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2011中考冲刺数学专题5——应用型问题2 (2)


2011 中考冲刺数学专题 5——应用型问题
【备考点睛】
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性,因而应用性问题成为中考必考、频考考 点之一。因应用性问题的非数学背景是多种多样的,解决这类问题往往需要在陌生的情景 中去理解、分析给出的有关问题,并舍弃与数学无关的非本质因素,通过抽象转化相应的 数学问题,因此应用性问题成为每位学生的一道难题。 根据应用的数学模型不同,应用性问题可分为方程的应用问题、不等式的应用问题、 函数的应用问题、三角函数的应用问题、几何知识的应用问题……,解决这类问题的能力 要求较高:能阅读、理解对问题进行陈述的材料,能综合应用所学数学知识、思想和方法 解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以 表述。 应用性问题思考与解答的过程,最主要的特点就是:①由现实情意(非数学) ,抽象概 括出数学问题,②进而解决数学问题,使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为 关键的一步。

【经典例题】
类型一、化归到方程模型解决问题 例题 1 (2010 浙江绍兴)某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间.据预测,当每间的年租 金定为 10 万元时,可全部租出.每间的年租金每增加 5 000 元,少租出商铺 1 间.该公司要为 租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000 元. (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时,能租出多少间? (2) 当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益 (收益=租金-各种费用) 为 275 万元? 解答: (1)∵ 30 000÷5 000=6, ∴ 能租出 24 间. (2)设每间商铺的年租金增加 x 万元,则 (30-

x x x )×(10+x)-(30- )×1- ×0.5=275, 0 .5 0 .5 0 .5
2

2 x -11x+5=0, ∴ x=5 或 0.5, ∴ 每间商铺的年租金定为 10.5 万元或 15 万元. 例题 2 (2010 江苏盐城)某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款 1800 元.已知 2 班比 1 班人均捐款多 4 元,2 班的人数比 1 班的人数少 10%.请你根据上述信息,就这两个班 级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程 解决的问题,并写出解题过程. .... 解答:解法一:求两个班人均捐款各多少元? 设 1 班人均捐款 x 元,则 2 班人均捐款(x+4)元,根据题意得 1800 1800 ·90%= x x+4 解得 x=36 经检验 x=36 是原方程的根

∴x+4=40 答:1 班人均捐 36 元,2 班人均捐 40 元 解法二:求两个班人数各多少人? 设 1 班有 x 人,则根据题意得 1800 1800 +4= x 90x% 解得 x=50 ,经检验 x=50 是原方程的根 ∴90x % =45 答:1 班有 50 人,2 班有 45 人 例题 3(2010 山东烟台)去冬今春,我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾,解放军某部接到 了限期打 30 口水井大的作业任务,部队官兵到达灾区后,目睹灾情心急如焚,他们增派机 械车辆,争分夺秒,每天比原计划多打 3 口井,结果提前 5 天完成任务,求原计划每天打多 少口井? 解答: :设原计划每天打 x 口井, 由题意可列方程 30/x-30/(x+3)=5, 去分母得,30(x+3)-30x=5x(x+3), 2 整理得,x +3x-18=0 解得 x1=3,x2=-6(不合题意舍去) 经检验,x2=3 是方程的根, 答:原计划每天打 3 口井 例题 4 近年来,由于受国际石油市场的影响,汽油价格不断上涨.请你根据下面的信息, 帮小明计算今年 5 月份汽油的价格.

解答:从对话内容中找出量与量之间的相等关系(即:同样的钱加的油量不同) ,是列方程 解应用题的关键. 解:设今年 5 月份汽油价格为 x 元/升,则去年 5 月份的汽油价格为(x-1.8)元/升.根 据题意,得

150 150 ? ? 18.75 x ? 1.8 x

整理,得 x2 - l.8x - 14.4 = 0 解这个方程,得 x1=4.8,x2=-3 分 经检验两根都为原方程的根,但 x2=-3 不符合实际意义,故舍去.分 答:今年 5 月份的汽油价格为 4.8 元/升. 列分式方程解应用题应注意两点,一是要验根;二是要看结果是否符合题意.

