ? 0
2 2 2

y

x?m
N

A
O P

从而 ? ? 4k 2 ( y1 ? kx1 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )( y1 ? kx1 ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 0 , 解 得k ?

M

x

x1 y1

B

因此 PA 的方程为: y1 y ? x1 x ? 1 同理 PB 的方程为: y2 y ? x2 x ? 1 又 P (m, y0 ) 在 PA、PB 上,所以 y1 y0 ? mx1 ? 1 , y2 y0 ? mx2 ? 1

8.(2008 辽宁卷 20) . (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值; (Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. 20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半轴 为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

故曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 . ??????????????????????? 3 分 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足

(Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2 2 2
2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ? 1 ? x2 )

???? ? 2 ???? ?2

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
? 6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4 3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,

???? ?2

???? ?2

即在题设条件下,恒有 OA ? OB . ????????????????????? 12 分 9.(2008 全国一 21) . (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1

???? ?

???? ?

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 3 2 a 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

x2 y 2 a , 与双曲线方程 ? ? 1 联立 ( x ? c) a 2 b2 b
15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b 2 b

将 a ? 2b , c ?

5b 代入,化简有

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ? ? ?b? ?

?? 32 5b ? 2 28b 2 ? ? ,解得 b ? 3 ? 4 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? ? 15 5 ?? ? ? ?? ?
故所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1。 36 9

10.(2008 全国二 21) . (本小题满分 12 分) 设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交 于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

??? ?

????

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . ???????????? 2 分 如图,设 D ( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B O E D

F A x

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?

??? ?

????

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )
? 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

1 ? 4k 2 ? 4k ?2 1 ? 4k 2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ???????? 12 分 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△ BEF ? S△ AEF ? x2 ? 2 y2 ???????????????????????????????? 9 分

? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2

≤ 2( x22 ? 4 y22 )
?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ????????????? 12 分 11.(2008 山东卷 22) (本小题满分 14 分) 2 如图,设抛物线方程为 x =2py(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线, 切点分别为 A,B. (Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时, AB ? 4 10 ,求此时 抛物线的方程; (Ⅲ)是否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线

???? ??? ? ??? ? x 2 ? 2 py ( p>0) 上,其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB (O 为坐标原
点).若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明 理由. (Ⅰ)证明:由题意设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), x1<x2 , M ( x0 , ?2 p ). 2p 2p

x2 x 由 x ? 2 py 得 y ? ,则 y? ? , 2p p
2

所以 k MA ?

x1 x , k MB ? 2 . p p x1 ( x ? x0 ), p x2 ( x ? x0 ). p


因此直线 MA 的方程为 y ? 2 p ?

直线 MB 的方程为 y ? 2 p ?

x12 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ), 所以 2p p
2 x2 x ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ). 2p p



由①、②得

2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , 2 2 x1 ? x2 ,即 2 x0 ? x1 ? x2 . 2

因此

x0 ?

所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0=2 时, 将其代入①、②并整理得:

x12 ? 4 x1 ? 4 p 2 ? 0,
2 x2 ? 4 x2 ? 4 p 2 ? 0,

所以 x1、x2 是方程 x 2 ? 4 x ? 4 p 2 ? 0 的两根, 因此 x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 p 2 ,
2 x2 x2 ? 1 2 p 2 p x1 ? x2 x0 ? ? ? , x2 ? x1 2p p

又 k AB

所以 k AB ?

2 . p

由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?
又 AB ? 4 10 , 所以 p=1 或 p=2,

4 16 ? 16 p 2 . 2 p

因此所求抛物线方程为 x ? 2 y 或 x ? 4 y.
2 2

(Ⅲ)解:设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为 Q (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ), 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

x0 ( x ? x1 ), p
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 也在直线 AB 上, 2 2

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ( 代入得 y3 ?

x0 x3 . p

2 若 D(x3,y3)在抛物线上,则 x3 ? 2 py3 ? 2 x0 x3 ,

因此 x3=0 或 x3=2x0.


2 x12 ? x2 ? ?4 p 2 , 矛盾.

对于 D (2 x0 ,

2 2 2 x0 x 2 ? x2 ), 因为 C (2 x0 , 1 ), 此时直线 CD 平行于 y 轴, p 2p

又 k AB ? 所以

x0 ? 0, p
直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾,

所以 x0 ? 0 时,不存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M(0,-2p)适合题意. 12.(2008 陕西卷 20) . (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C :y ? 2 x , 直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点, 过M
2

作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 20.解法一: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2 x12 ) , B( x2, 2 x2 2 ) ,把 y ? kx ? 2 代 入 y ? 2 x 得 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 ,
2

??? ? ??? ?

y M 2 B 1 O N 1 x A

k 由韦达定理得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ?1 , 2

? xN ? xM ?

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? . 2 4 ?4 8 ?

由(Ⅰ)知 yM ?

1 1 1 ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2

? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2 . 2? 2 ? 4

? MN ? x 轴,?| MN |?| yM ? y N |?
2 2

k2 k 2 k 2 ? 16 . ?2? ? 4 8 8
2

| x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 又 | AB |? 1 ? k ?
1 2 ?k? ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1? k 2 ? 16 . 2 ?2?
2 2

?

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1? k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 .
2 解法二: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2 x12 ),B( x2, 2 x2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得

??? ? ??? ?

2

k 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ?1 . 2
? xN ? xM ?

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? .? y ? 2 x 2 ,? y? ? 4 x , 2 4 ?4 8 ?

? 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?

k ? k ,? l ∥ AB . 4

(Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 .

??? ? ??? ?

??? ? ? ? ? k k 2 ? ??? k k2 ? 2 2 2 x1 ? ?, NB ? ? x2 ? , 2 x2 ? ? ,则 由(Ⅰ)知 NA ? ? x1 ? , 4 8 ? 4 8 ? ? ? ??? ? ??? ? ? k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? NA?NB ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ? 2 x12 ? ?? 2 x2 ? ? 4 ?? 4? ? 8 ?? 8 ? ? k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ? x12 ? ?? x2 ? ? 4 ?? 4? ? 16 ?? 16 ? ?
k ?? k? ? k ?? k ?? ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ???1 ? 4 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ?? ? ?

? k k2 ? ? k2 ? ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? ??1 ? 4 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ? 4 16 ? ? 4? ? ? k k k2 ? ? k k2 ? ? ? ?1 ? ? ? ???1 ? 4 ? (?1) ? k ? ? ? 4 2 16 ? ? 2 4? ? ? k2 ?? 3 ? ? ? ?1 ? ? ? ?3 ? k 2 ? 16 ? ? 4 ? ?

? 0,
? ?1 ? k2 3 ? 0 ,??3 ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 . 16 4

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 13.(2008 四川卷 21) . (本小题满分 12 分)

??? ? ??? ?

x2 y 2 2 ,右准线为 l , ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? 2 a b 2 ????? ???? ? M , N 是 l 上的两个动点, F1M ? F2 N ? 0
设椭圆 (Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)证明:当 MN 取最小值时, F1M ? F2 N 与 F1 F2 共线。 【解】 :由 a 2 ? b 2 ? c 2 与 e ?

?????

???? ?

????? ???? ?

???? ?

a 2 ,得 a 2 ? 2b 2 ? c 2

? ? ? 2 ? 2 , l 的方程为 x ? 2a F1 ? ? a , 0 , F a , 0 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
设M

?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?

? ? 2 ?3 2 ? ???? ? a , y , F N ? a , y ? ? ? 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ????? ???? ? 由 F1M ? F2 N ? 0 得
则 F1M ? ?

?????

3 ① y1 y2 ? ? a 2<0 2 ????? ???? ? (Ⅰ)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y2 ? 2 5 ? ?
2

2





由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a 2 ? 4 故 a ? 2, b ?

2 ? 2 2

14.(2008 天津卷 22) (本小题满分 14 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ?? 3,0 ? ,一条渐近线的方程是 5 x ? 2 y ? 0 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k ?k ? 0 ? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的垂

直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

(22)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定 比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能 力.满分 14 分. (Ⅰ)解:设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 .由题设得 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 9 2 ? x2 y 2 ? ?a ? 4 ,解得 ,所以双曲线方程为 ? ? 1. ?b ? 2 5 4 5 b ? 5 ? ? ? ? 2 ?a
(Ⅱ)解:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ( k ? 0 ) .点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 的坐

标 满 足 方 程 组

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 5 ?4

x 2 (kx ? m) 2 将①式代入②式,得 ? ? 1 ,整理得 (5 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 20 ? 0 . 4 5
此方程有两个一等实根, 于是 5 ? 4k 2 ? 0 , 且 ? ? (?8km) ? 4(5 ? 4 k )(4 m ? 20) ? 0 . 整
2 2 2

理得 m 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 .



由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0 , y0 ) 满足

x1 ? x2 4km 5m , y0 ? kx0 ? m ? . ? 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 5m 1 4km 从而线段 MN 的垂直平分线方程为 y ? ? ? (x ? ). 2 5 ? 4k k 5 ? 4k 2 9km 9m 此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ( , 0) , (0, ) .由题设可得 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 x0 ?

(5 ? 4k 2 ) 2 1 9km 9m 81 2 m ? .整理得 ,k ? 0. | | ? | | ? |k| 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 2 (5 ? 4k 2 ) 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 ,整理得 (4k 2 ? 5)(4k 2 ? | k | ?5) ? 0 , k ? 0 . 将上式代入③式得 |k|
解得 0 ?| k |?

5 5 或 | k |? . 2 4 5 4 5 5 5 , 0) ? (0, ) ? ( , ??) . 2 2 4

所以 k 的取值范围是 (??, ? ) ? ( ?

15.(2008 浙江卷 20) (本题 15 分)已知曲线 C 是到点 P( ?

1 3 5 , )和到直线 y ? ? 距离 2 8 8 相等的点的轨迹。 ? 是过点 Q(-1,0)的直线,M 是 C 上(不在 ? 上)的动点;A、B
在 ? 上, MA ? ?, MB ? x 轴(如图) 。

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出直线 ? 的方程,使得

QB

2

QA

为常数。

本题主要考查求曲线的轨迹方程、 两条直线的位置关系等基础知识, 考查解析几何的基本思 想方法和综合解题能力.满分 15 分. (Ⅰ)解:设 N ( x,y ) 为 C 上的点,则

1? ? 3? ? | NP |? ? x ? ? ? ? y ? ? , 2? ? 8? ?
5 5 N 到直线 y ? ? 的距离为 y ? . 8 8

2

2

1? ? 3? 5 ? 由题设得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? y ? . 2? ? 8? 8 ?
化简,得曲线 C 的方程为 y ? (Ⅱ)解法一:

2

2

1 2 ( x ? x) . 2
y Q O M BA

? x2 ? x ? 设 M ? x, ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 2 ? ?
B( x,kx ? k ) ,从而 | QB |? 1 ? k 2 | x ? 1| .
在 Rt△QMA 中,因为

l x

? x2 ? | QM |2 ? ( x ? 1) 2 ?1 ? ? , 4? ?
x? ? ( x ? 1) ? k ? ? 2? ? | MA |2 ? . 2 1? k
2 2

所以 | QA | ?| QM | ? | MA | ?
2 2 2

( x ? 1) 2 (kx ? 2) 2 . 2 4(1 ? k )

| QA |?

| x ? 1|? | kx ? 2 | 2 1? k 2



| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 ? ? . 2 | QA | |k| x? k
当 k ? 2 时,

| QB |2 ?5 5, | QA |

从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 16.(2008 重庆卷 21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 如图(21)图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点, 动点 P 满足: PM ? PN ? 6. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 PM · PN =

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长 2a=6 的椭圆. 因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴

b= a 2 ? c 2 ? 5 ,

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 9 5
(Ⅱ)由 PM ?PN ?

2 ,得 1 ? cos MPN

PM ?PN cos MPN ? PM ?PN ? 2.



因为 cos MPN ? 1, P 不为椭圆长轴顶点,故 P、M、N 构成三角形.在△PMN 中, MN ? 4,由余弦定理有

MN ? PM ? PN ? 2 PM ?PN cos MPN .
将①代入②,得

2

2

2



42 ? PM ? PN ? 2( PM ?PN ? 2).
故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线

2

2

x2 ? y 2 ? 1 上. 3

由(Ⅰ)知,点 P 的坐标又满足

x2 y 2 ? ? 1 ,所以 9 5
? 3 3 , ?x ? ? ? 2 解得 ? ?y ? ? 5 . ? ? 2

由方程组 ?

