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2015年高三第一轮复习方程的根与函数的零点能力强化提升


方程的根与函数的零点能力强化提升
一、选择题 1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )

2.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)·f(b)<0 则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上( A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 3.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x、f(x)对应值表:

)

x f(x)

1 123.56

2 21.45 )

3 -7.82

4 11.57

5 -53.76

6 -126.49

函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

4.对于函数 f(x)=x +mx+n,若 f(a)>0,f(b)>0,则 f(x)在(a,b)为( A.一定有零点 B.可能有两个零点 C.一定有没有零点 D.至少有一个零点 5.下列函数中,在[1,2]上有零点的是(
2 3

2

)

) D.f(x)=e +3x-6 )
x

A.f(x)=3x -4x+5 B.f(x)=x -5x-5 C.f(x)=lnx-3x+6

6.函数 f(x)为偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为( A.4 B.2 C.1 D.0

7.若函数 f(x)=x -ax+b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx -ax-1 的零点是( 1 1 A.-1 和 B.1 和- 6 6 1 1 C. 和 2 3 1 1 D.- 和- 2 3
2

2

2

)

? ?x +2x-3,x≤0 8.(2010·福建理,4)函数 f(x)=? ?-2+lnx,x>0 ?

的零点个数为(

)

A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 9.已知函数 f(x)在定义域 R 上的图象如图所示,则函数 f(x)在区间 R 上有________个零点. 10.方程 10 +x-2=0 解的个数为________. 11.已知函数 f(x)=3mx-4,若在[-2,0]上存在 x0,使 f(x0)=0,则 m 的取值范围是______________. 12.函数 f(x)=ax +2ax+c(a≠0)的一个零点为 1,则它的另一个零点是____________. 三、解答题 13.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表:
2

x

x f(x) x f(x)

1 136.136 4 10.88

2 15.552 5 -52.488

3 -3.92 6 -232.064

求函数 f(x)含有零点的区间. 14.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-8x +7x+1;(2)f(x)=x +x+2;(3)f(x)=
2 2

x2+4x-12 x+1 ;(4)f(x)=3 -7;(5)f(x)=log5(2x-3). x-2

1 2 15.若函数 f(x)=x +(2a-1)x+1-2a 在(-1,0)及(0, )内各有一个零点,求实数 a 的范围. 2

16.已知函数 f(x)=2 -x ,问方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内是否有解,为什么?

x

2

1.[答案] A 2.[答案] D 3.[答案] B 4.[答案] B[解析] 若 f(x)的图象如图所示否定 C、D 若 f(x)的图象与 x 轴无交点,满足 f(a)>0,f(b)>0,则否定 A,故选 B. 5. D[解析] A:3x -4x+5=0 的判别式 Δ <0,∴此方程无实数根,∴f(x)=3x -4x+5 在[1,2]上无零点. B:由 f(x)=x -5x-5=0 得 x =5x+5.在同一坐标系中画出 y=x ,x∈[1,2]与 y=5x+5,x∈[1,2]的图象,如 图 1,两个图象没有交点.∴f(x)=0 在[1,2]上无零点. C:由 f(x)=0 得 lnx=3x-6,在同一坐标系中画出 y=lnx 与 y=3x-6 的图象, 如图 2 所示, 由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点, 因而方程 f(x) =0 在[1,2]内没有零点. D:∵f(1)=e+3×1-6=e-3<0,f(2)=e >0,∴f(1)·f(2)<0.∴f(x) 在[1,2]内有零点. 6.[答案] D 7. 1 2 2 B[解析] 由于 f(x)=x -ax+b 有两个零点 2 和 3,∴a=5,b=6.∴g(x)=6x -5x-1 有两个零点 1 和- . 6
2 2 3 3 3 2 2

8.[答案] C[解析] 令 x +2x-3=0,∴x=-3 或 1;∵x≤0,∴x=-3;令-2+lnx=0,∴lnx=2, ∴x=e >0,故函数 f(x)有两个零点. 9.[答案] 3 10.[答案] 1[解析] 画函数 y=10 与 y=2-x 的图象,只有一个交点,故方程只有一解. 2 11.[答案] (-∞,- ][解析] ∵f(x)在[-2,0]上存在 x0,使 f(x0)=0,∴(-6m-4)(- 3
x
2

