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高中数学人教版必修1课件:2.1.2 第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)_图文

第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课) 1.指数函数的定义是什么? 略 2.指数函数的定义域和值域分别是什么? 略 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)图象的位置与底数a之间有什 么关系? 略 4.指数函数的单调性与底数之间有什么关系? 略 利用指数函数的单调性比较大小 [例1] (1)设y1=4 ,y2=8 0.9 0.48 ?1?- ,y3=?2? 1.5,则 ? ? ( ) A.y3>y1>y2 C.y1>y3>y2 B.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3 (2)比较下列各题中两个值的大小: ?5?- ?5?- ?2?- ?3?- 1.8 2.5 0.5 ①?7? ,?7? ;②?3? ,?4? 0.5; ? ? ? ? ? ? ? ? ③0.20.3,0.30.2. [解 ] (1)选 C y1=4 =2 ,y2=8 0.9 1.8 0.48 =2 1.44 ?1?- ,y3=?2? 1.5=21.5, ? ? ∵y=2x 是增函数,1.8>1.5>1.44,∴y1>y3>y2,故选 C. ?5? 5 (2)①因为 0< <1, 所以函数 y=?7?x 在其定义域 R 上单调递减, 7 ? ? ?5?- ? ? 1.8 5 -2.5 又因为-1.8>-2.5,所以?7? <?7? . ? ? ? ? ② 在同一平面直角坐标系中画出指数函 数 ?2? y=?3?x 与 ? ? ?3? y=?4?x 的图象,如图所示.当 ? ? x =-0.5 ?2?- ? ? 0.5 3 -0.5 时,由图象观察可得?3? >?4? . ? ? ? ? ③因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义 域R上均是减函数,且在区间(0,+∞)上函数y=0.2x的图象在 函数y=0.3x的图象的下方,所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2, 所以0.20.3<0.30.2. [类题通法] 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同:利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数相同:利用指数函数的图象解决.在同 一平面直角坐标系中画出各个函数的图象,依据底数a对指数函 数图象的影响,按照逆时针方向观察,底数在逐渐增大,然后 观察指数所取值对应的函数值即可. (3)底数不同、指数也不同:采用介值法(中间量法).取中 间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或者以其中一个指数式 的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如,要比较 ac与bd的大小,可取ad为中间量,ac与ad利用函数的单调性比较 大小,bd与ad利用函数的图象比较大小. [活学活用] 比较下列各题中两个值的大小: (1)3-1.8,3-2.5;(2)7-0.5,8-0.5;(3)6-0.8,70.7. 解:(1)因为3>1,所以函数y=3x在定义域R上单调递增,又因 为-1.8>-2.5,所以3-1.8>3-2.5. (2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响,画出函数y=7x 与y=8x的图象(图略),可得7-0.5>8-0.5. (3)因为1<6<7,所以指数函数y=6x与函数y=7x在定义域R上 是增函数,且6-0.8<1,70.7>1,所以6-0.8<70.7. 解简单的指数不等式 [例2] (1)已知3x≥30.5,求实数x的取值范围. (2)已知0.2x<25,求实数x的取值范围. [解 ] (1)因为3>1, 所以指数函数f(x)=3x在R上是增函数. 由3x≥30.5,可得x≥0.5, 即x的取值范围为[0.5,+∞). (2)因为0<0.2<1,所以指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数. ?1?- 又因为25=?5? 2=0.2-2,所以0.2x<0.2-2,则x>-2, ? ? 即x的取值范围为(-2,+∞). [类题通法] 解指数不等式应注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如 果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; (2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的 形式,再借助于函数y=ax的单调性求解. [活学活用] 已知a-5x>ax+7(a>0,且a≠1),求x的取值范围. 解:①当a>1时,∵a-5x>ax+7, 7 ∴-5x>x+7,解得x<- . 6 ②当0<a<1时,∵a-5x>ax+7, 7 ∴-5x<x+7,解得x>- . 6 ? 7? 综上所述,当a>1时,x∈?-∞,-6?; ? ? ? 7 ? 当0<a<1时,x∈?-6,+∞?. ? ? 指数函数性质的综合应用 [例3] 已知函数f(x)=2 +2 x ax+b 5 17 ,且f(1)= ,f(2)= . 2 4 (1)求a,b的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)判断并证明函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并求f(x)的 值域. [解 ] 5 ? ?f?1?=2, (1)∵? ?f?2?=17, 4 ? 5 ? a+b ?f?1?=2+2 =2, ∴根据题意得? ?f?2?=22+22a+b=17, 4 ? ? ?a=-1, 解得? ? ?b=0. 故a,b的值分别为-1,0. (2)由(1)知f(x)=2x+2-x,f(x)的定义域为R,关于原点对称. 因为f(-x)=2 x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数. - [类题通法] 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单 调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函 数的单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单调 性的定义. (2)指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函 数可以具有奇偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的