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2013届高考文科数学一轮复习课时作业(20)三角函数的图象与性质及三角函数模型的简单应用


课时作业(二十) ?第20讲 三角函数y=Asin? ωx+φ? 的? ? ? ?图象与性质及三角函数模型的简单应用 ? ? ? [时间:45 分钟 分值:100 分]
基础热身 x π 1.函数 f(x)= 3sin?2-4?,x∈R 的最小正周期为( ? ? π A. B.π 2 C.2π D.4π )

π 2. [2011· 抚州模拟] 把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度, 再 6 把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为 ( ) π A.y=sin?2x-3? ? ? 1 π? B.y=sin?2x+6? ? π C.y=sin?2x+3? ? ? 1 π? D.y=sin?2x-6? ? π 3.已知函数 y=tan(x+φ)的图象经过点?12,0?,则 φ 可以是( ) ? ? π π π π A.- B. C.- D. 6 6 12 12 π 4.[2012· 淮阴模拟] 已知函数 f(x)=sin2x+mcos2x 的图象关于直线 x= 对称,则 f(x) 8 的最大值为________.

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能力提升 5.[2011· 济南三模] 函数 f(x)=2cos2x- 3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为 ) A.2π,3 B.2π,1 C.π,3 D.π,1

图 K20-1 6.如图 K20-1,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方 向旋转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致 是( )

图 K20-2
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7. [2011· 湖北卷] 已知函数 f(x)= 3sinx-cosx, x∈R.若 f(x)≥1, x 的取值范围为( 则 ) ? ? π A.?x?2kπ+3 ≤x≤2kπ+π,k∈Z? ? ? ? ? ? ? π B.?x?kπ+3 ≤x≤kπ+π,k∈Z? ? ? ? ? ? π 5π C.?x?2kπ+6 ≤x≤2kπ+ ,k∈Z? 6 ? ? ? ? ? π 5π D.?x?kπ+6 ≤x≤kπ+ ,k∈Z? 6 ? ? 8.如图 K20-3,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 scm 和时间 t s 的 π 函数关系式为 s=6sin?2πt+6?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) ? ?

图 K20-3 A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s 9.[2011· 天津卷] 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最 π 小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( ) 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 x π 3 10.函数 y= sin?2+6?的振幅是________;周期是________;频率是________;相位 ? 2 ? 是________;初相是________. π 11.函数 y=2sin?2x-3?的对称中心是________;对称轴方程是________;单调增区间 ? ? 是________. 12.若将函数 y=cosx- 3sinx 的图象向左平移 m(m>0)个单位后,所得图象关于 y 轴对 称,则实数 m 的最小值为________. π π 13.若函数 y=f(x)的图象和 y=sin?x+4?的图象关于点 M?4,0?对称,则 f(x)的表达式 ? ? ? ? 是 f(x)=____________________. π 14.(10 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|< 的一段图象如图 K20-4 所示. 2

图 K20-4 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合; (3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?

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π 15.(13 分)[2011· 湘潭联考] 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的图 ? ? 2π π 象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? 2 (1)求 f(x)的解析式; π π (2)当 x∈?12,2?时,求 f(x)的值域. ? ?

难点突破 16.(12 分)某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=f(t), 下面是某日水深的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y(米) 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinωx+b 的图象. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船 希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

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课时作业(二十) 【基础热身】 1.D 2.B

?2π? [解析] ∵T=? 1 ?=4π,∴D 正确. ?2? ? ?
π [解析] 把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度得到 y= 6

π sin ?x+6? ,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y= ? ? 1 π sin?2x+6?,x∈R,选择 B. ? ? π π 3.C [解析] 由 tan?12+φ?=0,得 +φ=kπ,k∈Z. ? ? 12 π π ∴φ=kπ- (k∈Z),当 k=0 时,φ=- . 12 12 π 4. 2 [解析] f(x)=sin2x+mcos2x= 1+m2sin(2x+φ),依题意,函数的最大值为?f?8?? ? ? ?? 2 2 |1+m|,所以 1+m2= |1+m|,解得 m=1,所以函数最大值为 2. 2 2 【能力提升】 π 5. [解析] f(x)=2cos2x- 3sin2x=cos2x- 3sin2x+1=2cos?2x+3?+1(x∈R), C 所以 ? ? 最小正周期和最大值分别为 π,3,故正确选项为 C. l d α 6.C [解析] 由 l=αR 可知 α= ,结合圆的几何性质可知 =R· , sin R 2 2 α l ∴d=2Rsin =2Rsin , 2 2R l 又 R=1,∴d=2sin ,故结合正弦图象可知,选 C. 2 π π 7.A [解析] 因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin?x-6?,由 f(x)≥1,得 2sin?x-6?≥1,即 ? ? ? ? ?x-π?≥1,所以π+2kπ≤x-π≤5π+2kπ,k∈Z,解得π+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. sin? 6? 2 6 6 6 3 2π 8.D [解析] T= =1. 2π 2π 1 1 π π 9.A [解析] ∵ =6π,∴ω= .又∵ × +φ=2kπ+ ,k∈Z 且-π<φ≤π, ω 3 3 2 2 1 π π π 1 π π ∴当 k=0 时,φ= ,f(x)=2sin?3x+3?,要使 f(x)递增,须有 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ , ? ? 3 2 3 3 2 5 π 5π π 5 π k∈Z,解之得 6kπ- ≤x≤6kπ+ ,k∈Z,当 k=0 时,- π≤x≤ ,∴f(x)在?-2π,2?上 ? ? 2 2 2 2 递增. 3 1 x π π 10. 4π + [解析] 根据函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中的各个量的几 2 4π 2 6 6 何意义、物理意义作结论. kπ π π 5π kπ 5π 11.? 2 +6,0?(k∈Z) x= + (k∈Z) ?-12+kπ,12+kπ?(k∈Z) ? ? ? ? 2 12 π π π [解析] 对称中心的横坐标满足 2x- =kπ(k∈Z);对称轴方程是 2x- =kπ+ (k∈Z)的 3 3 2 π π π 解;单调递增区间是不等式 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)的解区间. 2 3 2 π 2π 12. [ 解 析 ] y = cosx - 3 sinx = 2cos ?x+3? 向 左 移 m 个 单 位 得 到 函 数 y = ? ? 3 =