2 2 4)≤0,解得 m≤- .∴实数 m 的取值范围是(-∞,- ]. 3 3 12.[答案] -3[解析] 设另一个零点为 x1,则 x1+1=-2,∴x1=-3. 13.[解析] 由表格知 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,故零点分布的区间应是(2,3),(3,4),(4,5). 1 2 14.[解析] (1)因为 f(x)=-8x +7x+1=-(8x+1)(x-1),令 f(x)=0,解得 x=- 或 x=1,所以函数的零点 8 1 为- 和 1. 8 (2)令 x +x+2=0,因为 Δ =(-1) -4×1×2=-7<0,所以方程无实数根,所以 f(x)=x +x+2 不存在零点.
2 2 2

x2+4x-12 x+6 x-2 x+6 x-2 (3)因为 f(x)= = ,令 =0,解得 x=-6,所以函数的零点为-6. x-2 x-2 x-2
(4)令 3
x+1

7 7 -7=0,解得 x=log3 ,所以函数的零点为 log3 . 3 3

(5)令 log5(2x-3)=0,解得 x=2,所以函数的零点为 2.

f ? ? f 1 15.[解由 y=f(x)在(-1,0)及(0, )各有一个零点,只需? 2 ? ?f

-1 >0 0 <0 1 2 >0

3-4a>0 ? ?1-2a<0 即? 3 ? ?4-a>0

1 3 ,解得 <a< . 2 4

1 -1 2 0 2 x 2 16.[解析] 因为 f(-1)=2 -(-1) =- <0,f(0)=2 -0 =1>0,而函数 f(x)=2 -x 的图象是连续曲线,所 2 以 f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内有解.

用二分法求方程的近似解能力强化提升
一、选择题 1.如下四个函数的图象,适合用二分法求零点的是( )

2.在用二分法求函数 f(x)在区间(a,b)上的唯一零点 x0 的过程中,取区间(a,b)上的中点 c= 则函数 f(x)在区间(a,b)上的唯一零点 x0( )

a +b
2

,若 f(c)=0,

A.在区间(a,c)内 B.在区间(c,b)内 C.在区间(a,c)或(c,d)内 D.等于 3.已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的,x,f(x)对应值表如下:

a+b
2

x f(x)

1 12.04

2 13.89 )

3 -7.67

4 10.89

5 -34.76

6 -44.67

则函数 y=f(x)存在零点的区间有(

A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]和[4,5]和[5,6]

4.f(x)=x -15,下列结论中正确的有(

4

)

①f(x)=0 在(1,2)内有一实根;②f(x)=0 在(-2,-1)内有一实根;③没有大于 2 的零点;④f(x)=0 没有小于 -2 的根;⑤f(x)=0 有四个实根. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 )次后,所得近似值的精确度

5.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,将此区间分( 可达到 0.1( )A.2 B.3 C.4 D.5

6.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε (ε 为精确度)时,函数 零点近似值 x0= A. ε 4 ε B. 2

a+b
2

与真实零点的误差最大不超过( D.2ε
x

)

C.ε

7.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4 +2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可以是( A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)
2

)

1 x C.f(x)=e -1 D.f(x)=ln(x- ) 2

8.某农贸市场出售的西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下两表: 市场供给表 单价(元/kg) 供给量(1000kg) 2 50 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90

单价(元/kg) 需求量(1000kg)

4 50

3.4 60

2.9 65

2.6 70

2.3 75

2 80 )

据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( A.(2,3,2.6) B.(2,4,2.6)C.(2,6,2.8) 二、填空题 9.若函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:
3 2

D.(2,4,2.8)

f(1)=-2 f(1.375)≈
-0.260
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.4375)≈
0.162

f(1.25)≈-0.984 f(1.46025)≈
-0.054

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似的正数根(精确度 0.1)为________.

10.已知二次函数 f(x)=x -x-6 在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且 f(1)=-6<0,f(4)=6>0,由零 点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点,用二分法求解时,取(1,4)的中点 a,则 f(a)=________.

2

11.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点 x0=2.5,那么下一个有根区间是 ______________.

3

12.用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]内的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即可得

出方程的一个近似解为________(精确度 0.1). 三、解答题 13.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度 0.01) 的近似值,求区间(0,0.1)等分的至少次数.

14.求证:方程 x -3x+1=0 的根一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(0,1)内,另一个在区间(1,2)内.