例题 5 某高速公路收费站,有 m(m ? 0) 辆汽车等候收费通过,假设通过收费站的车流量 (每分钟通过的汽车量数)保持不变,每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收 费窗口,则需要 20 分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过;若 同时开放两个收费窗口, 则需 8 分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部 收费通过, 若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过, 并使后来到站的汽车也随到随 时收费通过,请问:至少同时开放几个收费窗口? 解答:分析:第一,关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆,以及每个窗口每分钟可收费 通过多少辆汽车,就是要求这些“未知数量的值” ,当然考虑去构造方程。 第二, 题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的 等量关系。 解:设每分钟新来的汽车 x 辆,每个窗口每分钟收费通过 y 辆汽车,则

设需开放 z 个窗口, 使在 3 分钟内将排队等候收费的汽车全部通过, 并使后来到站的汽车也 随到随时收费通过,则

z?

3m m ?3 ? ?3? m , 40 40

解得 z ?

43 。 9

因为窗口个数为正整数,所以需开窗口 5 个。 例题 6 有一个只许单向通过的窄道口,通常情况下,每分钟可以通过 9 人.一天,王老 师到达道口时,发现由于拥挤,每分钟只能 3 人通过道口,此时,自己前面还有 36 个人等 待通过(假定先到的先过,王老师过道口的时间忽略不计) ,通过道口后,还需 7 分钟到达 学校. (1)此时,若绕道而行,要 15 分钟到达学校,从节省时考虑,王老师应选择绕道去学 校,还是选择通过拥挤的道口去学校? (2)若在王老师等人的维持下,几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序期间,每分钟仍 有 3 人通过道口) ,结果王老师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口,问维持秩序的时间 是多少? 解答: (1)∵

36 +7=19>15, 3

∴ 王老师应选择绕道而行去学校. (2)设维持秩序时间为 t 则

36 ? 3t 36 -(t+ )=6, 9 3

解之得 t=3(分) . 答:维持好秩序的时间是 3 分钟.

类型二、化归到不等式模型解决问题 例题 7(2010 山东青岛)某学校组织八年级学生参加社会实践活动,若单独租用 35 座客车 若干辆,则刚好坐满;若单独租用 55 座客车,则可以少租一辆,且余 45 个空座位. (1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数; (2)已知 35 座客车的租金为每辆 320 元,55 座客车的租金为每辆 400 元.根据租车 资金不超过 1500 元的预算,学校决定同时租用这两种客车共 4 辆(可以坐不满) .请你计算 本次社会实践活动所需车辆的租金. 解答: (1)设单独租用 35 座客车需 x 辆,由题意得:
35 x ? 55( x ? 1) ? 45 ,

解得: x ? 5 . ∴ 35x ? 35 ? 5 ? 175 (人). 答:该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人. (2)设租 35 座客车 y 辆,则租 55 座客车( 4 ? y )辆,由题意得:
?35y ? 55(4 ? y ) ≥ 175 , ? ?320 y ? 400(4 ? y) ≤1500

1 1 解这个不等式组,得 1 ≤ y ≤ 2 . 4 4 ∵y 取正整数,
∴y = 2. ∴4-y = 4-2 = 2. ∴320×2+400×2 = 1440(元). 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元. 例题 8(2010 四川眉山)某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共 6000 尾,甲种鱼苗每尾 0.5 元, 乙种鱼苗每尾 0.8 元.相关资料表明:甲、乙两种鱼苗的成活率分别为 90%和 95%. (1)若购买这批鱼苗共用了 3600 元,求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾? (2)若购买这批鱼苗的钱不超过 4200 元,应如何选购鱼苗? (3) 若要使这批鱼苗的成活率不低于 93%, 且购买鱼苗的总费用最低, 应如何选购鱼苗? 解答: (1)设购买甲种鱼苗 x 尾,则购买乙种鱼苗 (6000 ? x) 尾,由题意得:

0.5x ? 0.8(6000 ? x) ? 3600
解这个方程,得: x ? 4000 ∴ 6000 ? x ? 2000 答:甲种鱼苗买 4000 尾,乙种鱼苗买 2000 尾. (2)由题意得: 0.5 x ? 0.8(6000 ? x) ? 4200 解这个不等式,得: x ? 2000 即购买甲种鱼苗应不少于 2000 尾. (3)设购买鱼苗的总费用为 y,则 y ? 0.5 x ? 0.8(6000 ? x) ? ?0.3 x ? 4800 由题意,有

90 95 93 x? ( 6 0 0? 0x ? ) ? 6000 100 100 100

x ? 2400 解得: 在 y ? ?0.3x ? 4800 中

∵ ?0.3 ? 0 ,∴y 随 x 的增大而减少 ∴当 x ? 2400 时, y最小 ? 4080 . 即购买甲种鱼苗 2400 尾,乙种鱼苗 3600 尾时,总费用最低. 例题 9 (2010 江苏泰州) 近期以来, 大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升, 网民戏称为 “蒜你狠” 、 “豆你玩” .以绿豆为例,5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克.市政府决定采 取价格临时干预措施,调进绿豆以平抑市场价格.经市场调研预测,该市每调进 100 吨绿豆,市场价格就下降 1 元/千克.为了即能平抑绿豆的市场价格,又要保护豆农的 生产积极性,绿豆的市场价格控制在 8 元/千克到 10 元/千克之间(含 8 元/千克和 10 元/千克) .问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜? 解答:设调进绿豆 x 吨,根据题意,得
x ? 16 ? ? 8, ? ? 100 解得 600≤x≤800. ? ?16 ? x ? 10. ? 100 ?

答:调进绿豆的吨数应不少于 600 吨,并且不超过 800 吨. 类型三、化归到函数模型解决问题 例题 10(2010 浙江台州市)A,B 两城相距 600 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发驶向 B 城,甲车到达 B 城后立即返回.如图是它们离 A 城的距离 y(千米)与行驶时间 x(小时) 之间的函数图象. (1)求甲车行驶过程中 y 与 x 之间的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当它们行驶 7 了小时时,两车相遇,求乙车速度. 解答: (1)①当 0≤ x ≤6 时,

y ? 100x ;
②当 6< x ≤14 时, 设 y ? kx ? b , ∵图象过(6,600) , (14,0)两点,
?6k ? b ? 600, ?k ? ?75, ∴? 解得 ? ?b ? 1050. ?14k ? b ? 0.

600

y/千米 C E F

∴ y ? ?75x ? 1050.
100x(0 ? x ? 6) ? ∴y?? ?? 75x ? 1050(6 ? x ? 14).

(2)当 x ? 7 时, y ? ?75? 7 ? 1050 ? 525,

O

6

D 14

x/小时

v乙 ?

525 . ? 75 (千米/小时) 7

例题 11. (2010 广东珠海)今年春季,我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾, “一 方有难,八方支援” ,为及时灌溉农田,丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同 功率柴油发电机共 10 台(每种至少一台)及配套相同型号抽水机 4 台、3 台、2 台,每台抽 水机每小时可抽水灌溉农田 1 亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时,灌 溉农田 32 亩. (1)设甲种柴油发电机数量为 x 台,乙种柴油发电机数量为 y 台. ①用含 x、y 的式子表示丙种柴油发电机的数量; ②求出 y 与 x 的函数关系式; (2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为 130 元、120 元、100 元,应如何安排 三种柴油发电机的数量,既能按要求抽水灌溉,同时柴油发电机总费用 W 最少? 解答: (1)①丙种柴油发电机的数量为 10-x-y ② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32 ∴y=12-2x (2)丙种柴油发电机为 10-x-y=(x-2)台 W=130x+120(12-2x)+100(x-2) =-10x+1240

x ?1 依题意解不等式组 12 ? 2 x ? 1 x ?2 ?1

得:3≤x≤5.5

∵x 为正整数 ∴x=3,4,5 ∵W 随 x 的增大而减少 ∴当 x=5 时 ,W 最少为-10×5+1240=1190(元) 例题 12. 王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为 60 cm 的正方形板子,另一块是上 底为 30 cm ,下底为 120 cm 高为 60 cm 的直角梯形板子(如图(1) ,王师傅想将这两块板 子裁成两块全等的矩形板材, 他将两块板子叠放在一起, 使梯形的两个直角顶点分别与正方 形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形 ABCFE 所围成的区域(如图(2) ,由 于受材料纹理的限制,要求裁处的矩形要以点 B 为一个顶点。 (1)利用图(2)求出矩形顶点 B 所对的顶点到 BC 边的距离 x(cm) 为多少时,矩形的面积

y(cm2 ) 最大?最大面积是多少?
(2)若想裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长。 A E D

