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1.2.1任意角的三角函数的定义 (第二课时)


三角 1.2.1 任意角的三角函数的定义 三角 三 角
三角

P(x,y) ?

任意角三角函数终边坐标定义:
设角? 的终边上的任意一点P(x,y),点 P 到原点 的距离为 r.

x

O

x x 比值 叫做角? 的余弦.记作 cos ? ? r r y y 比值 叫做角? 的正弦.记作 sin ? ? r r y y 比值 叫做角? 的正切.记作 tan ? ? x x

任意角的三角函数单位圆定义法
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ?,即 (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 y (3) 叫做? 的正切,记作 tan ?,即
x
y

sin ? ? y ;

cos ? ? x ;

y tan ? ? ( x ? 0) x

﹒ P?x, y ?
?
O
A?1,0? x

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边

y

说 明

P( x, y )
?

x
A(1,0)

o (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值.

(2) 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0,tan ? ?

y ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,

三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

三角函数的定义域

三角函数

定义域
R R ? {? | ? ? R且? ? ? k? , k ? Z }
2

sin? cos ? tan ?

已知角终边上一点计算三角函数值的步骤:
S1 画角 S2 找点 在直角坐标系中,作角 ? ; 在角的终边上任找一点P(x,y)(不一定是与单位圆 根据三角函数终边定义法,求出角 ? 的三角函数

上的交点,一定不是顶点),求r=? OP ?; S3 求值

值.

y sin ? = ; r cos ? = x ; r y . tan ? = x

P(x,y)

?
O

x

例 1 已知角 ? 终边经过点 P(2,-3)如图, 求角? 的三个三角函数值. 解 已知点 P(2, -3),则 y

r ? OP ? 2 ? ?? 3? ? 13. 
2 2

O

x
P(2,-3)

y ?3 3 13 sin ? ? ? ?? ;  r 13 13 x 2 2 13 cos ? ? ? ? ; r 13 13 y 3 tan ? ? ? ? . x 2

练习 1、已知角 求

?

的终边过点

P?? 12,5? ,

?

的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 52 ? 13

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

例 2 试确定三角函数在各象限的符号. 解 由三角函数的定义可知,

sin ? =

与角 ? 的正弦值同号;

y ,角 ? 终边上点的纵坐标 y 的正、负 r

cos ? = x ,角 ? 终边上点的横坐标 x 的正、负
与角 ? 的余弦值同号; tan ? =

r

y ,则当 x 与 y 同号时,正切值为正, x

当 x 与 y 异号时,正切值为负.

三角函数在各象限的符号如下图所示:
y y y

+
o

+
x
sin ?

-

+
o

x

+
o

-

+

+

-

x

cos ?

tan ?

记忆口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦

例 确定下列各三角函数值的符号:

π 4π . (1) sin(? ) ; (2) cos130? ; (3) tan 4 3

π π 解 (1) 因为 ? 是第四象限角, 所以 sin(? ) <0. 4 4
(2) 因为 130? 是第二象限角, 所以 cos 130? <0.

4π 4π >0. (3) 因为 是第三象限角, 所以 tan 3 3

例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,
角 ? 为第三象限角.
证明: 因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

?sin ? ? 0 ? ? tan ? ? 0

① ②

判断下列三角函数值的符号:
0

3? (1) cos 250 ; (2)sin( ? ) ; 4 (3) tan(?6720 ) ; (4) tan 3? .

例 求下列三角函数值:

9? (1) cos 4

11? ) (2) tan( ? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3

3

31? tan( ? )? 4

1

本节课所学知识点:
1.任意角三角函数的定义(代数表示).

2.任意角三角函数值的符号(记住口诀).
3.诱导公式一 (记住公式)

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?到360?? 角的三角函数值 .


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