3

15.求方程 2x +3x-3=0 的一个近似解(精确度 0.1).

3

16. 方程 x +x-3=0 有多少个实数解?你能证明自己的结论吗?如果方程有解, 请求出它的近似解(精确到 0.1).

5

1.[解析] 选项 A,B 不符合在零点两边函数值符号相异,不适宜用二分法求解;选项 C 中,零点左侧没有函数值, 无法确定初始区间,只有 D 中的零点满足图象连续不断 且符号相异,能用二分法.故选 D. 2.[答案] D 3.[答案] C 4.[答案] C

5.[解析] 等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次,区间长度变为 0.5,?,等分 4 次,区间长度变为 0.125,等分 5 次,区间长度为 0.0625<0.1,符合题意,故选 D. 6.B[解析] 真实零点离近似值 x0 最远即靠近 a 或 b,而 b-

a+b a+b
2 = 2

-a=

b-a ε
2 =

ε ,因此误差最大不超过 . 2 2

1 1 2 x 7. [解析] f(x)=4x-1 的零点为 ,f(x)=(x-1) 的零点为 1,f(x)=e -1 的零点为 0,f(x)=ln(x- )的零 4 2 3 1 1 x 点为 .现在我们来估算 g(x)=4 +2x-2 的零点 x0,因为 g(0)=-1,g( )=1,所以 g(x)的零点,x0∈(0, ).又函 2 2 2 数 f(x)的零点与 g(x)=4 +2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f(x)=4x-1 的零点适合.[答案] A 8.[解析] 供给量为 70 时单价为 2.8 元/kg,需求量为 70 时,单价为 2.6 元/kg,从市场供给表和需求表观察, 市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8).故选 C. 9.[ 答 案 ] 1.4375( 或 1.375)[ 解 析 ] 由 于 精 确 度 是 0.1 , 而 |1.4375 - 1.375| = 0.0625<0.1 , 故 取 区 间
x

(1.375,1.4375)端点值 1.375 或 1.4375 作为方程近似解. 10.[答案] -2.25[解析] 由(1,4)的中点为 2.5,得 f(2.5)=2.5 -2.5-6=-2.25. 11.[答案] (2,2.5)[解析] 12.[答案] ∵f(2)<0,f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5). 因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以区间[0.6875,0.75]内的任何一
2

0.75(答案不唯一)[解析]

个值都可作为方程的近似解. 0.1 n 13.解析] 依题意 n <0.01,得 2 >10.故 n 的最小值为 4. 2 14.[解析] 证明:令 F(x)=x -3x+1,它的图象一定是连续的,又 F(-2)=-8+6+1=-1<0,F(-1)=-1
3

+3+1=3>0,∴方程 x -3x+1=0 的一根在区间(-2,-1)内.同理可以验证 F(0)F(1)=1×(-1)=-1<0,

3

F(1)F(2)=(-1)×3=-3<0,∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内.
15.[解析] 设 f(x)=2x +3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以函数在(0,1)内存在零点,即方程 2x
3 3 3

+3x-3=0 在(0,1)内有实数根. 取(0,1)的中点 0.5, 经计算 f(0.5)<0, 又 f(1)>0, 所以方程 2x +3x-3=0 在(0.5,1) 内有实数根.如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如下表: (a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (a,b) 的 中点 0.5 0.75 0.625 0.6875

f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625)<0
3

f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75)>0 f(0.75)>0

f(

a+b
2

)

f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.6875)<0

因为|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,所以方程 2x +3x-3=0 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 0.75. 16.[解析] 考查函数 f(x)=x +x-3,∵f(1)=-1<0,f(2)=31>0,∴函数 f(x)=x +x-3 在区间(1,2)有一个 零点 x0.∵函数 f(x)=x +x-3 在(-∞,+∞)上是增函数(证明略),∴方程 x +x-3=0 在区间(1,2)内有唯一的实 数解.取区间(1,2)的 中点 x1=1.5,用计算器算得 f(1.5)≈6.09>0,∴x0∈(1,1.5).同理,可得 x0∈(1,1.25),x0 ∈(1.125,1.25),x0∈(1.125,1.1875),x0∈(1.125,1.156 25),x0∈(1.125,1.1406 25). 由于|1.1406 25-1.125|<0.1,此时区间(1.125,1.1406 25)的两个端点精确到 0.1 的近似值都是 1.1.
5 5 5 5