? ?5 x ? 9 y ? 45, 2 2 ? ? x ? 3 y ? 3.
2 2

即 P 点坐标为

(

3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 , )、( ,)、(, )或( ? ,). 2 2 2 2 2 2 2 2
2007 理科圆锥曲线

重庆理 (16)过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 0 的直线,交双曲线于 PQ 两点,则
2 2

|FP||FQ|的值为__________. (22) (本小题满分 12 分)如图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3,0) ,右准线 l 的方 程为:x = 12。 (1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上任取三个不同点 P 1 , P2 , P 3 ,使 ?P 1 FP2 ? ?P2 FP 3 ? ?P 3 FP 1 ,证明

1 1 1 为定值,并求此定值。 ? ? | FP1 | | FP2 | | FP3 |

Y

P2

P 1

l

O

F

P3

浙江理

x2 y 2 (9)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上一 a b
点,且 PF1 ? PF2 , PF1 ?PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 )

天津理 22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 设 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1,F2,A 是 椭 圆 上 的 一 点 , a b
1 AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
(Ⅰ)证明 a ?

2b ;

(Ⅱ)设 Q1,Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ? OQ2 ,过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD , 垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程. 22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程、 求曲线的方程等基础知识, 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)证法一:由题设 AF2 ? F1 F2 及 F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) ,不妨设点 A(c,y ) ,其中

y ? 0 .由于点 A 在椭圆上,有

c2 y 2 a 2 ? b2 y 2 ,即 ? ? 1 ? 2 ?1. a 2 b2 a2 b

? b2 ? b2 解得 y ? ,从而得到 A ? c, ? . a ? a?
b2 ( x ? c) ,整理得 b 2 x ? 2acy ? b 2 c ? 0 . 直线 AF1 的方程为 y ? 2ac
由题设,原点 O 到直线 AF1 的距离为

c b2c 1 , OF1 ,即 ? 3 3 b 4 ? 4a 2 c 2

当 y0 ? 0 时 , 由 OD ? Q1Q2 知 , 直线 Q1Q2 的 斜 率 为 ?

x0 , 所 以 直 线 Q1Q2 的 方 程为 y0

y??

x2 x0 x ( x ? x0 ) ? y0 ,或 y ? kx ? m ,其中 k ? ? 0 , m ? y0 ? 0 . y0 y0 y0

点 Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组 ? 将①式代入②式,得 x ? 2(kx ? m) ? 2b ,
2 2 2

? y ? kx ? m,
2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .

整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2b ? 0 ,
2 2 2 2

于是 x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 2b 4km , . x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由①式得 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? k 2

? k2 ·

2m 2 ? 2b 2 ?4km m 2 ? 2b 2 k 2 2 ? km · ? m ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

3m 2 ? 2b 2 ? 2b 2 k 2 ?0, 由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .将③式和④式代入得 1 ? 2k 2

3m 2 ? 2b 2 (1 ? k 2 ) .

2 2 这时,点 D 的坐标仍满足 x0 ? y0 ?

2 2 b . 3

综上,点 D 的轨迹方程为

2 x2 ? y 2 ? b2 . 3

解法二: 设点 D 的坐标为 ( x0,y0 ) , 直线 OD 的方程为 y0 x ? x0 y ? 0 , 由 OD ? Q1Q2 ,
2 2 垂足为 D ,可知直线 Q1Q2 的方程为 x0 x ? y0 y ? x0 . ? y0 2 2 记 m ? x0 (显然 m?0 ) , 点 Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的 坐 标 满 足 方 程 组 ? y0

? ? x0 x ? y0 y ? m, ? 2 2 2 ? ? x ? 2 y ? 2b .
由①式得 y0 y ? m ? x0 x .

① ②
③ ④

2 2 2 2 2 2 由②式得 y0 x ? 2 y0 y ? 2 y0 b .

2 2 2 2 将③式代入④式得 y0 x ? 2(m ? x0 x) 2 ? 2 y0 b . 2 2 2 整理得 (2 x0 ? y0 ) x 2 ? 4mx0 x ? 2m 2 ? 2b 2 y0 ?0,

于是 x1 x2 ?

2 2m 2 ? 2b 2 y0 . 2 2 2 x0 ? y0



由①式得 x0 x ? m ? y0 y .

⑥ ⑦

2 2 2 2 2 2 由②式得 x0 x ? 2 x0 y ? 2 x0 b .

2 2 2 2 将⑥式代入⑦式得 (m ? y0 y ) 2 ? 2 x0 y ? 2 x0 b , 2 2 2 整理得 (2 x0 ? y0 ) y 2 ? 2my0 y ? m 2 ? 2b 2 x0 ?0,

2 m 2 ? 2b 2 x0 于是 y1 y2 ? . 2 2 2 x0 ? y0


2 2 2m 2 ? 2b 2 y0 m 2 ? 2b 2 x0 ? ? 0, 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .将⑤式和⑧式代入得
2 2 3m 2 ? 2b 2 ( x0 ? y0 ) ?0.

2 2 2 2 将 m ? x0 代入上式,得 x0 ? y0 ? y0 ?

2 2 b . 3

所以,点 D 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ?

2 2 b . 3

四川理

x2 20) (本小题满分 12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (20)本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解 决问题及推理计算能力。 解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4 ???? ???? ? 因为 x ? ? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ?

?

当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1 解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

???? ???? ?

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? 2 ???? ? 2 ???? ?2 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? ???? ???? ? 2 PF1 ? PF2

?

2 2 1? x ? 3 ? y 2 ? x ? 3 ? y 2 ? 12 ? ? x 2 ? y 2 ? 3 (以下同解法一) ? ? ? 2?

?

?

?

?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 1? ? ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4
∴ x1 ? x2 ? ?

4k 1 k2 ? 4
? ?

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ?A0 B ? 90 ? cos ?A0 B ? 0 ? OA ? OB ? 0
0 0

??? ? ??? ?

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

??? ? ??? ?

?8k 2 ?k 2 ? 1 又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2 ?? kx2 ? 2 ? ? k x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ? ?4 ? 1 1 1 k2 ? k2 ? k2 ? 4 4 4
2

3k 2



3 1 k ? 4
2

?

?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ?2 ? k ? ? 上海理 8、已知双曲线 程为 _____ 21、 已知半椭圆
2 2

3 3 或 ?k?2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方 4 5

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 x ? 0 ? ? 1? x ? 0 ? 组成的曲线称为 与半椭圆 “果圆” , ? ? a 2 b2 b2 c2
2

其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 , F0 , F1 , F2 是对应的焦点。 (1)若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A1 A ? B1 B ,求

b 的取值范围; a

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ,使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,说明理由。 21.[解]



b 2 4 ?( , ). a 2 5
(3)设“果圆”的方程为 记平行弦的斜率为 k. 当 k=0 时,直线 y=t(-b≤t≤b)与半椭圆

x2 y2 y2 x2 ( x ≥ 0 ) ? ? 1 ? ? 1 (x≤0) a 2 b2 b2 a 2

x2 y2 ? ? 1 (x≥0)的交点是 a 2 b2

t2 t2 y2 x2 p (a 1 ? 2 , t ) ,与半椭圆 2 ? 2 ? 1 (x≤0)的交点是 Q( ? c 1 ? 2 , t ) . b b b a

? a?c t2 ?x ? 1? 2 ∴P、Q 的中点 M(x,y)满足 ? 2 b ?y ? t ?


x2 y2 ? 2 ? 1. a?c 2 b ( ) 2
a?c 2 a ? c ? 2b a ? c ? 2b ) ? b2 ? ? ? 0. 2 2 2

∵a<2b,∴ (

综上所述,当 k=0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆??14 分

(13)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA
2

??? ?

与 x 轴正向的夹角为 60? ,则 OA 为

??? ?



(21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b 2 ? 3

x2 y 2 ? ? ? 1. 4 3
? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m 2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m 2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

3(m 2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? k BD ? ?1 ,

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 全国 2 理 11. 设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 右焦点, 若双曲线上存在点 A , 使 ?F1 AF2 ? 90? ? 2 的左、 2 a b


且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为(

A.

5 2

B.
2

10 2

C.

15 2

D. 5

12.设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 FA ? FB ? FC ? ( A.9 B.6

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

) C.4 D.3

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程;

PO , PB 成等比数列,求 ( 2 )圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA ,
??? ? ??? ? PA?PB 的取值范围.
20.解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2. 1? 3
2 2

得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 . (2)不妨设 A( x1,, 0) B( x2,, 0) x1 ? x2 .由 x 2 ? 4 即得

A(?2,, 0) B(2, 0) .

PO , PB 成等比数列,得 设 P ( x,y ) ,由 PA ,
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,


x2 ? y 2 ? 2 .
??? ? ??? ? PA?PB ? (?2 ? x, ? y )?(2 ? x, ? y)

? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1).
由于点 P 在圆 O 内,故 ? 由此得 y ? 1 .
2

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, 0) . 全国 1 理 (4)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为( )

??? ? ??? ?

A.

x2 y 2 ? ?1 4 12
2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 4

C.

x2 y 2 ? ?1 10 6

D.

x2 y 2 ? ?1 6 10

(11)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴

上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是( A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8



(21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F1 ,F2 . 过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点, 过 F2 ? ? 1 的左、 3 2

的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P .
2 2 x0 y0 (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: ? ? 1; 3 2

(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. (21)证明: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ?

3? 2 ?1,

2 2 由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1 F2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,

1 24(k 2 ? 1) 2 ??(k 2 ? 1) 2 96 S ? ?BD AC ? ≥ ? . 2 2 2 2 2 2 (3k ? 2)(2k ? 3) ? (3k ? 2) ? (2k ? 3) ? 25 ? ? 2 ? ?
当 k 2 ? 1 时,上式取等号. (ⅱ)当 BD 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S ? 4 . 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为 宁夏理 6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,
2

96 . 25

点P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛物线上, 1 ( x1 且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2 2 2

? FP3

2

? FP · FP3 1

13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 .3 19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

x2 ? y 2 ? 1 有两个不 2

? ??? ? ???? ??? OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

代入椭圆方程得

x2 ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2


整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k 2 ? 4 ?

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

? ? 2 2 2? ? 2 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, . ? ? , ? ∞ ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? 2 ? ??? ? ???? (Ⅱ)设 P ( x1,y1 ),Q ( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,
解得 k ? ? 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . 而 A( 2,, 0) B(0,, 1) AB ? ( ? 2, 1) .



??? ?

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ? ????

??? ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ? 辽宁理

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2

11 . 设 P 为 双 曲 线 x ?
2

y2 ? 1 上 的 一 点 , F1,F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 12
) D. 24

| PF1 |:| PF2 |? 3 : 2 ,则 △PF1 F2 的面积为(
A. 6 3 B. 12 C. 12 3

x2 y 2 14.设椭圆 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的左焦点,若点 M 满 25 16
足 OM ?

???? ?

? ???? ???? ? 1 ??? (OP ? DF ) ,则 | OM | = 2
2



20. (本小题满分 14 分) 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y ? 2 x 上, 其中 O 为坐标原点, 设圆 C 是 OAB 的内接圆(点 C 为圆心) (I)求圆 C 的方程; (II)设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7 cos ? ) ? ( y ? 7 cos ? ) ? 1 ,过圆 M 上任意一点 P 分别
2 2

CF 的最大值和最小值. 作圆 C 的两条切线 PE,PF ,切点为 E,F ,求 CE,
本小题主要考查平面向量, 圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识, 考查综合运用解 析几何知识解决问题的能力.满分 14 分.

??? ? ??? ?

(I)解法一:设 A,B 两点坐标分别为 ?
2 2

? y12 ? ? y2 ? ,y1 ? , ? 2 ,y2 ? ,由题设知 ? 2 ? ? 2 ?
2

2 ? y12 ? ? y12 ? ? y12 y2 ? 2 2 2 ? y ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( y1 ? y2 ) . 2 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2
2 解得 y12 ? y2 ? 12 ,

所以 A(6, 2 3) , B(6, ? 2 3) 或 A(6, ? 2 3) , B(6, 2 3) . 设圆心 C 的坐标为 ( r, 0) ,则 r ?

2 ? 6 ? 4 ,所以圆 C 的方程为 3

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 . ???????????????????????????? 4 分
解法二:设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ) , ( x2,y2 ) ,由题设知
2 2 . x12 ? y12 ? x2 ? y2

在 Rt△PCE 中, cos ? ?

x 4 ,由圆的几何性质得 ? | PC | | PC |

| PC |≤| MC | ?1 ? 7 ?1 ? 8 , | PC |≥| MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 6 ,

1 2 ≤ cos ? ≤ ,由此可得 2 3 ??? ? ??? ? 16 ?8 ≤ CE ? CF ≤ ? . 9 ??? ? ??? ? 16 CF 的最大值为 ? ,最小值为 ?8 . 则 CE ? 9
所以 江西理

9.设椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 右 焦 点 为 F (c, 0) , 方 程 2 a b 2


ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) (
A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

B.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

C.必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情形都有可能

21. (本小题满分 12 分) 设 动 点 P 到 点 A(?1 , 0) 和 B(1, 0) 的 距 离 分 别 为 d1 和 d 2 ,

y

?APB ? 2? ,且存在常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d 2 sin 2 ? ? ? .
(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线双曲线 C 的右支于 M ,N 两点,试确定 ? 的范

d1

P

2?

d2
A

ON ? 0 ,其中点 O 为坐标原点. 围,使 OM ?
2 解法一: (1)在 △PAB 中, AB ? 2 ,即 22 ? d12 ? d 2 ? 2d1d 2 cos 2? ,

???? ? ????