F

B

C

G

解答: 在搞清背景图形各有关数量的情况下, 对于问题 (1) , 需对三类矩形的面积做比较 (如 图 2`) ,而其中的矩形 BPQR 的面积显然是 x 的函数,因此,本题的核心是建立出这个函数 并求其最大值。

对于(2) ,从变动的矩形 BPQR 中确定出正方形,自然也要借助上述函数。 解: (1)在图(2)中,易知 Rt ?EFD ∽ Rt ?GFC ,且 ED ? 30, GC ? 60, DC ? 60 ,

? DF ?

1 2 DC ? 20, FC ? DC ? 40 。 3 3
2

①当点 B 所对的顶点到 BC 的距离为 60 时(即该顶点在线段 AE 上, ) ,这些矩形中面积最 大的就是矩形 BMEA ,其面积等于 S矩形BMEA ? 30? 60 ? 1800( cm ) ②当点 B 所对的顶点到 BC 的距离等于或小于 40 时,且该顶点在 FC 上, 显然,在这些矩形中,面积最大的就是矩形 BCFN ,

S矩形BCFN ? 40? 60 ? 2400 (cm2 )
③当点 B 所对的顶点 Q 在线段 EF 上时, 矩形为 BPQR , QP ? x(cm) 。

A R

E Q

D

N ? Rt?QGP ∽ Rt ?FGC , PG 60 3 PG GC ? , PG ? x(40 ? x ? 60), ? ? ,即 x 40 2 QP FC B M P 3 ? BP ? 120 ? x 。 2 3 3 3 ? S矩形BPQR ? x(120 ? x) ? ? x 2 ? 120 x ? ? ( x ? 40) 2 ? 2400 。 2 2 2 可知当 x ? 40 时, S 矩形BPQR 的面积最大为 2400 (cm2 ) 。此时的点 Q 即为点 F。 综上可知: 当 x ? 40 时,也即矩形为 BCFN 时,面积最大为 2400 (cm ) 。 (2)面积最大的正方形应当在(1)中③的矩形中,这时应有
2

F

C (2`)

G

3 x 2 ? ? x 2 ? 120 x ,解得 x1 ? 0 (舍去) , x2 ? 48(cm) 。 2 面积最大的正方形的边长为 48cm 。 在本题, 及时地认识到并正确地建立出矩形 BPQR 的面积关于 x 的函数, 是获解的关键。
a ? 8) 例题 13 小杰到学校食堂买饭, 看到 A, B 两个窗口前排队的人一相样多 (设为 a 人, , 就站到 A 窗口队伍的后面,过了 2 分钟,他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍,B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍,且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人。 (1) 此时,若小杰继续在 A 窗口排队,则他到达窗口所需 A B 的时间是多少(用含 a 的代数式表示)? (2) 此时,若小杰迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口队伍后面 重新排队,且到达 B 窗口的所花的时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少,求 a 的取值范围( 不考虑其它因素) 。
解答:首先认识到:小杰无论是在 A 窗口还是在 B 窗口排队, 他到达窗口所需的时间都决定于已排队的人数 a ,因此, 本题实际上是个“函数”问题;其次, 这两个函数都好求出, 即表示成 a 的代数式;最后,借助于两个函数(即两个代数式) 的关系,求出自变量 a 的取值范围。







解: (1) (a ? 4 ? 2) ? 4 ?

a ?2; 4 a 1 ? ; 6 3

(2)若此时转到 B 窗口,则到窗口时共用时间: ?(a ? 5 ? 2) ? 6 ? 2? ? 6 ?