几类不同增长的函数模型能力强化提升
一、选择题 1.函数 y1=2 与 y2=x ,当 x>0 时,图象的交点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ) 1 x D.y= ·e 100 000
x
2

)

2.下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( A.y=50(x∈Z) B.y=1 000x C.y=0.4·2
x-1

3.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个,??现有 2 个这样的细胞,分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为( A.y=2
x+1

) C.y=2
x

B.y=2

x-1

D.y=2x

4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立 恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 )

5.如果寄信时的收费方式如下:每封信不超过 20 g 付邮费 0.80 元,超过 20 g 而不超过 40 g 付邮费 1.60 元, 依此类推,每增加 20 g 需增加邮 0.80 元(信的质量在 100 g 以内).某人所寄一封信的质量为 72.5 g,那么他应付邮 费( )A.3.20 元 B.2.90 元 C.2.80 元 D.2.40 元

6.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为

C(x)= x2+2x+20(单位: 万元). 已知 1 万件售价是 20 万元, 为获取更大利润, 该企业一个月应生产该商品数量为(
A.36 万件 B.18 万件 C.22 万件 D.9 万件

1 2

)

7.在某种金属材料的耐高温实验中,温度 y(℃)随着时间 t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示: 现给出下列说法:( )

①前 5 分钟温度增加越来越快;②前 5 分钟温度增加越来越慢; ③5 分钟后温度保持匀速增加;④5 分钟后温度保持不变. A.①④ B.②④ C.②③ D.①③

8.已知某食品厂生产 100 g 饼干的总费用为 1.80 元,现该食品厂对饼干采用两种包装,其包装费及售价如表所示: 型号 质量 包装费 售价 下列说法中,正确的是( ) 小包装 100 g 0.5 元 3.00 元 大包装 300 g 0.8 元 8.40 元

①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖 3 包小包装比卖 1 包大包装盈利多 ④卖 1 包大包装比卖 3 包小包装盈 利多.A.①④ B.①③ C.②③ D.②④
2

9.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x +1,乙:y=3x-1,若又测 得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型. 10.某食品加工厂生产总值的月平均增长率为 p,则年平均增长率为________.

11.以下是三个变量 y1,y2,y3 随变量 x 变化的函数值表:

x y1 y2 y3

1 2 1 0

2 4 4 1

3 8 9 1.585

4 16 16 2

5 32 25 2.322

6 64 36 2.585

7 128 49 2.807

8 256 64 3

? ? ? ?

其中,关于 x 呈指数函数变化的函数是________. 12.若 a>1,n>0,那么当 x 足够大时,a ,x ,logax 的大小关系是________________. 三、解答题 13.甲、乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到如 下两图.甲调查表明:每个鱼池平均产量直线上升,从第 1 年 1 万条鳗鱼上升到第 6 年 2 万条. 乙调查表明:全县鱼池总个数直线下降,由第 1 年 30 个减少到第 6 个 10 个.请你根据提供的信息说明:(1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数;(2)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由.
x n

14.试比较函数 y=x ,y=e ,y=lgx 的增长差异.

200

x

15.某学校为了实现 100 万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到 5 万元 时,按生源利润进行奖励,且奖金 y 随生源利润 x 的增加而增加,但奖金总数不超过 3 万元,同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02 ,其中哪个模型符合该校的要求?
x

16.函数 f(x)=1.1 ,g(x)=lnx+1,h(x)=x

x

1 2

的图象如下图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三

个函数的增长差异(以 1,e,a,b,c,d 为分界点).

1.[答案] C 2.[答案] D[解析] 指数函数增长速度最快,且 e>2,因而 e 增长最快. 3.[答案] A[解析] y=2×2 =2
x x+1 x

.