O

B

y

, 4 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4d1d 2 sin 2 ? ,即 d1 ? d 2 ? 4 ? 4d1d 2 sin 2 ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数) 点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,实轴长 2a ? 2 1 ? ? 的双曲线.

方程为:

x2 y2 ? ? 1. 1? ? ?

(2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x ? 1 , M (11) , , N (1, ? 1) 在双曲线上.



1 1 ?1 ? 5 5 ?1 ,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? . ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? 1? ? ? 2 2

②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 2 由 ?1 ? ? ? 得: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ? x ? 2(1 ? ? )k x ? (1 ? ? )(k ? ? ) ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?
2 由题意知: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ? ? 0,

所以 x1 ? x2 ?

?2k 2 (1 ? ? ) ?(1 ? ? )(k 2 ? ? ) x x ? , . 1 2 ? ? (1 ? ? )k 2 ? ? (1 ? ? )k 2

于是: y1 y2 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?
2

k 2? 2 . ? ? (1 ? ? )k 2

因为 OM ? ON ? 0 ,且 M ,N 在双曲线右支上,所以

???? ? ????

(1 ? ? ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?k 2 ? ? ? ? ? (1 ? ? ) 2 ? ? 5 ?1 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ?1 1? ? ? ??? . ? x1 ? x2 ? 0 2 3 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?
由①②知,

5 ?1 2 ≤? ? . 2 3

解法二: (1)同解法一 (2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) , MN 的中点为 E ( x0,y0 ) . ①当 x1 ? x2 ? 1 时, MB ? 因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?
2

?
1? ?

? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ,

5 ?1 ; 2

? x12 y12 ? ?1 ? ? x0 ?1 ? ? ? ? kMN ? ? . ②当 x1 ? x2 时, ? 2 2 1 ? ? y0 ? x2 ? y2 ? 1 ? ?1 ? ? ?
又 k MN ? k BE ?

y0 2 2 .所以 (1 ? ? ) y0 ? ? x0 ? ? x0 ; x0 ? 1
2 2 2

? MN ? ? MN ? ? e( x1 ? x2 ) ? 2a ? ? 2 2 由 ∠MON ? 得 x0 ? y0 ? ? ? ,由第二定义得 ? ? ?? ? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?

1 2 ? 1 ? ?? x0 ? 1 ? ? ? ? x0 ? (1 ? ? ) ? 2 x0 . ? 1? ? ? 1? ?
2 2 所以 (1 ? ? ) y0 ? ? x0 ? 2(1 ? ? ) x0 ? (1 ? ? ) 2 .

2

于是由 ?

2 2 ? (1 ? ? ) 2 ?(1 ? ? ) y0 ? ? x0 ? ? x0 得 x0 ? 2 2 2 2 ? 3? ? ?(1 ? ? ) y0 ? ? x0 ? 2(1 ? ? ) x0 ? (1 ? ? )

因为 x0 ? 1 ,所以

(1 ? ? ) 2 ? 1 ,又 0 ? ? ? 1 , 2 ? 3?

解得: 江苏理

5 ?1 2 5 ?1 2 ? ? ? .由①②知 ≤? ? . 2 3 2 3

3 .在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为

x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为
A. 5 B.

5 2

C. 3

D. 2

15 .在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y 2 sin A ? sin C ? ? 1 上,则 ? 25 16 sin B

.

19、 (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 过 y 轴正方向上一点 C (0, c) 任作一直线,与抛物线 y ? x
2

y

相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于 P, Q , (1)若 OA ? OB ? 2 ,求 c 的值; (5 分) (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切 线; (5 分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。 (4 分)

C P
A

B

??? ? ??? ?

O
Q

x
l

解: (1)设过 C 点的直线为 y ? kx ? c ,所以 x ? kx ? c ? c ? 0 ? ,即 x 2 ? kx ? c ? 0 ,设
2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , OA = ? x1 , y1 ? , OB ? ? x2 , y2 ? ,因为 OA ? OB ? 2 ,所以

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ,即 x1 x2 ? ? kx1 ? c ?? kx2 ? c ? ? 2 , x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? kc ? x1 ? x2 ? ? c 2 ? 2
所以 ?c ? k 2 c ? kc ? k ? c 2 ? 2 ,即 c 2 ? c ? 2 ? 0, 所以 c ? 2 舍去c ? ?1

?

?

/ ( 2 ) 设 过 Q 的 切 线 为 y ? y1 ? k1 ? x ? x1 ? , y ? 2 x , 所 以 k1 ? 2 x1 , 即

?x ? c , ?c ? , 又 y ? 2 x1 x ? 2 x12 ? y1 ? 2 x1 x ? x12 , 它 与 y ? ?c 的 交 点 为 M ? 1 ? ? 2 2 x1 ? 2 ? c ? x ? x2 y1 ? y 2 ? ? k k ?k ? P? 1 , ? ? , ? c ? ,所以 Q ? , ?c ? ,因为 x1 x2 ? ?c ,所以 ? ? x2 , ? 2 ? ?2 2 x1 ?2 ? ? 2 ?
? x1 x2 ? ?k ? ? , ?c ? ? ? , ?c ? ,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。 ? ?2 2 ? ?2 ?k ? ?k ? (3) (2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q ? , ?c ? ,因为 PQ ? x 轴,所以 P ? , yP ? ?2 ? ?2 ?
所以 M ?

因为

x1 ? x2 k ? ,所以 P 为 AB 的中点。 2 2

x2 y 2 9.设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, a b
使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0, )

? ? ?

2? ? 2 ?
2

B. ? 0, ? ?

? ?

3? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

D. ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

20. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于
2

A,B 两点.
(I)若动点 M 满足 F1M ? F1 A ? F1 B ? F1O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA ? CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由. 20.解:由条件知 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 解法一: (I)设 M ( x,y ) ,则 则 F1M ? ( x ? 2,y ) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) ,

?????

???? ???? ????

??? ?

??? ?

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? F1 B ? ( x2 ? 2,y2 ), F1O ? (2, 0) ,由 F1M ? F1 A ? F1 B ? F1O 得
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 x ?8 2
2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

(II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, CB 为常数. 0) ,使 CA? 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ? ??? ?

当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, ? 2) , 此时 CA? CB ? (1,2)?(1, ? 2) ? ?1 .

??? ? ??? ?

CB 为常数. 故在 x 轴上存在定点 C (1, 0) ,使 CA?
解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

??? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 . ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 .???????????????????④ k 2 ?1

y?

4k .??????????????????????????⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y .整理得 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 4 . y? ? 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4?
当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, 0) ,满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

CB 为常数, (II)假设在 x 轴上存在定点点 C (m, 0) ,使 CA?
4k 2 4k 2 ? 2 当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x2 ? 2 ? 1 , x1 x2 ? 2 . k k ?1
以上同解法一的(II) . 湖南文 9.设 F1,F2 分别是椭圆

??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线上纵坐标 a 2 b2


为 3c ( c 为半焦距)的点,且 | F1 F2 |?| F2 P | ,则椭圆的离心率是( A.

3 ?1 2

B.

1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2

19. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的右焦点为 F ,过点 F 的动直线与双曲线相交于 A,B 两点,点 C
2 2

的坐标是 (1, 0) . (I)证明 CA , CB 为常数; (II)若动点 M 满足 CM ? CA ? CB ? CO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程. 19.解:由条件知 F (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (I)当 AB 与 x 轴垂直时,可设点 A,B 的坐标分别为 (2,2) , (2, ? 2) ,

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ? ??? ?

此时 CA? CB ? (1,2)?(1, ? 2) ? ?1 . 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 ,有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ? ??? ?

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 , , x x ? 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1
2

CB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 于是 CA?
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 1

??? ? ??? ?

?

(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? 1) ? ? 4k 2 ? 1 2 2 k ?1 k ?1

? (?4k 2 ? 2) ? 4k 2 ? 1 ? ?1 .

CB 为常数 ?1 . 综上所述, CA?
(II)解法一:设 M ( x,y ) ,则 CM ? ( x ? 1,y ) , CA ? ( x1 ? 1,y1 ) ,

??? ? ??? ?

???? ?

??? ?

??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB ? ( x2 ? 1,y2 ) , CO ? (?1, 0) ,由 CM ? CA ? CB ? CO 得:
? x ? 1 ? x1 ? x2 ? 3, ? x1 ? x2 ? x ? 2, 即? ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?2 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 x ? 2 ? 2 x ? 2 x?2 2
2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 2) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 x 2 ? y 2 ? 4 . x?2

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (2, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?2 ? k ,将其代入⑤有 y

x?2 4 y ( x ? 2) y 2 2 y? ? .整理得 x ? y ? 4 . 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2 ? y 2 ?1 y2 4?
当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (?2, 0) ,满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (2, 0) ,也满足上述方程. 故点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

湖北理

x2 y 2 7.双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 和 F2 ; a b
抛物线 C2 的准线为 l , 焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为 M , 则 A. ?1 10.已知直线 B. 1 C. ?

F1 F2 MF1

?

MF1 MF2

等于 (



1 2

D.

1 2

x y ? ? 1 ( a,b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的横 a b
) D.78 条
2

坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条 C.72 条 19. (本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p ) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相交于

A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值;
(II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若 存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) y

C A O N

B x

19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法 1: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, ? p) ,可设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) , 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? p , 与 x ? 2 py 联 立 得 ?
2

? x 2 ? 2 py, 消 去 y 得 ? y ? kx ? p.

x 2 ? 2 pkx ? 2 p 2 ? 0 .
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p 2 . 于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 . y

1 2

B C A O N x

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
? p 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2 ,
∴当 k ? 0 时, ( S△ ABN ) min ? 2 2 p 2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,
则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

y

∵ O?P ?

1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2
l A

B

O?

C O N

x

O?H ? a ?
2

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
2 2

∴ PH ? O?P ? O?H ?

1 2 1 ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p ) 2 4 4

p? ? ? ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) , 2? ?

?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2? ?? ?
令a?

p p p 得a ? , 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , ? 0, 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法 2: (Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2· ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2· 4 p 2 k 2 ? 8 p 2
? 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ,
又由点到直线的距离公式得 d ?

2p 1? k 2



从而 S△ ABN ? · d · AB ? · 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ·

1 2

1 2

2p 1? k
2

? 2 p2 k 2 ? 2 ,

∴当 k ? 0 时, ( S△ ABN ) min ? 2 2 p 2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,则以 AC 为直径的圆的方程为

( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p )( y ? y1 ) ? 0 ,
将直线方程 y ? a 代入得 x 2 ? x1 x ? (a ? p )(a ? y1 ) ? 0 , 则 △? x1 ? 4(a ? p )(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?
2

?? ??

p? ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P ( x3,y3 ),Q ( x4,y4 ) , 则有 PQ ? x3 ? x4 ? 令a?

?? p? ? p? ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) . 2? 2? ? ?? ?

p p p 得a ? , 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , ? 0, 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线.

广东理 11 .在平面直角坐标系 xoy 中,有一定点 A(2,1) , 若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 则该抛物线的方程是
18. (本小题满分14分)



在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相 切于 坐标原点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段

OF 的长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
18. 解: (1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m) +(y-n) =8 已知该圆 与直线 y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则
2 2

要探求是否存在异于原点的点 Q,使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长度 4,我们可以 转化为探求以右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4) +y =8 与(1)所求的圆的交点数。
2 2

12 4 ,y= 5 5 4 12 即存在异于原点的点 Q( , ),使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长。 5 5
通过联立两圆的方程解得 x=

福建理 6.以双曲线
2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2



A. x ? y ? 10 x ? 9 ? 0 C. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2

D. x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

20. (本小题满分 12 分)如图,已知点 F (1, 0) , 直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线

l

y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

F

?1 O

1

x

(Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF ,

????

????

???? ??? ? MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
20.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几 何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)设点 P ( x,y ) ,则 Q (?1,y ) ,由 QP ? QF ? FP?FQ 得:

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

y P B O F A

( x ? 1, 0)?(2, ? y ) ? ( x ? 1,y )?( ?2,y ) ,化简得 C : y 2 ? 4 x .
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为:

Q

x ? my ? 1(m ? 0) .
设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,又 M ? ?1, ?

x

? ?

2? ?, m?

M

联立方程组 ?