a 1 a ? ? ? 2 ,解得 a ? 20 。 a 的取值范围为 a ? 20 。 6 3 4 当 a ? 20 时,小杰到 B 窗口比在 A 窗口用的时间少。
令 本题中两个代数式的建立,是“函数思想”的一种体现。 例题 14. (2010 江苏泰州)保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化 工厂 2009 年 1 月的利润为 200 万元.设 2009 年 1 月为第 1 个月,第 x 个月的利润为 y 万 元.由于排污超标,该厂决定从 2009 年 1 月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导 致月利润明显下降,从 1 月到 5 月,y 与 x 成反比例.到 5 月底,治污改造工程顺利完工, 从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加 20 万元(如图) . ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后 y 与 x 之间对应的函数关系式. ⑵治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到 2009 年 1 月的水平? ⑶当月利润少于 100 万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?

解答: ⑴①当 1≤ x ≤5 时, 设y?

k 200 , 把 (1, 200) 代入, 得 k ? 200 , 即y? ; ②当 x ? 5 x x

时, y ? 40 ,所以当 x >5 时, y ? 40 ? 20( x ? 5) ? 20 x ? 60 ; ⑵当 y=200 时,20x-60=200,x=13,所以治污改造工程顺利完工后经过 13-5=8 个月后, 该厂利润达到 200 万元; ⑶对于 y ?

200 ,当 y=100 时,x=2;对于 y=20x-60,当 y=100 时,x=8,所以资金紧张的 x

时间为 8-2=6 个月. 例题 15. 一园林设计师要使用长度为 4 L 的材料建造如图(1)所示的花圃。该花辅是 由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图(2)所示。它是以 点 O 为圆 心的两个同心圆弧和延长后通过 O 点的两条直线段围成,为使得绿化效果最佳,还须使得 扇环面积最大。 (1)求使图(1)花圃面积为最大时 R ? r 的值及此时花圃面积,其中 R, r 分别为大圆和小 圆的半径。 (2)若 L ? 160m, r ? 10m ,求使图(2)面积为最大时 ? 值。 解答:在图(2)中,扇环图形的周长是确定的,所以其圆心角 ? 和扇形的面积 S 都随 R ? r

值的确定而确定,因此,他们都是 R ? r 的函数!认清楚了这一点,剩下的问题都可依几何 计算和函数的性质来解决了。

R?r
(1)

R?r

(2)

O

?

解: (1)若使形如图(1)花圃面积为最大,则必定要求图(2)扇环面积最大。 设图(2)扇环的圆心角为 ? ,面积为 S,根据题意得:

L?

??R
180

?

??r
180
2

? 2( R ? r ) ? ? ?
2

? (R ? r)
180

? 2( R ? r ) 。

?? ?

?S ?

180?L ? 2( R ? r )? ? (R 2 ? r 2 ) 360 360 360 360 ? (R ? r) 1 1 ? ?L ? 2( R ? r )? ? ( R ? r ) ? ?( R ? r ) 2 ? L( R ? r ) 2 2

180?L ? 2( R ? r )? 。 ? (R ? r)

??R

?

??r

?

?

?? ? (R 2 ? r 2 ) ?

?

?

L? L2 ? 。 ? ??( R ? r ) ? ? ? 4 ? 16 ? L 1 L2 ? 式中 0 ? R ? r ? ,? S 在 R ? r ? 时为最大,最大值为 。 2 4 16 2 2 L L L 。 ? 花圃面积最大时 R ? r 的值为 ,最大面积为 ? 4 ? 4 16 4 L (2)? 当 R ? r ? 时,S 取值最大。 4 L 160 ?R ? r ? ? ? 40(m), R ? 40 ? r ? 40 ? 10 ? 50(m) 。 4 4 180?L ? 2( R ? r )? 180? (160 ? 2 ? 40) 240 ?? ? ? ? (度) 。 ? (R ? r) ? ? 60 ?
在本题,能否认识到 S 是 R ? r 的函数,是解法能否启动的关键!我们年,用函数解决 实际问题, 例题 16. (2010 湖北荆州)国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产 企业的产品供不应求. 若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围, 每套产品的 生产成本不高于 50 万元,每套产品的售价不低于 90 万元.已知这种设备的月产量 x(套) 与每套的售价 y1 (万元)之间满足关系式 y1 ? 170 ? 2 x ,月产量 x(套)与生产总成本 y 2 (万元)存在如图所示的函数关系. (1)直接写出 ....y 2 与 x 之间的函数关系式; (2)求月产量 x 的范围; (3)当月产量 x(套)为多少时, 这种设备的利润 W(万元)最大?最大利润是多少? 解答: (1) y 2 ? 500 ? 30x