4.[答案] D[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案. 5.[答案] A[解析] 由题意,得 20×3<72.5<20×4,则他应付邮费为 0.80×4=3.20(元). 1 2 6.[答案] B[解析] 利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18) +142,当 x=18 时,L(x)有最大值. 2 7.[答案] C[解析] 前 5 分钟,温度 y 随 x 增加而增加,增长速度越来越慢; 5 分钟后,温度 y 随 x 的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故说法②③正确. 100 300 100 8.[答案] D[解析] 小包装平均每元可买饼干 3 克,大包装平均每元可买饼干 8.4 > 3 克,因此买大包装实惠.卖 3 包小包装可盈利 2.1 元,卖 1 包大包装可盈利 2.2 元,因此卖 3 包小包装比卖 1 包大包装盈利少. 9.[答案] 甲 10.[答案] (1+p) -1 11.[答案] y1[解析] 从表格可以看出,三个变量 y1,y2,y3 都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y1 的 增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量 y1 呈指数函数变化,故填 y1. 12.[答案] a >x >logax 13.[解析] (1)由题意,得图 1 中的直线经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为 y1=0.2x+0.8,图 2 中的 直线经过(1,30)和(6,10)两点.从而求得其解析式为 y2=-4x+34.则当 x=2 时,y1=0.2×2+0.8=1.2,y2=-4×2
x n
12

+34=26,y1×y2=1.2×26=31.2,所以第 2 年全县有鱼池 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万条. (2)设当第 m 年时, 出产量为 n, 那么 n=y1·y2=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m +3.6m+27.2=-0.8(m -4.5m -34)=-0.8(m-2.25) +31.25,所以当 m=2 时,n 有最大值为 31.2,即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大 产量为 31.2 万条. 14.[解析] 增长最慢的是 y=lgx,由图象(图略)可知随着 x 的增大,它几乎平行于 x 轴;当 x 较小时,y=x 要比 y=e 增长得快;当 x 较大(如 x>1 000)时,y=e 要比 y=x 增长得快. 15.[解析] 借助工具作出函数 y=3, y=0.2x, y=log5x, y=1.02 的图象(图略). 观察图象可知, 在区间[5,100] 上,y=0.2x,y=1.02 的图象都有一部分在直线 y=3 的上方,只有 y=log5x 的图象始终在 y=3 和 y=0.2x 的下方, 这说明只有按模型 y=log5x 进行奖励才符合学校的要求. 16.[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 C1 对应的函数是 f(x)=1.1 ,曲线 C2 对应的函 1 2
x x x x x
200 200 2 2 2

数是 h(x)=x

,曲线 C3 对应的函数是 g(x)=lnx+1.

由题图知,当 x<1 时,f(x)>h(x)>g(x);当 1<x<e 时,f(x)>g(x)>h(x);当 e<x<a 时,g(x)>f(x)>h(x); 当 a<x<b 时,g(x)>h(x)>f(x);当 b<x<c 时,h(x)>g(x)>f(x);当 c<x<d 时,h(x)>f(x)>g(x); 当 x>d 时,f(x)>h(x)>g(x). 2

函数模型的应用实例能力强化提升
一、选择题 1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y 公顷关于年数 x 的函数关系较为近似的是( 1 2 2 A.y=0.2x B.y= (x +2x) C.y= 10 10
x

)

D.y=0.2+log16x

2.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,原来按成本价出售,由于市场销售发生变化,甲产品连续两次提价, 每次提价都是 20%;同时乙产品连续两次降价,每次降价都是 20%,结果都以 92.16 元出售,此时厂家同时出售甲、乙 产品各一件,盈亏的情况是( )

A.不亏不盈 B.赚 23.68 元 C.赚 47.32 元 D.亏 23.68 元 3 3.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留的污垢不超过 1%,则至少要洗的次数是( 4 A.3 B.4 C.5 D.6 4.某种产品市场销量情况如图所示,其中:l1 表示产品各年产量的变化规律;l2 表示产品各年的销售情况,下列 叙述: ①产品产量、销量均以直线上升,仍可按原生产计划进行;②产品已经出现了供大于 求的情况,价格将下跌;③产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销量; ④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加.你认为较合理的是( A.①②③ B.①③④ C.②④ D.②③ 5.已知 A、B 两地相距 150 km,某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留一小时后再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t 的函数,表达式是( ) ) )

A.x=60t

B.x=60t+50

? ?60t 0≤t≤2.5 C.x=? ?150-50t t>2.5 ?