? y 2 ? 4 x, ,消去 x 得: ? x ? my ? 1,

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m) 2 ? 12 ? 0 ,故

? y1 ? y2 ? 4m, ? ? y1 y2 ? ?4. ???? ???? ???? ??? ? 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得:
y1 ? 2 2 ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: m m

?1 ? ?1 ?

2 2 , ?2 ? ?1 ? , my1 my2

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?
? ?2 ?
? ?2 ?

2?1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

2 y1 ? y2 ? m y1 y2
2 4m ? m ?4
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

? 0.

解法二: (Ⅰ)由 QP ? QF ? FP?FQ 得: FQ?( PQ ? PF ) ? 0 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ( PQ ? PF )?( PQ ? PF ) ? 0 ,

??? ? 2 ??? ?2 ? PQ ? PF ? 0 ,
??? ? ??? ? ? PQ ? PF .
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? ?2 ? 0 .

????

????

????

??? ?

???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2

??? ? AF ??? ? .????① BF

过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,

???? ???? ??? ? MA AA1 AF 则有: ???? ? ???? ? ??? ? .????② MB BB1 BF ??? ? ??? ? ?1 AF AF 由①②得: ? ??? ? ? ??? ? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ?2 BF BF
北京理 17. (本小题共 14 分) 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, 0) , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点

T (?11) , 在 AD 边所在直线上.
(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程;

(III)若动圆 P 过点 N (?2, 0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹 方程. 17. (共 14 分)

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, 0) . 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 , 即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? 所以虚半轴长 b ?

2 ,半焦距 c ? 2 .
c2 ? a2 ? 2 .
x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . 2 2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

安徽理 (9)如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两 a2 b2

个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△

F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为
(A) 3 (B) 5
2

(C)

5 2

(D) 1 ? 3

(14)如图,抛物线 y=-x +1 与 x 轴的正半轴交于点 A, 将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,?,Pn-1,过这些 分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,?,

Qn-1 ,从而得到 n-1 个直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2, ? , △ Qn-1Pn-1Pn-1, 当 n → ∞ 时 , 这 些 三 角 形 的 面 积 之 和 的 极 限
为 .

1 3

(19) (本小题满分 12 分) 2 如图,曲线 G 的方程为 y =2x(y≥0).以原点为圆心,以 t(t >0)为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (Ⅱ)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2,求证: 直线 CD 的斜率为定值. 19.本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直 线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力、综合分析问 题的能力.本小题满分 12 分. y 解: (Ⅰ)由题意知, A(a, 2a ) . 2 因为 OA ? t ,所以 a 2 ? 2a ? t 2 . 由于 t ? 0 ,故有 t ? D B O A a

G : y ? 2x

a ? 2a . (1)
2

由点 B (0,t ),C (c, 0) 的坐标知, 直线 BC 的方程为

a?2



x

x y ? ? 1. c t

又因点 A 在直线 BC 上,故有

a 2a ? ? 1, c t

将(1)代入上式,得

a 2a ? ? 1, c a (a ? 2)

解得 c ? a ? 2 ? 2(a ? 2) . (Ⅱ)因为 D (a ? 2, 2(a ? 2)) ,所以直线 CD 的斜率为

kCD ?

2(a ? 2) 2(a ? 2) 2(a ? 2) ? ? ? ?1 . a ? 2 ? c a ? 2 ? (a ? 2 ? 2(a ? 2)) ? 2(a ? 2)

所以直线 CD 的斜率为定值.

2006 圆锥曲线的方程

x2 y 2 1. (2006 年福建卷)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜 a b o 角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
( C ) (A) (1, 2] (B) (1, 2)
2

(C) [2, ??)
2 2

(D) (2, ??)

2. (2006 年安徽卷)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 值为( ) A. ?2
2 2

x y ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的 6 2
D. 4

B. 2

C. ?4

解:椭圆

p ? 4 ,故选 D。

x y ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 6 2

3. (2006 年广东卷) 已知双曲线 3 x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3 x2 y 2 ? 4. (2006 年陕西卷)已知双曲线 2 ? ? 1(a ? 2) 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线 a 2 3
3.依题意可知 a ?

3, c ? a 2 ? b 2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?

的离心率为 (D) (A)

2 3 3

(B)

2 6 3

(C) 3

(D)2

5. (2006 年上海春卷)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为( B ) (A) ( 0, 1 ) . (B) ( 1, 0 ) . (C) ( 0, 2 ) . 6. (2006 年上海春卷) 若 k ?R , 则 “ k ? 3” 是 “方程 (A)充分不必要条件. (C)充要条件.
2 2

(D) ( 2, 0 ) .

y x 的( A ) ? ? 1 表示双曲线” k ?3 k ?3 (B)必要不充分条件.

(D)既不充分也不必要条件. x2 2 7. (2006 年全国卷 II)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个 3 焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 (C ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 2 2 x y 4 8. (2006 年全国卷 II)已知双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心 2 2 3 a b 率为 (A )

5 (A) 3

4 (B) 3

5 (C) 4

3 (D) 2

9. (2006 年四川卷)已知两定点 A ? ?2, 0 ? , B ?1, 0 ? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于(B) (A) 9? (B) 8? (C) 4?
2

(D) ?

10. (2006 年四川卷)直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物 线的准线作垂线,垂足分别为 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为(A) (A)48 (B)56 (C)64 (D)72 x2 y 2 11. (2006 年四川卷)如图,把椭圆 ? ? 1 的长轴 25 16 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 则P 1F ? P 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? _______ 35 _________; 12. (2006 年天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程 为y?

2 x ,那么它的两条准线间的距离是( C )
B. 4 C. 2 D. 1

13. (2006 年湖北卷) 设过点 P ? x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP P 点的轨迹方程是(D) A. 3 x 2 ? C.

A. 6 3

? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则
3 2 y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2

3 2 y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2

B. 3 x 2 ? D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2

3 ? 2 PA 及 A, B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上知, A( x, 0), 2 ??? ? 3 ???? 由点 Q 与点 P 关于 y 轴对称知, B(0,3 y ) ,AB ? ( ? x,3 y ) , Q(? x, y ) ,OQ = (? x, y ) , 2 ???? ??? ? 3 3 2 2 则 OQ ? AB ? ( ? x,3 y ) ? ( ? x, y ) ? x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 。 2 2
13.解选 D.由 BP 15. (2006 年全国卷 I)双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
2 2

A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

15.一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。分析一下, 2 因为等号后为常数“+” ,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y 的系数为“+” ,所以这 2 个双曲线是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线, “x ” x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 b 与 “y ” 的系数的符号就不能相同。 在接下来是一个 “坑儿” : 双曲线的标准形式是 a

y 2 x2 ? 2 ?1 2 b 或a ( a, b ? 0 ) ,题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成 2 x 1 ? ? y2 ? 1 :1 ? 4 1/ | m | | m | 。由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4。即 ,所以

m??


1 4 。选 A。当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案 A 圈出

这个题的形式我们见的真是太多了,总结起来八个字: “没有坡度,只有陷阱” 。也就是 说,题目本身并不很难,但是它总在视觉上(不是知识上,是视觉上)给人挖“坑儿” 。一 般情况下, “坑儿”有三种:⑴ 不声明曲线是站着的还是躺着的;⑵ 该写在分母上的不往 分母上写;⑶ 该写成平方形式的不写成平方。

1 仔细品味这个题,选择支的选项并没有出现“ ?2 ”或“ 2 ”这样的支项,也就是说 ?
第⑶点并没有考察;第⑴点有所涉及,但似乎故意做了淡化,C、D 选项几乎是用眼睛扫一
2 2 2 2 下就排除了; 主要考察的还是第⑵点。 如果题目干项中将 “ mx ? y ? 1 ” 改成 “ mx ? y ? t

1 (t 为非零常数) ” ,同时支项中出现“ ? 2” 、 “ 2 ”这样的干扰项,那就三点兼顾了。 值得一提的是,在二次曲线中,还有一个“坑儿”需要引起注意:那就是“轴和半轴” 、 2 2 x y ? 2 ? a ? b ? 0? 2 b “距和半距” 。例如:椭圆 a 中, a 是半长轴而非长轴, c 是半焦距而非焦 距。 这些问题虽然很小,但同时也是眼高手低者们(包括我在内)比较爱犯的通病。我个人 认为,这个题其实是用来考察非智力因素的:就看细心不细心。 2 16. (2006 年全国卷 I)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 ?
A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5
d?

D. 3

| 4t ? 3t 2 ? 8 | | 3t 2 ? 4t ? 8 | ? 2 5 5 16.抛物线上任意一点( t , ?t )到直线的距离 。因 1 2 d ? ? 3t ? 4t ? 8 ? 2 2 5 为 4 ? 4 ? 3 ? 8 ? 0 , 所 以 3t ? 4t ? 8 ? 0 恒 成 立 。 从 而 有 , 2 1 4 ? 3?8 ? 4 4 d min ? ? ? 5 4?3 3 。选 A。 17. (2006 年全国卷 I)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个 三角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为
A. 8 5cm B. 6 10cm C. 3 55cm D. 20cm 2 17.我们普遍了解这样一个事实:在周长一定的 n 边形中,正 n 边形面积最大。或许这 个东西有点超纲,但是请原谅,我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题。 当 n = 3 时,这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释: 设三角形△ABC 的周长 l 为定值,角 A、B、C 分别对应三边 a、b、c。 先固定 B、C 两点,则 b + c 是定值,这意味这点 A 在 B、C 为焦点的椭圆上(去除俩 长轴端点) ,当 A 为椭圆的短轴端点时,A 到线段 BC 的距离最远,此时△ABC 为等腰三角形, 满足 b = c。① 假若 a ? b ,我们再固定 A、C 两点,再次调整点 B 的位置。由 ① 我们知道,a ' ? c ' 时, △ABC 面积最大。所以: 轴上,点 a ' 对应的点被 a、b 分别对应的两个点“夹逼”着。无论是用代数语言还是几何语 言,我们都能得到结论:再次调整后 | a '? b ' | ? | a ? b | 。②
2 2 2

a' ?

a '? c ' a ? c a ? b ? ? 2 2 2 ,即 a ' ? (a,b) 。或者换句话说,在数

只要类似于①、② 的调整我们可以一直进行,每进行一次,三角形的三边就“接近一 次” ,直到三边长最接近。最接近的情况当然是正三角形。 (以上只是感性理解,并不代表证明。 )

按照我们所普遍了解的事实,调整 3 个边尽可能的相等:7,7,6 此时三角形面积为: 6 10 。选 B。 2 18. (2006 年江西卷)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若

???? ??? ? OA ? AF =-4,则点 A 的坐标是(B ) A. (2,?2 2 ) B. (1,?2) C.(1,2)D.(2,2 2 ) ??? ? ??? ? y2 y2 y2 解:F(1,0)设 A( 0 ,y0)则 OA =( 0 ,y0) , AF =(1- 0 ,-y0) ,由 4 4 4 ??? ? ??? ? OA ? AF =-4?y0=?2,故选 B x 2 y2 19. (2006 年江西卷)P 是双曲线 - = 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2 9 16
=4 和(x-5) +y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D ) A. 6 B.7 C.8 D.9 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆 心,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B 20. (2006 年辽宁卷) 曲线 (A)焦距相等
2 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(C)焦点相同 (D)准线相同

(B) 离心率相等

21. (2006 年辽宁卷)直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x
2 2 2 2

(k ? R, 且k ? 0) 的公共

点的个数为 (A)1 (B)2

(C)3
2 2

(D)4
2 2 2 2 2 2

【解析】将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,
故选择答案 D。 【点评】 本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧, 同时对二次方程的实根分布 也进行了简单的考查。 22. (2 0 0 6 年 上海卷)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短

x2 y 2 . ? ?1 16 4 2 23. (2 0 0 6 年 上海卷)若曲线 y =| x |+1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、 b 分 别应满足的条件是 k =0,-1< b <1 . 2 x 1 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 , 24. ( 2006 年浙江卷)若双曲线 m 3 则 m = ( C) 1 3 1 9 (A) (B) (C) (D) 2 2 8 8 2 y 2 25. ( 2006 年湖南卷)过双曲线 M: x ? 2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲 b
轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是

线 M 的两条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C.

A

)

10 3

D.

5 2

26.(2006 年山东卷)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线 的距离为 1,则该椭圆的离心率为 (B) (A) 2 (B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

27 . (2006 年山东卷)某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名, x 和 y 须满足约束条件

?5 x ? 11 y ? ?22, ? 则 z=10x+10y 的最大值是 (C) ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11. ?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 2 28. (2006 年山东卷) 已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 2 2 两点,则 y1 +y2 的最小值是 32 . 29.(2006 年山东卷)双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3 x 为 C 的一条 8 4

渐近线. (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 过点 P(0,4)的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不 重合).当 PQ ? ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 29.(1) x ?
2

??? ?