2

(2)依题意得: ? 解得:25≤x≤40

?500 ? 30x ? 50x ? 170 ? 2 x ? 90

(3)∵ W ? x ? y1 ? y2 ? x(170? 2x) ? (500? 30x) ? ?2x 2 ? 140x ? 500 ∴ W ? ?2( x ? 35) 2 ? 1950 而 25<35<40, ∴当 x=35 时, W最大 ? 1950 即,月产量为 35 件时,利润最大,最大利润是 1950 万元.

类型三、化归到几何模型解决问题 例题 17. (2010 内蒙古包头)如图,已知 △ ABC 中, AB ? AC ? 10 厘米, BC ? 8 厘米, 点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与 △CQP 是否全 等,请说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使

△BPD 与 △CQP 全等?
(2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发, 都逆时针沿 △ ABC 三边运动, 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ ABC 的哪条边上相 遇? 解答: (1)①∵ t ? 1 秒, ∴ BP ? CQ ? 3 ?1 ? 3 厘米, ∵ AB ? 10 厘米,点 D 为 AB 的中点, ∴ BD ? 5 厘米. 又∵ PC ? BC ? BP,BC ? 8 厘米, ∴ PC ? 8 ? 3 ? 5 厘米, ∴ PC ? BD . 又∵ AB ? AC , ∴ ?B ? ?C , ∴ △BPD ≌△CQP . ②∵ vP ? vQ , ∴ BP ? CQ , 又∵ △BPD ≌△CQP , ?B ? ?C ,则 BP ? PC ? 4,CQ ? BD ? 5 , A

D

Q P C

B

∴点 P ,点 Q 运动的时间 t ? ∴ vQ ?

BP 4 ? 秒, 3 3

CQ 5 15 ? ? 厘米/秒. 4 4 t 3

(2)设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇, 由题意,得 解得 x ?

15 x ? 3 x ? 2 ? 10 , 4

80 秒. 3

80 ? 3 ? 80 厘米. 3 ∵ 80 ? 2 ? 28 ? 24 ,
∴点 P 共运动了 ∴点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇, ∴经过

80 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇. 3

例题 18.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱 AB 的高度为 1.2 米. (1)若吊环高度为 2 米,支点 A 为跷跷板 PQ 的中 点,狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么? (2)若吊环高度为 3.6 米,在不改变其他条件的前 A 提下移动支柱,当支点 A 移到跷跷板 PQ 的什么位 置时,狮子刚好能将公鸡送到吊环上? 解答:
P
B

Q

C

(1)由三角形的中位线性质可知,狮子能将公鸡送到吊环上; (2)由相似三角形性质,通过对应边成比例,问题得解. 解: (1)狮子能将公鸡送到吊环上. 如图 1,当狮子将跷跷板 P 端按到底时可得到 Rt△PHQ, ∵AB 为△PHQ 的中位线,AB=1.2(米) P ∴QH=2.4>2(米) . (2)支点 A 移到跷跷板 PQ 的三分之一处(PA= PQ) , 狮子刚好能将公鸡送到吊环上 如图 2,△PAB∽△PQH,
AB PA 1 = = QH PQ 3
P

Q

A
B H

1 3

图1
Q

A
B H

图2

∴QH=3AH=3.6(米) 构造三角形,利用三角形的性质解决应用形问题,是中考的命题热点之一.