150 2.5<t≤3.5 ? ? D.x=?150-50 t-3.5 ? ?60t 0≤t≤2.5

3.5<t≤6.5

6.“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过 800 元,免征个人所 得税,超过 800 元部分需征税,设全月纳税所得额为 x,x=全月总收入-800 元,税率见下表: 级数 1 2 3 ? 9 全月纳税所得额 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2 000 元部分 超过 2 000 元至 5 000 元部分 ? 超过 10 000 元部分 ) 税率 5% 10% 15% ? 45%

某人一月份应缴纳此项税款 26.78 元,则他当月工资总收入介于( A.800~900 元 B.900~1 200 元 C.1 200~1 500 元

D.1 500~2 600 元

7.某店从水果批发市场购得椰子两筐,连同运费总共花了 300 元,回来后发现有 12 个是坏的,不能将它们出售, 余下的椰子按高出成本价 1 元/个售出,售完后共赚 78 元.则这两筐椰子原来的总个数为( A.180 B.160 C.140 D.120 )

8.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况,一种是即时价格曲线 y=f(x),另一种是平均价格 曲线 y=g(x),如 f(2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元;g(2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元, 下面给出了四个图象,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中正确的是( )

二、填空题 9.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x +1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y) 的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好.
2

10.长为 4、宽为 3 的矩形,当长增加 x,且宽减少 时面积最大,此时 x=________,最大面积 S=________. 2

x

11.某养鱼场,第一年鱼的重量增长率为 200%,以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半,问经过四年鱼的重 量是原来的________倍.

12.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函 1 t-a 数关系为 y=( ) (a 为常数)其图象如图.根据图中提供的信息,回答问题: 16 (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)之间的关系式为 ________. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降到 0.25mg 以下时,学生才可进入教室,那么从药物释放开始至少经过 ______小时,学生才能回到教室.

三、解答题 13.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为 ycm,椅子 的高度为 xcm,则 y 应是 x 的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度: 第一套 椅子高度 x(cm) 桌子高度 y(cm) (1)请你确定 y 与 x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围). (2)现有一把高 42.0cm 的椅子和一张高 78.2cm 的课桌,它们是否配套?为什么? 40.0 75.0 第二套 37.0 70.2

14.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元/10 kg)与上市时间 t(单 位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 50 150 110 108 250 150

2

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系.

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

15.某工厂现有甲种原料 360 kg,乙种原料 290 kg,计划利用这些原料生产 A、B 两种产品共 50 件,已知生产一 件 A 种产品,需用甲种原料 9 kg,乙种原料 3 kg,可获利润 700 元.生产一件 B 种产品,需用甲种原料 4 kg,乙种原 料 10 kg,可获利润 1200 元. (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请设计出来. (2)设生产 A、B 两种产品获总利润为 y 元,其中一种的生产件数为 x,试写出 y 与 x 之间的函数关系式,并利用函 数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少? [分析] 设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(50-x)件,据题意:生产两种产品所用甲种原料不超过 360 kg, 所用乙种原料不超过 290 kg 即可.

16.某企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1;B 产品的利 润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润和投资单位:万元).

(1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式. (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A,B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

1. [解析] 当 x=1 时,否定 B,当 x=2 时,否定 D,当 x=3 时,否定 A,故选 C. 2.[答案] D[解析] 设甲、乙产品原来每件分别为 x 元、y 元,则 x(1+20%) =92.16,y(1-20%) =92.16,∴x =64,y=144,64+144-92.16×2=23.68. 3 n 1 1 n 3.[答案] B[解析] 设至少需要清洗 n 次,由已知得(1- ) ≤1%即 n≤ .∴4 ≥100 ∴n≥4,故选 B. 4 4 100 4.[答案] D 150 150 5.[答案] D[解析] 从 A 地到 B 地的来回时间分别为: =2.5, =3, 60 50 60t 0≤t≤2.5 ? ? 2.5<x≤3.5 x=?150 ? ?150-50 t-3.5
2 2

故选 D. 3.5<t≤6.5

6.[解析] 解法 1:(估算法)由 500×5%=25 元,100×10%=10 元,故某人当月工资应在 1 300~1 400 元之间, 故选 C.解法 2:(逆推验证法)设某人当月工资为 1 200 元或 1 500 元,则其应纳税款分别为 400×5%=20 元,500×5% +200×10%=45 元.可排除 A,B,D,故选 C. 7.[答案] D[解析] 设原来两筐椰子的总个数为 x,成本价为 a 元/个,则?
? ? ? ?x=120 ?a=2.5 ? ?ax=300 ?

a+1

x-12 =300+78



解得?