??? ?

??? ?

8 时,求 Q 点的坐标. 3
B

y

y2 ? 1 ;(2) Q(?2, 0) . 3 x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 30. (2006 年福建卷) 已知椭圆 2 l (I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程;
(II)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围。

F A

G

O

x

30.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本 方法,考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。

(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

x2 代入 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2 ? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。 记 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 4k 2 则 x1 ? x2 ? ? 2 , 2k ? 1
1 ? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). k 令 y ? 0, 得

xG ? x0 ? ky0 ? ? ? k ? 0,??

2k 2 k2 k2 1 1 ? ? ? ?? ? 2 . 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2

1 ? xG ? 0, 2

1 ? 点 G 横坐标的取值范围为 (? , 0). 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲 a 2 b2 线 C 右支上一点, 且位于 x 轴上方, M 为左准线上一点,O 为坐标原点。 已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF 。
31. (2006 年安徽卷)如图,F 为双曲线 C: (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交 双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。 解:∵四边形 OFPM 是 ? ,∴ | OF |?| PM |? c ,作 M O y H

P x F

a2 双曲线的右准线交 PM 于 H,则 | PM |?| PH | ?2 ,又 c | PF | ? | OF | ?c ?c2 ?e2 , e? ? ? ? ? a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c?2 c?2 c c 2 e ? ?e ? 2 ? 0 。

第 22 题图

x2 y2 ? ? 1 四边形 OFPM 4a 2 3a 2 是菱形,所以直线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a ) ,代入到双曲线方 程得: 9 x 2 ? 48ax ? 60a 2 ? 0 ,
(Ⅱ) 当 ? ? 1 时,e ? 2 ,c ? 2a ,b 2 ? 3a 2 , 双曲线为 又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:12 ? 2 (

48a 2 60a 2 ,解 ) ?4 9 9

x2 y 2 9 27 2 得 a ? ,则 b ? ,所以 ? ? 1 为所求。 9 27 4 4 4 2 2 y 32. ( 2006 年重庆卷)已知一列椭圆 Cn:x + 2 =1. 0<bn<1,n=1,2. ? .若椭圆 C 上有一点 bn
Pn 使 Pn 到右准线 ln 的距离 d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、
右焦点.

3 (n≥1); 2 2n ? 3 (Ⅱ) 取 bn= , 并用 SA 表示 ? PnFnGn 的面积, 试证: n?2
(Ⅰ)试证:bn≤

S1<S1 且 Sn<Sn+3 (n≥3).
图(22)图 证: (1)由题设及椭圆的几何性质有

2d n ?| Pn Fn | ? | PnGn |? 2, 故d n ? 1.
设 tn ? 1 ? bn , 则右准线方程为
2

ln x ?

1 . ex

因此,由题意 d n 应满足

1 1 ? 1 ? d n ? ? 1. ex ex

?1 1 ? ?1 ? 1 ,解之得: ? en<1, 即 ? ex 2 ?0<e <1 n ? 1 即 ? en<1 , 2 3 从而对任意 n ? 1, bn ? . 2 (Ⅱ)设点 Pn的坐标为(xn , f n) , 则出d n ? 1及椭圆方程易知 1 xn ? ? 1, en 1 2 2 2 2 yn ? bn (1 ? xn ) ? (1 ? cn )(1 ? ( ? 1) 2 ) cn
得两极

1 1 ? 13 1 ? 13 1 ? 13 ,从而易知 f(c)在( , )内是增函 数,而在( , 6 6 6 2

1)内是减函数. 现在由题设取 bn ? 又易知

2n ? 3 n ?1 1 2 , 则cn ? 1 ? bn ? ?1? , c, 是增数列. n?2 n?2 n?2

3 1 ? 13 4 < ? cn . c2 ? < 6 5 4 故由前已证,知 S1<S 2,且S n<S n ?1 (n ? 3).
33. (2006 年上海春卷) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆 100 25 64 ? ? 变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分, 7 ? ? 降落点为 D( 8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2) 试问: 当航天器在 x 轴上方时, 观测点 A、B 测 得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变 轨指令?
航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为

33. [解](1)设曲线方程为 y ? ax 2 ? 由题意可知, 0 ? a ? 64 ?

64 , 7

64 . 7

? a??

1 . 7

??4 分

1 2 64 x ? . ??6 分 7 7 (2)设变轨点为 C ( x, y ) ,根据题意可知
? 曲线方程为 y ? ?

? x2 y2 ? (1) ? ?100 25 ? 1, 得 4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 , ? 1 64 ?y ? ? x2 ? , (2) ? 7 7 ? 9 y ? 4 或 y ? ? (不合题意,舍去). 4 ? y ? 4. 得 x ? 6 或 x ? ?6 ( 不 合 题 意 , 舍 去 ) . ? ??11 分 ( 6, 4 ) ,
| AC |? 2 5 , | BC |? 4 .

??9 分 C 点的坐标为

答:当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、 4 时,应向航天器发出变轨指 令. ??14 分 → 2 34. (2006 年全国卷 II)已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且 AF

→ =λ FB (λ >0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. → → (Ⅰ)证明 FM ? AB 为定值; (Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ )的表达式,并求 S 的最小值. 21.解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ >0. → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ (x2,y2-1), ? ① ?-x1=λ x2 ? 1 - y = λ ( y - 1) ② ? 1 2 ? 1 2 1 2 将①式两边平方并把 y1= x1 ,y2= x2 代入得 y1=λ 2y2 ③ 4 4 1 2 解②、③式得 y1=λ ,y2= ,且有 x1x2=-λ x2 =-4λ y2=-4, λ 1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2, 2 2 1 1 2 1 1 2 即 y= x1x- x1 ,y= x2x- x2 . 2 4 2 4 x1+x2 x1x2 x1+x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为( , )=( ,-1). ??4 分 2 4 2 → → x1+x2 1 2 1 2 1 2 2 所以 FM ? AB =( ,-2)?(x2-x1,y2-y1)= (x2 -x1 )-2( x2 - x1 )=0 2 2 4 4 → → 所以 FM ? AB 为定值,其值为 0. ??7 分 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 |FM|= (

x1+x2
2

)2+(-2)2= = =

1 2 1 2 1 x + x + x x +4 4 1 4 2 2 1 2 1 2

y1+y2+ ?(-4)+4

1 1 λ + +2= λ + . λ λ 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 2 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ + +2=( λ + ). λ λ 于是 由 λ +

S= |AB||FM|=( λ +
1 λ

1 2

1 λ

),

3

≥2 知 S≥4,且当 λ =1 时,S 取得最小值 4.

35. (2006 年四川卷) 已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

???? ? ???? 2, 0 , 满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P

?

的轨迹是曲线 E ,直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点,如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E 上 存在点 C ,使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S ? 本小题主要考察双曲线的定义和性质、 直线与双曲线的关系、 点到直线的距离等知识及 解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 12 分。

??? ?

??? ?

????

解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 且c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0 ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ? 消去 y ,得 1 ? k 2 x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

?

?

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

36 . (2006 年全国卷 I) 在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦点、

?

?

?

?

3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切 2 ???? ? ??? ? ??? ? 线与 x、y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB 。求:
离心率为 (Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) OM 的最小值。

???? ?

36.解: (I)根据题意,椭圆半焦距长为 3 ,半长轴长为 即椭圆的方程为

a?

c ?2 e ,半短轴长 b ? 1 ,

x2 ?

y ?1 4 。

2

设点 P 坐标为( cos ? , 2sin ? ) (其中

0 ?? ?

?
2) ,则

切线 C 的方程为:

x cos ? ?

y sin ? ? 1 2

1 2 点 A 坐标为: ( cos ? ,0) ,点 B 坐标为(0, sin ? ) 1 2 cos ? sin ?) 点 M 坐标为: ( ,
?1? ?2? ? ? ? ? ? ?1 所以点 M 的轨迹方程为: ? x ? ? y ? ( x ? 0 且 y ? 0)
? 1 ? ? 2 ? f ?? ? ? ? ? ?? ? cos ? ? ? ? sin ? ? (II)等价于求函数
2 2
2 2

2

2

(其中

0 ?? ?

?
2 )的最小值

4 ? 1 ? ? 2 ? 2 2 2 g ?? ? ? ? ?5?9 ? ?? ? ? ?1 ? tan ? ? ? 4 ?1 ? cot ? ? ? tan ? ? tan 2 ? ? cos ? ? ? sin ? ? 4 tan 2 ? ? tan 2 ? 时等号成立,此时即 tan ? ? 2 。 当 ???? ? OM ? g min ?? ? ? 3 min 因此,点 M 坐标为( 3 , 6 )时,所求最小值为 。
37. (2006 年江苏卷)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P ? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点 且过点 P ? 的双曲线的标准方程。 解: (I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 + ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 a2 b2
∴a ? 3 5 ,
2

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 6 5 ,
2 2 2

x y2 ? 1; + b ? a ? c ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为 45 9
(II)点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为: 、 F2 ' (0,6) P ?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) 设所求双曲线的标准方程为

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,
∴ a1 ? 2 5 ,

2a1 ? | P' F1 ' | ? | P' F2 ' | ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,故所求双曲线的标准方程为
2 2 2

y2 x2 ? 1。 20 16

点评:本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算 能力 38. (2006 年湖北卷)设 A 、 B 分别为椭圆

半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相 交于异于 A 、 B 的点 M 、 N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内. (此题不要求在答题卡上画图)

x2 y 2 ? ? 1?a, b ? 0 ? 的左、右顶点,椭圆长 a 2 b2

38.点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用 数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

a2 解: (Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1,从 c x2 y2 而 b= 3 .故椭圆的方程为 ? ? 1. 4 3
(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0, y0). ∵M 点在椭圆上,∴y0=

2

M

1

-4

A -2

2

B

4

-1

N
-2

-3

3 2 (4-x0 ). 4

1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得 P(4,

6 y0 6 y0 ). 从而 BM =(x0-2,y0) , BP =(2, ). x0 ? 2 x0 ? 2
2

6 y0 2 2 2 ∴ BM ? BP =2x0-4+ = (x0 -4+3y0 ). x0 ? 2 x0 ? 2
将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM ? BP =

2 ○

5 (2-x0). 2

∵2-x0>0,∴ BM ? BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为( 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 2 2 2 -2) +( 1 ) - [(x1-x2) +(y1-y2) ] MN =( 1 2 2 4 4
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴

6 y1 6 y2 ( 3 x 2 ? 2) y1 ? ,即 y2= x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2
2 2

4 ○

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 3 4

5 ○

于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。 39. (2006 年江西卷)如图,椭圆 Q:

2

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 . 4 4

x 2 y2 ,过点 F + =1 (a?b?0)的右焦点 F(c,0) a 2 b2

的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点 (1) 求点 P 的轨迹 H 的方程

(2) 在 Q 的方程中,令 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0???

?
2

) ,确定?的值,使原点

距椭圆的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到什么 位置时,三角形 ABD 的面积最大? 39.解:如图, (1)设椭圆 Q:

x 2 y2 + =1 (a?b?0) a 2 b2

上的点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,又设 P 点坐标为 P(x,y) ,则
2 2 2 2 2 2 ? 1) ?b x1+a y1=a b ????( ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x 2+a y 2=a b ????(2)

1?当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, 由(1)-(2)得 2 2 b (x1-x2)2x+a (y1-y2)2y=0

y

?

y1-y 2 b2 x y =- 2 = x1-x 2 a y x-c
2 2 2 2 2

B

?b x +a y -b cx=0????(3) 2?当 AB 垂直于 x 轴时, 点 P 即为点 F, 满足方程 (3) 2 2 2 2 2 故所求点 P 的轨迹方程为:b x +a y -b cx 0 (2)因为,椭圆 Q 右准线 l 方程是 x= 的距离为 (0??? 则

O F

D X



a2 ,原点 c

A

距l
l

?

a2 2 2 2 2 2 ,由于 c =a -b ,a =1+cos?+sin?,b =sin? c


a2 ? ? = =2sin( + ) c 2 4 1+cos ? ? 2 2 当?= 时,上式达到最大值。此时 a =2,b =1,c=1,D(2,0) ,|DF|=1 2 x2 2 1 上的点 A(x1,y1) 设椭圆 Q: +y = 、B(x2,y2) ,三角形 ABD 的面积 2 1 1 1 S= |y1|+ |y2|= |y1-y2| 2 2 2 x2 2 1 中,得(2+k2)y2+2ky-1=0 设直线 m 的方程为 x=ky+1,代入 +y = 2 2k 1 由韦达定理得 y1+y2= - ,y1y2= - , 2 2+k 2+k 2

2 1+cos ?+sin ?