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π 2cos?x+m+3?为偶函数, ? ? π π ∴m+ =kπ(k∈Z),∴m=kπ- .∵k∈Z,且 m>0, 3 3 2π ∴m 的最小值为 . 3 π π π 13.-cosx- [解析] 设 f(x)图象上任一点(x,y),则(x,y)关于点 M ,0 的对称点 - 4 4 2 π π π 3π π x,-y 在函数 y=sinx+ 的图象上,所以-y=sin -x+ ,y=sinx- ,即 y=-cosx- . 4 2 4 4 4 3 π 15π 14.[解答] (1)由图知 A=3, T=4π- = , 4 4 4 2 2 ∴T=5π,∴ω= ,∴f(x)=3sin?5x+φ?. ? ? 5 π ? π ∵f(x)的图象过点?4,0?,∴3sin?10+φ?=0, ? ? ? π π ∴ +φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z), 10 10 2 π π π ∵|φ|< ,∴φ=- ,∴f(x)=3sin?5x-10?. ? ? 2 10 π 2 π 3π (2)由 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ 得, 2 5 10 2 3π 5kπ+ ≤x≤5kπ+4π(k∈Z), 2 ∴函数 f(x)的单调减区间为 ?5kπ+3π,5kπ+4π?(k∈Z). 2 ? ? 函数 f(x)的最大值为 3,取到最大值时 x 的集合为 ? ? ? 3π ?x x=5kπ+ ,k∈Z ?. 2 ? ? ? ?2x- π ? (3)解法一:f(x)=3sin? 5 10? 2x 3π π 2x π =3cos?2-? 5 -10??=3cos? 5 - 5 ? ?? ? ? ? ? 2? 3π?? =3cos?5?x- 2 ? , ? ? 3π 故至少左移 个单位才能使所对应函数为偶函数. 2 2x π 2 π π 5kπ 3π 解法二:f(x)=3sin? 5 -10?的图象的对称轴方程为 x- =kπ+ ,∴x= + ,当 k ? ? 5 10 2 2 2 3π 3π =0 时,x= ,k=-1 时,x=-π,故至少左移 个单位. 2 2 2x π π 3π 解法三:函数 f(x)在原点右边第一个最大值点为 - = ,∴x= ,把该点左移到 y 5 10 2 2 3π 轴上,需平移 个单位. 2 2π 15.[解答] (1)由最低点为 M? 3 ,-2?得,A=2. ? ? π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得, = ,即 T=π,所以 ω= = =2. 2 2 2 T π 2π 由点 M? 3 ,-2?在函数 f(x)的图象上得, ? ? 2π 2sin?2× 3 +φ?=-2, ? ?
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4π 即 sin? 3 +φ?=-1. ? ? 4π π 11π +φ=2kπ- ,k∈Z,所以 φ=2kπ- (k∈Z). 3 2 6 π? π 又 φ∈?0,2?,所以 φ= , ? 6 π 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π π? π ?π 7π? (2)因为 x∈?12,2?,所以 2x+ ∈?3, 6 ?. ? 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2. 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1, 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. 【难点突破】 16.[解答] (1)由已知数据,易知函数 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10,∴y= π 3sin t+10. 6 (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5(米), π π 1 ∴3sin t+10≥11.5,∴sin t≥ , 6 6 2 π π 5π ∴2kπ+ ≤ t≤2kπ+ (k∈Z), 6 6 6 解得 12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内, k=0 或 k=1, 取 ∴1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船可在当日凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港口内最多停留 16 个小时. 故

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