,故这两筐椰子原来共有 120 个.

8.[解析] 即时价格若一直下跌,则平均价格也应该一直下跌,故排除 A、D;即时价格若一路上升,则平均价格 也应一直上升,排除 B.(也可以由 x 从 0 开始增大时,f(x)与 g(x)应在 y 轴上有相同起点,排除 A、D),故选 C. 9.[答案] 甲[解析] 代入 x=3,可得甲 y=10,乙,y=8.显然选用甲作为拟合模型较好. 10.[答案] 1 25 x 25 1 25 ? x? 2 [解析] S=(4+x)?3- ?=- +x+12= - (x-1) ,当 x=1 时,Smax= . 2 2 2 2 2 ? 2?
2

45 a 4 45 45 11.[解析] 设原来鱼重 a,四年后鱼重为 a(1+200%)(1+100%)(1+50%)(1+25%)= a, = . 4 a 4

[答案] (1)y=

(2)0.6

1 1 t-a 1 12.[解析] (1)设 0≤t≤ 时,y=kt,将(0.1,1)代入得 k=10,又将(0.1,1)代入 y=( ) 中,得 a= , 10 16 10

∴y=

.

1 1 (2)令( )t- ≤0.25 得 t≥0.6,∴t 的最小值为 0.6. 16 10

13.[解析] (1)根据题意,课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可设函数关系式为 y=kx+b.
?40k+b=75, ? 将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式,得? ?37k+b=70.2, ?

∴?

?k=1.6, ? ?b=11. ?

∴y 与 x 的函数关系式是 y=1.6x+11. (2)把 x=42 代入上述函数关系式中,有 y=1.6×42+11=78.2.∴给出的这套桌椅是配套的. [点评] 本题是应用一次函数模型的问题,利用待定系数法正确求出 k,b 是解题的关键.

14.[解析] (1)由提供的数据知道,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数, 从而用函数 Q=at+b,Q=a·b ,Q=a·logbt 中的任意一个进行描述时都应有 a≠0,而此时上述三个函数均为单调函 数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选取二次函数 Q=at +bt+c 进行描述. 以表格所提供的三组数据分别代入 Q=at +bt+c 得到,
2 2

t

150=2 500a+50b+c, ? ? ?108=12 100a+110b+c, ? ?150=62 500a+250b+c.

? ? 3 解得?b=- , 2 225 ? ?c= 2 .
a=
1 , 200

1 2 3 225 所以,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q= t - t+ . 200 2 2 3 - 2 (2)当 t=- 1 2× 200 1 3 225 2 2 ·150 - ·150+ =100 (元/10 kg). 200 2 2

=150 天时,西红柿种植成本最低为 Q=

15.[解析] (1)设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品为(50-x)件,
? ?9x+4 50-x 依题意得? ?3x+10 50-x ?

360, 290.

解得 30≤x≤32.∵x 是整数,∴只能取 30,31,32.

∴生产方案有三种,分别为 A 种产品 30 件 B 种产品 20 件;A 种产品 31 件 B 种产品 19 件;A 种产品 32 件 B 种产 品 18 件. (2)设生产 A 种产品 x 件,则 B 种产品(50-x)件.y=700x+1 200(50-x)=-500x+600 00, ∵k=-500<0,∴y 随 x 增大而减小,∴当 x=30 时,y 最大=-500×30+600 00=45 000. ∴安排生产 A 种产品 30 件,B 种产品 20 件时,获利润最大,最大利润为 45 000 元. [方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决,第(2)问是利用一次函数增减性解决问题,要注意第(2) 问 与第(1)问相互联系.即根据实际问题建立好函数关系式后,特别要注意函数的定义域. 16.[解析] (1)设 A,B 两种产品分别投资 x 万元,x≥0,所获利润分别为 f(x)万元、g(x)万元. 由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x.根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2 x(x≥0). (2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6.∴总利润 y=8.25 万元. ②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为 y 万元. 1 则 y= (18-x)+2 x,0≤x≤18.令 x=t,t∈[0,3 2], 4 1 1 17 17 2 2 则 y= (-t +8t+18)=- (t-4) + .∴当 t=4 时,ymax= =8.5,此时 x=16,18-x=2. 4 4 2 2 ∴当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企业获得最大利润,约为 8.5 万元.


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