8(k 2+1) 2 (k 2+2) 8t 8 8 2 2 令 t=k +1?1,得 4S = = ? =2 ,当 t=1,k=0 时取等号。 2 1 (t+1) t+ +2 4 t
4S =(y1-y2) =(y1+y2) -4 y1y2=
2 2 2

因此,当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时,三角形 ABD 的面积最大。 40. (2006 年天津卷) 如图, 以椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? a2 b2

的中心 O 为圆心,分别以 a 和 b 为半径作大圆和小圆。过 椭圆右焦点 F ?c,0 ??c ? b ? 作垂直于 x 轴的直线交大圆于 第一象限内的点 A .连结 OA 交小圆于点 B .设直线 BF 是小圆的切线. (1)证明 c 2 ? ab ,并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐 标; ( 2 ) 设 直 线 BF 交 椭 圆 于 P 、 Q 两 点 , 证 明

??? ? ???? 1 OP ? OQ ? b 2 . 2 40. M (0, a ) ;略.
41 . ( 2006 年 辽 宁 卷 )
2







A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点 , O 是坐标原点 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为
x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;

2 5 时,求 p 的值。 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 【解析】(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB ) ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2

??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ??..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1 去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0


y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?
? y1 ? y2 ? ?4 p 2 x ?x yy 1 1 x? 1 2 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y2 ? 2 p2 ) p 2 2 所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p
设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |
? | ( y ? p)2 ? p 2 | 5p

当 y=p 时,d 有最小值

p p 2 5 ? ,由题设得 5 5 5

? p ? 2.

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 2 ? y1 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?
? y1 ? y2 ? ?4 p 2 x ?x yy 1 1 x? 1 2 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y2 ? 2 p2 ) p 2 2 所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p
设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

m ? ?2
2 2 2 2

2 5 ,则 5

因为 x-2y+2=0 与 y ? px ? 2 p 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为

2 5 5 ? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3) 2 2 将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0

?? ? 4 p 2 ? 4(2 p 2 ? 2 p) ? 0 ?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?
? y1 ? y2 ? ?4 p 2 1 | ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p ( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p

?

( y1 ? y2 ? 2 p ) 2 ? 4 p 2 4 5p

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

? p ? 2.
【点评】 本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础 知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力. 42. (2006 年北京卷)已知点 M (?2, 0), N (2, 0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 记动点 P 的轨迹为 W . (Ⅰ)求 W 的方程;

(Ⅱ)若 A, B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

??? ? ??? ?

x2 (Ⅱ)20。 ? y 2 ? 1( x ? 2) ; 2 2 43. (2 0 0 6 年 上海卷)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B
19. (Ⅰ) 两点. (1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1) (2) 44. ( 2006 年浙江卷)如图,椭圆 有且只有一个公共点 T,
?? ? ?? ?

x2 y 2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线 a 2 b2

且椭圆的离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、 F 2 分别为椭圆的左、 右焦点, M 为线段 AF 1 的中点, 求证: ∠ATM=∠AF 1 T. 44.

x2 ? 2 y2 ? 1 。 2

x2 y 2 45. ( 2006 年湖南卷)已知椭圆 C1: ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、 4 3
C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条件 的 m 、 p 的值;若不存在,请说明理由. 45.(Ⅰ) m =0, p ? (Ⅱ) m ?

9 ; 8

6 6 4 ,或 m ? ? ,p? 。 3 3 3

解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为
3 3 )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p ,即 p ? . 4 8 9 此时 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16

x=1,从而点 A 的坐标为(1,

(Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),

??①

则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=

8k 2 3 ? 4k 2

.
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦,
1 1 1 所以 AB ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) ? 4 ? ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p . 2 2 1 从而 x1 ? x2 ? p ? 4 ? ( x1 ? x2 ) . 2 8k 2 4?6p 4?6p ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 . 2 3 ? 4k 3 3 AB ? ( x1 ?
解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 即m ?
6 6 . 或m ? ? 3 3
2 3 1 3

当m ?

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3

当m ? ?

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) . 由?
8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
2 3

??①

因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? 即 k 2 x 2 ? (k 2 ? 2) x ?
4 3 4k 2 ?0. 9
4(k 2 ? 2) 3k 2
2 3 1 3 2k 2 8 ) ? x. 3 3

??②

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4

??③

所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ?

p p 2 2 2 16 即 x1 ? x 2 ? (4 ? p) ? . 3 9

1 1 x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2

??①
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ? 且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) , 所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ?
2m . 3

??②

??③

又因为 ?

2 2 ? ?3 x1 ? 4 y1 ? 12 2 ? ?3 x 2 2 ? 4 y2

? 12

,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ?

y 2 ? y1 ?0. x 2 ? x1

??④

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 ,即 m ? . 或m ? ? 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3

当m ? ?

2005 年高考全国试题分类解析(圆锥曲线) 一、选择题:

x2 y2 1(2005 重庆卷) 若动点(x,y)在曲线 ? 2 ? 1 (b>0)上变化,则 x2?2y 的最大值为(A ) 4 b
?b 2 ? ? 4 (0 ? b ? 4) (A) ? 4 ; ? (b ? 4) ? 2b
(C)

?b 2 ? ? 4 (0 ? b ? 2) (B) ? 4 ; ? (b ? 2) ? 2b
(D) 2b。

b2 ? 4; 4
2

2. (2005 浙江)函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( B (A)

)

1 8

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)1

3. (2005 天津卷)设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的 25 9

焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ( C ) A. ? 2 B. ?

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

x2 y2 4. (2005 天津卷)从集合{1,2,3?,11}中任选两个元素作为椭圆方程 2 ? 2 ? 1 中的 m m n
和 n,则能组成落在矩形区域 B={(x,y)| |x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为(B ) A.43 B. 72
2

C. 86

D. 90

5. (2005 上海)过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的 横坐标之和等于 5,则这样的直线( B ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

6. ( 2005 山 东 卷 ) 设 直 线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 为 l ? , 若 l ? 与 椭 圆

x2 ?

y2 1 ,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 的点 P 的个数 ? 1 的交点为 A、B、 4 2
(B)2 (C)3 (D)4

为( B ) (A)1 7 (2005 全国卷Ⅰ)已知双曲线 心率为(A (A) )

x2 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离 2 2 a

3 2

(B)

3 2

(C)

6 2

(D)

2 3 3
1 1 8 8

A. (?2 2 ,2 2 )

B. ( ? 2 , 2 )

C. ( 2 , 2 ) 4 4

D. (? , )

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( C) 4 9 2 4 3 9 (A) y ? ? x (B) y ? ? x (C) y ? ? x (D) y ? ? x 3 9 2 4 2 2 x y ? 1 的焦点为 F1 、 9. (2005 全国卷 II)已知双曲线 ? 点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴, F2 , 6 3 则 F1 到直线 F2 M 的距离为(C )
8.( 2005 全国卷 II) 双曲线
3 6 5 6 6 5 (B) (C) (D) 5 6 5 6 2 10. 抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为(D ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 11. (2005 全国卷 III)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(D)

(A)

(A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

12. (2005 辽宁卷)已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线

y 2 ? 4 x 的准线重合,则该双曲线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是
( B ) B. 21 C. 18 ? 12 2 D.21 A.2 3 + 6

13 .(2005 江苏卷)抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B) ( A )

17 16

( B )

15 16

( C )

7 8

( D ) 0

14. 2005(江苏卷)(11)点 P(-3,1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方 a 2 b2

向为 a=(2,-5)的光线,经直线 y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )

( A )

3 3

( B )

1 3

( C )

2 2

( D )

1 2

15.(2005 湖南卷)已知双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条 a2 b2 a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 2
C.60? D.90?

渐近线交于点 A,△OAF 的面积为 (D ) A.30?

B.45?

16. (2005 湖南卷)已知双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条 a2 b2 a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 2
C.60? D.90?

渐近线交于点 A,△OAF 的面积为 ( D ) A.30?

B.45?

x2 y2 2 17. (2005 湖北卷) 双曲线 有一个焦点与抛物线 y ? 4 x ? ? 1(mn ? 0) 离心率为 2, m n
的焦点重合,则 mn 的值为 ( A ) A.

3 16

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3

18. (2005 福建卷)已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值 是 ( C ) A.

1 2

B.

3 2
2 2

C.

7 2

D.5

19. (2005 福建卷)设 a, b ? R , a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是 ( ) B. ?

A. ? 2 2

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2

20. (2005 广东卷)若焦点在轴上的椭圆 (A) 3 (B)

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=(B) 2 m 2

3 8 2 (C) (D) 2 3 3

21. (2005 全国卷 III) 已知双曲线

x

2

y ?

2

2

? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且

????? ????? MF 1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 轴的距离为(C)
(A)

4 3

(B)

5 3

(C)

2 3 3

(D) 3

22.(2005 福建卷)已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 a2 b2

为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 ( D ) A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

二、填空题: 1. (2005 江西卷)以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB ), 则动点 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
③④ (写出所有真命题的序号)
2

其中真命题的序号为

1? ? ? 1 ? 2. (2005 重庆卷)已知 A? ? ,0 ? ,B 是圆 F: ? x ? ? ? y 2 ? 4 (F 为圆心)上一动点,线 2? ? ? 2 ?
段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为 x 2 ?

4 2 y ? 1。 3

3. (2005 浙江) 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 a 2 b2

相交于 M 、 N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 __2_______. 4. (2005 上海)4.直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP ? OA =4。 则点 P 的轨迹方程是 x+2y-4=0 .

5. (2005 上海)若椭圆长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是(2 15 ,0),则椭圆的标

准方程是

x2 y2 ? ?1 80 20

6. (2005 上海)若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3 x ,它的一个焦点是 ( 10, 0) ,则双曲线 的方程是______ x ?
2

y2 ? 1 ____。 9

x2 y 2 7. (2005 山东卷)设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近 a b
线交于 P、Q 两点,如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? __ 2 _________ . 三、解答题: 2 1. (2005 江西卷)如图,M 是抛物线上 y =x 上的一点,动弦 ME、MF y 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹解: O (1)设
2 M(y 0

M B A E F

x

,y0) ,直线 ME 的斜率为 k(l>0)
2 0

则直线 MF 的斜率为-k,方程为 y ? y0 ? k ( x ? y ).
2 ? y ? y0 ? k ( x ? y 0 ) ? ∴由 ? ,消 x得ky 2 ? y ? y0 (1 ? ky0 ) ? 0 2 ? ?y ? x

2 2 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? (1 ? y0 ) 2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? ? ? 3 3 3 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? x ? xM ? xE ? xF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 ? 3 3 3 ?

1 2 2 x ? ( x ? ). 9 27 3 2 2. (2005 江西卷)如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动 点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动, 过 P 作抛物线 C 的两条切
消去参数 y0 得 y 2 ? 线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.
2 解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x12 )(( x1 ? x0 ) ,

y
F A B

l

x
O
P

2 ∴切线 AP 的方程为: 2 x 0 x ? y ? x 0 ? 0;

切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x12 ? 0;

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x ? x1 ? x P ? xP , 所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ? 0 3 2 2 y0 ? y1 ? yP x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 xP ? y p yG ? ? ? ? , 3 3 3 3 2 所以 y p ? ?3 y G ? 4 xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
解得 P 点的坐标为: x P ?

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3 ??? ? ? x ?x ? 1 ??? 1 ??? 1 2 1 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x12 ? ). (2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? ( 0 4 2 4 4
由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0.

x0 ? x1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? x0 ? ( x0 x1 ? )( x0 2 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 4 4 ? ??? ? ??? ? ? 2 ? 4, ∴ cos ?AFP ? ??? ??? ? | FP || FA | | FP | 1 | FP | x0 2 ? ( x0 2 ? ) 2 4 x0 ? x1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? x1 ? ( x0 x1 ? )( x12 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 4 4 ? ??? ? ??? ? ? 2 ? 4, 同理有 cos ?BFP ? ??? ??? ? | FP || FB | | FP | 1 | FP | x12 ? ( x12 ? ) 2 4
∴∠AFP=∠PFB. 方 法 2 : ① 当 x1 x 0 ? 0时,由于x1 ? x 0 , 不妨设x 0 ? 0, 则y 0 ? 0, 所 以 P 点 坐 标 为

x1 |x | 1 ,0) , 则 P 点到直线 AF 的距离为: d1 ? 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 2 4 x1 1 1 即 ( x12 ? ) x ? x1 y ? x1 ? 0. 4 4 1 x x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? ) 2 ? ( x1 ) 2 4 4 (
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

x12 ?

1 4 x,

1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x 0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4 1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4 所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ?x 1 x ?x 1 1 2 | ( x0 ? )( 0 1 ) ? x0 2 x1 ? x0 | | 0 1 )( x0 2 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | d1 ? ? 1 2 2 1 2 x0 ? ( x0 ? ) 2 ? x0 2 4 4 | x ? x0 | 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 ? 1 ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2
3. (2005 重庆卷) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3 ,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 且 OA ? OB ? 2 (其 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,

中 O 为原点),求 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 由已知得 a ?

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0).

3 , c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

x2 故双曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 3
(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

即k2 ?

1 且k 2 ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3

x A ? xB ?

??? ? ??? ? 6 2k ?9 , x x ? , 由 OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, A B 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

而 x A xB ? y A yB ? x A xB ? (kx A ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1

于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3
1 ? k 2 ? 1. 3



由①、②得

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

x2 4. (2005 重庆卷) 已知椭圆 C1 的方程为 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的 4
左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ?

2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两

个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

x2 将y ? kx ? 2代入 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3
由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得
2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 即k 2 ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

6 2k ?9 设A( x A , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得x A xB ? y A yB ? 6, 而 x A xB ? y A yB ? x A xB ? (kx A ? 2)(kxB ? 2)

? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6, 即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 3k ? 1 3k ? 1 15 3

由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

5. (2005 浙江) 17.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1:x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表示). 解: (I)设椭圆方程为 半焦距为 c, 则

x2 y 2 , ? ? 1( a ? b ? 0 ) l1 a 2 b2

l

y

P

a2 ? a , | A1 F1 |? a ? c , c ? a2 ? c ? a ? 2(a ? c ) ? ? 由 题 意 , 得 , 解 得 ? 2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? a ? 2, b ? 3, c ? 1 | MA1 |? x2 y 2 ? ?1 4 3 (II)设 P( m, y0 ),| m |? 1 当 y0 ? 0 时, ?F1 PF2 ? 0
故椭圆方程为 当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1M ?

x
M A1 F1

O F2

A2

?
2

? 只需求 tan ?F1 PF2 的最大值即可。 y0 y0 直线 PF1 的斜率 K1 ? ,直线 PF2 的斜率 K 2 ? , m ?1 m ?1 2 | y0 | 2 | y0 | K ? K1 ? ? ? tan ?F1 PF2 ?| 2 |? 2 2 1 ? K1 K 2 m ? 1 ? y0 2 m 2 ? 1? | y0 |

1 m2 ? 1

当且仅当 m ? 1 = | y0 | 时, ?F1 PF2 最大,
2

6. (2005 天津卷)抛物线 C 的方程为 y ? ax (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠
2

0)作斜率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同), 且满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值 范围. 解: (Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 )得,焦点坐标为 (0,
2

1 ) ,准线方程为 4a

y??

1 . 4a

( Ⅱ ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y 0 ? k1 ( x ? x 0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为

y ? y 0 ? k 2 ( x ? x0 ) .
点 P ( x 0 , y 0 ) 和点 A( x1 , y1 ) 的坐标是方程组 ?

? ? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 )? ① 的解.将②式代 2 ? ? y ? ax ?? ②

入①式得 ax 2 ? k1 x ? k1 x 0 ? y 0 ? 0 ,于是 x1 ? x 0 ?

k1 k ,故 x1 ? 1 ? x 0 a a



又点 P ( x 0 , y 0 ) 和点 B ( x 2 , y 2 ) 的坐标是方程组 ?

? ? y ? y0 ? k2 ( x ? x0 )? ④ 的解. 将⑤式 2 ?⑤ ? ? y ? ax     
k2 k ,故 x2 ? 2 ? x0 . a a


代入④式得 ax 2 ? k 2 x ? k 2 x 0 ? y 0 ? 0 .于是 x2 ? x0 ? 由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ?

?
a

k1 ? x 0 .

设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ?

???? ?

????

x 2 ? ?x1 . 1? ?

将③式和⑥式代入上式得 x M ? ∴线段 PM 的中点在 y 轴上.

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 x M ? x0 ? 0 . 1? ?

(Ⅲ)因为点 P (1,?1) 在抛物线 y ? ax 上,所以 a ? ?1 ,抛物线方程为 y ? ? x .
2 2

由③式知 x1 ? ? k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y1 ? ?(k1 ? 1) .
2 2

将 ? ? 1 代入⑥式得 x2 ? k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y 2 ? ?(k 2 ? 1) .
2 2

因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为

A(?k1 ? 1, ?k12 ? 2k1 ? 1) , B(k1 ? 1, ?k12 ? 2k1 ? 1) .
于是 AP ? (k1 ? 2, k1 ? 2k1 ) , AB ? (2k1 , 4k1 ) ,
2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k12 ? 2k1 ) ? 2k1 (k1 ? 2)(2k1 ? 1) .
因 ?PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同,故必有 AP ? AB ? 0 .

??? ? ??? ?

1 ? k1 ? 0 .又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1 ? ?(k1 ? 1) 2 , 2 1 1 1 故当 k1 ? ?2 时, y1 ? ?1 ;当 ? ? k1 ? 0 时, ?1 ? y1 ? ? .即 y1 ? (??, ?1) ? (?1, ? ) 2 4 4
求得 k1 的取值范围是 k1 ? ?2 或 ? 7. (2005 上海)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满 分 6 分. 2 已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,丫讨论直线 AK 与圆 M 的 位置关系.

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= ∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时, AK 与圆 M 相切;

2m ? 8 16 ? (m ? 4) 2

,令 d>2,解得 m>1

当 m<1 时, AK 与圆 M 相交. 8. (2005 上海)点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的 36 20

右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到 点 M 的距离 d 的最小值。 [解](1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x -4, y },由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x 2 +9 x -18=0, x =

3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

5 3 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x ? 4 x 2 ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? ) 2 ? 15 , 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
9. (2005 山东卷)已知动圆过定点 ? (I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程;

p ?p ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

(II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和

? ,当 ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点 B
的坐标.

y

A M
o
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

N

x

p x?? p ?p ? 2 解: (I)如图,设 M 为动圆圆心, ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线,垂 2 ?2 ?
足为 N ,由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ? 物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? 方程为 y ? 2 px( P ? 0) ;
2

p 的距离相等,由抛 2

p ?p ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨迹 2 ?2 ?

(II)如图,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意得 x1 ? x2 (否则 ? ? ? ? ? )且 x1 , x2 ? 0 所
2 y12 y2 , x2 ? 以直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b ,显然 x1 ? ,将 y ? kx ? b 与 2p 2p

y 2 ? 2 px( P ? 0) 联 立 消 去 x , 得 ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 由 韦 达 定 理 知
y1 ? y2 ? 2p 2 pb ① , y1 ? y2 ? k k

( 1 )当 ? ?

?
2

时,即 ? ? ? ?

?
2

时, tan ? ? tan ? ? 1 所以

y1 y2 ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2

2 y12 y2 2 pb ? y1 y2 ? 0 所以 y1 y2 ? 4 p 2 由①知: ? 4 p 2 所以 b ? 2 pk . 因此直线 AB 的方程可 2 4p k

表示为 y ? kx ? 2 Pk ,即 k ( x ? 2 P ) ? y ? 0 所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0 ? (2)当 ? ?

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? = 1 ? tan ? tan ?

2p 2p 2 p( y1 ? y2 ) 将①式代入上式整理化简可得: tan ? ? ,所以 b ? ? 2 pk , 2 tan ? y1 y2 ? 4 p b ? 2 pk
此时,直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ?

2p 2p ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p ) ? ? y ? tan ? tan ? ?

? ??0 ?

所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, 所以由(1) (2)知,当 ? ? 定点 ? ?2 p,

? ?

2p ? ? tan ? ?
时,直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0 ? ,当 ? ?

?
2

?
2

时直线 AB 恒过

? ?

2p tan ?

? ?. ?

10. (2005 全国卷Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦 点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线。 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R ) ,证明 ? ? ? 为定值。
2 2

??? ? ??? ?
???? ?

?

??? ?

??? ?

(II)证明: (1)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b ???? ? 设 OM ? ( x, y ) ,由已知得 ( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ),

? x ? ?x1 ? ?x 2 , ?? ? M ( x, y ) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x 2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 . ? y ? ?x1 ? ?x 2 . 2 2 2 2 2 2 2 即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x 2 ? 3 y 2 ) ? 2?? ( x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b . ① 3c 2 3 2 2 1 2 由(1)知 x1 ? x 2 ? , a ? c ,b ? c . 2 2 2

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 x1 x 2 ? ? c 8 a2 ? b2 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? c)( x 2 ? c) ? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
2 2

又 x 1 ?3 y1 ? 3b , x 2 ? 3 y 2 ? 3b ,代入①得 ?2 ? ? 2 ? 1. 故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.
2 2 2 2

11. (2005 全国卷Ⅰ) 已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右 焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线. (1)求椭圆的离心率;
2 2 (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R ) ,证明 ? ? ? 为定值.

??? ? ??? ?

?

???? ?

??? ?

??? ?

解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a2 b2 x2 y2 则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入 2 ? 2 ? 1 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .
令 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ?

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x x ? . 1 2 2 2 2 2 a ? b a ? b ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB与a 共线,得

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0. 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ∴ 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0
2a 2 c 3c 3c ? ,∴ a 2 ? 3b 2 ∴ x1 ? x2 ? 即 2 2 a ?b 2 2 6a ∴ c ? a 2 ? b2 ? 3 c 6 故离心率为 e ? ? . a 3 x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b ???? ? 设 OM ? ( x, y ) ,由已知得 ( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
(II)证明:由(I)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

?

? x ? ? x1 ? ? x2 , ? ? y ? ? y1 ? ? y2 .
2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x 2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 . ①

? M ( x, y ) 在椭圆上, ? (?x1 ? ?x 2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 .
即 由(I)知 x1 ? x 2 ?

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 ? c a 2 ? b2 8 ∴ x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 ? x2 ? 3( x1 ? c )( x2 ? c )
∴ x1 x2 ?

? 4 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c 2 ?
又 x1 ? 3 y1 ? 3b , x 2 ? 3 y 2 ? 3b 又,代入①得
2 2 2 2 2 2

3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 ? 0. 2 2 2 ? ? ? 2 ? 1.

故 ? ? ? 为定值,定值为 1
2 2

y2 ? 1 上, F 为椭圆在 y 轴正半 12. (2005 全国卷 II) P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x 2 ? 2 ? ??? ? ??? ???? ? ???? ??? ? ???? ? 轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面 积的最小值和最大值. 解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y = kx +1
将此式代入椭圆方程得(2+ k 2 ) x 2 +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

y
M F P O N Q

? k ? 2k 2 ? 2 ? k ? 2k 2 ? 2 , x ? 2 2 ? k2 2 ? k2 8(1 ? k 2 ) 2 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (2 ? k 2 ) 2 x1 ?

2 2(1 ? k 2 ) 亦即 | PQ |? 2 ? k2
(1) 当 k ≠ 0 时 , MN 的 斜 率 为 -

x

1 ,同上可推得 k

1 2 2(1 ? (1 ? ) 2 ) k | MN |? 1 2 2 ? (? ) k
故 四 边 形 面 积

1 1 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 2 1 k ? k S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 令u = k2 ? 2 得 S ? ? 2(1 ? ) k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 ∵ u = k 2 ? 2 ≥2 k 16 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数 9 16 ∴ ?S?2 9 4(1 ? k 2 )(1 ?
②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为

1 |PQ||MN|=2 2

16 。 9
2

13.(2005 全国卷 III) 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 AB 的垂直平 分线, (Ⅰ)当且仅当 x1 ? x 2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)当 x1 ? 1, x 2 ? ?3 时,求直线 l 的方程.

??5 分
2 2 ? ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? k ? x1 x 2 ? b 2 2 ? ?? 2 2 ? ? 2 x1 2 x 2 ? ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

? ? 2 2 ? x 2 ? k ? x1 x 2 ? b ? x 1 ? ?????7 分 2 ?? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? 4 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) ??????????????8 分 所以当且仅当 x1 ? x2 =0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F??????????9 分 (Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时, 直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b????????????10 分 则由(Ⅰ)得:
? ? 2 2 ? ? k ? x1 x 2 ? b ? ? x1 x 2 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 8

? x1 ? x 2 k? ? b ? 10 ? ?????????11 分 ? 2 ?? 1 ? ? ? ?2 ? 2k ?

1 ? k? ? ? 4 ????????????????13 分 ?? 41 ?b ? ? ? 4

所以直线 l 的方程为 y ? 14、(2005 全国卷 III)

1 41 x? 4 4
2

设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 AB 的垂直平分线。 (Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。

(Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b ,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、B 的直 线方程可写为 y ? ?

1 1 x ? m ,所以 x1、x2 满足方程 2 x 2 ? x ? m ? 0 2 2

得 x1 ? x2 ? ?

1 4 1 1 ? 8m ? 0 ,即 m ? ? 4 32

A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ?
设 AB 的中点 N 的坐标为 ? x0,y0 ? ,则

1 1 1 1 ? x1 ? x2 ? ? ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? m 2 8 2 16 1 1 5 5 1 9 由 N ? l ,得 ? m ? ? ? b ,于是 b ? ? m ? ? ? 16 4 16 16 32 32 x0 ?
即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ?

? 9 ? , ? ?? ? 32 ?

15.(2005 辽宁卷)已知椭圆

x2 y2 、 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) a2 b2

F2(c,0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在 线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ?????????3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

由 r1 ? r2 ? 2a, r12 ? r22 ? 4cx, 得 | F1 P |? r1 ? a ?

c x. a

证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 椭圆的左准线方程为 a ?

c x ? 0. a

2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ??????????3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y ). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ??????????7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y ). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? x? , ? 2 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? y ? y? . ? 2 ?

? x ? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
由 | F1Q |? 2a 得 ( x ? ? c) ? y ? ? 4a .
2 2 2





将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ????????7 分
2 2 2

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2, ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |?
2

2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.?????????11 分
c
2 当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x 0 ,? y 0 ), MF2 ? (c ? x 0 ,? y 0 ) , c

由 MF1 ? MF2 ? x 0 ? c ? y 0 ? a ? c ? b ,
2 2 2 2 2 2

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1 MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1 MF2 ? b 2 ,得 tan ?F1 MF2 ? 2. 2

解法二:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2, ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |?

b2 b4 b2 b2 2 . 上式代入③得 x 0 ? a 2 ? 2 ? (a ? )(a ? ) ? 0. c c c c

2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c

当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.?????????11 分
c
2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

2

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan ?F1 MF2 ?| k1 ? k 2 |? 2. ????14 分
1 ? k1 k 2

16. (2005 湖南卷)已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率 a2 b2

为 e. 直线 l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公 共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e ; (Ⅱ)若 ? ?
2

3 ,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程; 4

(Ⅲ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐

? y ? ex ? a, ? x ? ? c, a ? 2 ? 2 2 2 标分别是 (? ,0), (0, a ). 由? x 得? y b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a ). e a e

a ?a ?c ? ? ? ?e e 即? 2 ? b ? ?a ? ?a
分别是 (?

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标

a a a ,0), (0, a ). 设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a ), e e e
因为点 M 在椭圆上,所以
2 2 x0 y0 ? ? 1, a2 b2

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? ? y 0 ? ?a.

a [ (? ? 1)]2 (?a ) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? ? 1 , 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(Ⅱ)当 ? ?

解得 e ? 1 ? ?
2

即? ? 1 ? e 2 .

3 1 时, c ? ,所以 a ? 2c. 4 2
2 2 2

由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c ? 6.

所以 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 3.

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅲ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角 形,必有|PF1|=|F1F2|,即

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2
1 2 , 于是? ? 1 ? e 2 ? . 3 3



1 ? e2 1? e
2

? e.

所以 e 2 ?

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x 0 , y 0 ) ,

1 ? y0 ? 0 ?? ? e ?x ?c 则? 0 ? y 0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. ? 2 ? 2
由|PF1|=|F1F2|得 [

? e2 ? 3 x ? c, ? ? 0 e2 ? 1 解得? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . 0 ? e2 ? 1 ?

(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 2 ? c ] ? [ ] ? 4c 2 , e2 ? 1 e2 ? 1

(e 2 ? 1) 2 1 两边同时除以 4a ,化简得 ? e 2 . 从而 e 2 ? . 2 3 e ?1
2

于是 ?1 ? 1 ? e 2 ?

2 . 3

即当 ? ?

2 时,△PF1F2 为等腰三角形. 3

17. (2005 湖南卷)已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率 a2 b2

为 e. 直线 l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公 共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e ; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐 标
2

a [ (? ? 1)]2 (?a ) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? ? 1 , 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,

解得 e ? 1 ? ?
2

即? ? 1 ? e 2 .

(Ⅱ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角 形,必有|PF1|=|F1F2|,即

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2
1 2 , 于是? ? 1 ? e 2 ? . 3 3



1 ? e2 1 ? e2

? e.

所以 e 2 ?

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x 0 , y 0 ) ,

1 ? y0 ? 0 ?? ? e ?x ?c 则? 0 ? y 0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. ? 2 ? 2
由|PF1|=|F1F2|得 [

? e2 ? 3 x ? c, ? ? 0 e2 ? 1 解得? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . 0 ? e2 ? 1 ?

(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 2 ? c ] ? [ ] ? 4c 2 , e2 ? 1 e2 ? 1

(e 2 ? 1) 2 1 两边同时除以 4a ,化简得 ? e 2 . 从而 e 2 ? . 2 3 e ?1
2

于是 ?1 ? 1 ? e 2 ?

2 . 3

即当 ? ?
2

2 时,△PF1F2 为等腰三角形. 3
2

18.. (2005 湖北卷)设 A、B 是椭圆 3 x ? y ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中 点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由. (I)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3, 代入3 x ? y ? ? ,整
2 2

理得

(k 2 ? 3) x 2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3) 2 ? ? ? 0.



设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则x1 , x 2 是方程 ①的两个不同的根,

? ? ? 4[? (k 2 ? 3) ? 3(k ? 3) 2 ] ? 0
且x1 ? x 2 ?



2k (k ? 3) .由N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 k2 ?3

x1 ? x 2 ? 1,? k (k ? 3) ? k 2 ? 3. 2
解得 k=-1,代入②得, ? >12,即 ? 的取值范围是(12,+ ? ). 于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0. 解法 2:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则有
2 2 ? ?3 x1 ? y1 ? ? , ? 3( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. ? 2 2 ? ?3 x 2 ? y 2 ? ?

依题意, x1 ? x 2 ,? k AB ? ?

3( x1 ? x 2 ) . y1 ? y 2

? N (1,3)是AB的中点,? x1 ? x 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 6, 从而k AB ? ?1. 又由N (1,3)在椭圆内, ? ? 3 ? 12 ? 3 2 ? 12. ? ?的取值范围是(12,??). 直线AB的方程为y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.

? CD垂直平分AB,? 直线CD的方程为y ? 3 ? x ? 1, 即x ? y ? 2 ? 0. (II) 解法 1:
代入椭圆方程,整理得

4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.



又设C ( x3 , y 3 ), D( x 4 , y 4 ), CD的中点为M ( x0 , y 0 ), 则x3 , x 4 是方程 ③的两根,
? x3 ? x 4 ? ?1, 且x0 ? 1 3 即M (? , ). 2 2
于是由弦长公式可得

1 1 3 ( x3 ? x 4 ) ? ? , y 0 ? x 0 ? 2 ? , 2 2 2

1 | CD |? 1 ? (? ) 2 ? | x3 ? x 4 |? 2(? ? 3). k



将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程得

4 x 2 ? 8 x ? 16 ? ? ? 0.
同理可得



| AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x 2 |? 2(? ? 12) .



? 当? ? 12时, 2(? ? 3) ? 2(? ? 12) .,?| AB |?| CD | .
假设在在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到直线 AB 的距离为

d?

| x0 ? y 0 ? 4 | 2

1 3 |? ? ?4| 3 2 ? 2 2 ? . 2 2



于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2 | CD | 故当 ? ? 12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, 为半径的圆上. 2 | MA | 2 ?| MB | 2 ? d 2 ? |
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:

? CD垂直平分AB,? 直线CD方程为y ? 3 ? x ? 1, 代入椭圆方程,整理得
4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.


将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程,整理得

4 x 2 ? 8 x ? 16 ? ? ? 0.
解③和⑤式可得



x1 , 2 ?

2 ? ? ? 12 ?1? ? ? 3 , x 3, 4 ? . 2 2

不妨设 A(1 ? 1 ? ? 12 ,3 ? 1 ? ? 12 ), C ( ? 1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ), D( ? 1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ) 2 2 2 2 2 2 ∴ CA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

DA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

计算可得 CA ? DA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上. 又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、C、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 19. ( 2005 福 建 卷 ) 已 知 方向 向 量 为 v ? (1, 3 ) 的 直 线 l 过 点( 0,?2 3 ) 和 椭 圆

x2 y2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准 a b
线上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在过点 E (-2, 0) 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N, 满足 OM ? ON ?

4 6 cot 3

∠MON≠0(O 为原点).若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. (I)解法一:直线 l : y ?

3x ? 3 3 , ①

过原点垂直 l 的直线方程为 y ? ? 解①②得 x ?

3 x, ② 3

3 . 2

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 3 ? 2 ? ? 3. c 2

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2.
解法二:直线 l : y ?

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. ③ 6 2

3x ? 3 3 .

p ?q ? 3? ?2 3 ? 2 2 设原点关于直线 l 对称点为(p,q) ,则 ? 解得 p=3. ? q ? 3 ? ? ?1. ? p ?

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 ? 3. c

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2.

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. ③ 6 2

(II)解法一:设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ). 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m : y ? k ( x ? 2) 代入③,整理得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0,
? x1 ? x 2 ? ? 12k 2 12k 2 ? 6 , x ? x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
12k 2 2 12k 2 ? 6 2 6 (1 ? k 2 ) ) ? 4 ? ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

| MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2 (?

点 O 到直线 MN 的距离 d ?

| 2k | 1? k 2

? OM ? ON ?

4 4 cos ?MON 6 cot ?MON , 即 | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin ?MON
4 2 4 6 ,? S ?OMN ? 6 .?| MN | ?d ? 6, 3 3 3

?| OM | ? | ON | sin ?MON ?

即4 6 | k | 整理得 k 2 ?

k 2 ?1 ?

4 6 (3k 2 ? 1). 3

1 3 ,? k ? ? . 3 3
2 6. 3

当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S ?OMN ? 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 x? , 3 3

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 2 3 x? , 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0 .所以所求直线方程为 y ?

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2. 3 3

解法三:设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ). 设直线 m : x ? ty ? 2 ,代入③,整理得 (t ? 3) y ? 4ty ? 2 ? 0.
2 2

? y1 ? y 2 ?

4t ?2 , y1 y 2 ? 2 , t ?3 t ?3
2

| y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? (
? OM ? ON ?

4t 2 8 ) ? 2 ? 2 t ?3 t ?3

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2

4 4 cos ?MON 6 cot ?MON , 即 | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin ?MON
4 2 6 ,? S ?OMN ? 6. 3 3

?| OM | ? | ON | sin ?MON ?

S ?OMN ? S ?OEM ? S ?OEN

1 ? | OE | ? | y1 ? y 2 |? 2

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2



24t 2 ? 24 2 = 6 ,整理得 t 4 ? 3t 2 . 2 2 3 (t ? 3)

解得 t ? ? 3 , 或 t ? 0. 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? ,或y ? ? x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0. 所以所求直线方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? ,或y ? ? x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 3

20.(2005 北京卷)如图,直线 l1:y=kx(k>0)与直线 l2:y=-kx 之间的阴影区域(不 含边界)记为 W,其左半部分记为 W1,右半部分记为 W2.

(I)分别用不等式组表示 W1 和 W2; (II)若区域 W 中的动点 P(x,y)到 l1,l2 的距离之积等于 d ,求点 P 的轨迹 C 的方程; (III)设不过原点 O 的直线 l 与(II)中的曲线 C 相交于 M1,M2 两点,且与 l1,l2 分别 交于 M3,M4 两点.求证△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重合.
2

(III)当直线 l 与 x 轴垂直时,可设直线 l 的方程为 x=a(a≠0) .由于直线 l,曲线 C 关于 x 轴对称, 且 l1 与 l2 关于 x 轴对称, 于是 M1M2, M3M4 的中点坐标都为 (a, 0) , 所以△OM1M2, △OM3M4 的重心坐标都为(

2 a,0) ,即它们的重心重合, 3

当直线 l1 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=mx+n(n≠0) .

?k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 2 2 2 2 2 2 2 由? ,得 (k ? m ) x ? 2mnx ? n ? k d ? d ? 0 y ? mx ? n ?
由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,可知 k -m ≠0 且 △= (2mn) ? 4( k ? m ) ? ( n ? k d ? d ) >0
2 2 2 2 2 2 2
2 2

设 M1,M2 的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2), 则 x1 ? x2 ?

2mn , y1 ? y2 ? m( x1 ? x2 ) ? 2n , k ? m2
2

设 M3,M4 的坐标分别为(x3, y3),(x4, y4), 由?

? y ? kx ? y ? ?kx n ?n 及? 得 x3 ? , x4 ? k ?m k ?m ? y ? mx ? n ? y ? mx ? n
2mn ? x1 ? x2 , k ? m2
2

从而 x3 ? x4 ?

所以 y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2, 于是△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心也重合.

(21) (2005 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x 上异于坐标原点O的两不同
2

动点A、B满足 AO ? BO (如图4所示) . (Ⅰ)求 ?AOB 得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. y A B

x O

当且仅当 x1 ? x 2 即 x1 ? ? x 2 ? ?1 时,等号成立。
6 6

所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1;


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