【技巧提炼】
“由非数学到数学” ,就是将实际问题归属到对应的数学模型,是化归思想的典型表 现,绝大多数情况下,或化归到函数模型,或化归到方程(不等式)模型,或化归到基本 图形(特别是直角三角形)模型,或者以上的综合,因此,可以这样说:解应用性问题的 能力实质就是“化归到数学模型”的能力。

解决应用性问题,首先要在阅读材料、理解题意的基础上,把实际问题抽象成数学问 题,就是从实际问题出发,经过去粗取精、抽象概括、利用数学知识建立相应的数学模型。 再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实 际问题中去,其一般思路可表示如下:

解决应用性问题的一般程序: (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系。应用题文字表 达是必不可少的,疏通文字、阅读理解题意是入门的第一关。 (2)建:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型。解应用 题的根本是“建模” ,熟悉基本数学模型,正确简便地建立数学模型是关键的一关。 (3)解:求解数学模型,得到数学结论。解数学模型应注意两点:第一,充分注意到 这个数学问题中元素的实际意义。第二,注意巧思妙作,简化过程。不要将实际问题的数 学模型解决与繁琐的过程划上等号。 (4)答:将数学方法得到的结论,还原为实际问题的意义。 解决应用性问题的关键是正确理解题意,排除一切非数学因素的干扰,努力读懂题目 中的图形、表格及数量之间的关系,然后捕捉每一个有效的信息,将生活中的语言转换成 数学语言,实际问题转化为数学问题,并构造出相应数学模型,从而求得问题的正确答案.

【体验中考】
1. (2010 辽宁丹东)如图,小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度,已知 她与树之间的水平距离 BE 为 5m,AB 为 1.5m (即小颖的眼睛距地面的距离) ,那么这棵 树高是( ) C 3 53 3 A. ( ) m B . ( ) m 5 3 ? ?

3

2

2

C.

5 3 m 3

D.4m

30°

A B

D E

2. (2010 广东茂名)如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC,已知点 E、F 分 别是边 AB、AC 的中点,量得 EF=5 米,他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡, 则需用篱笆的长是( ) A、15 米 B、20 米 C、25 米 D、30 米

3. (2010 甘肃)向空中发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 米,且时间与高度的关系为 2 y=ax ?bx+c(a≠0) .若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹 所在高度最高的是( ) A.第 8 秒 B.第 10 秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒 4. (2010 江苏连云港)某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同,以每月用车路程 xkm 计 算,甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为 y1 元,乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为 y2 元, 若 y1、y2 与 x 之间的函数关系如图所示,其中 x=0 对应的函数值为月固定租赁费,则下列 判断错误 的是( .. )

A.当月用车路程为 2000km 时,两家汽车租赁公司租赁费用相同 B.当月用车路程为 2300km 时,租赁乙汽车租赁公车比较合算 C.除去月固定租赁费,甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多 D.甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少 5. (2010 年贵州毕节)某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2008 年投入 3 000 万元,预计 2010 年投入 5 000 万元.设教育经费的年平均增长率为 x ,根据题意,下面 所列方程正确的是( ) A. 3 000(1 ? x) ? 5 000
2

B. 3 000 x ? 5 000
2

C. 3 000(1 ? x%) ? 5 000
2

D. 3 000(1 ? x) ? 3 000(1 ? x) ? 5 000
2

6. (2010 山东东营)如图,小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离,沿着 与 AB 垂直的方向走了 m 米,到达点 C,测得∠ACB= ? ,那么 AB 等于( ) (A) m·sin ? 米 (B) m·tan ? 米 (C) m·cos ? 米 (D)
m 米 tan ?
A m

?

C

B

7. (2010 山东荷泽)某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气 压P (kPa) 是气球体积 V 的反比例函数, 其图象如图所示, 当气球内的气压大于 120 kPa 时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该

5 3 m 4 4 C.不小于 m3 5
A.不大于

5 3 m 4 4 D.小于 m3 5
B.小于

P(kPa)

60 0

(1.6, 60) V (m3)

1.6

8.(2010 广西钦州市)如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距离楼底 O 点 20 m 的点 A 处,测得楼顶 B 点的仰角∠OAB=65° ,则这幢大楼的高度为(保留 3 个有效数字) . (A)42.8 m (B)42.80 m (C)42.9 m (D)42.90 m 9. (2010 浙江绍兴)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部 包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况),需计算带子的缠绕角度 ? ( ? 指缠绕中 将部分带子拉成图中所示的平面 ABCD 时的∠ABC,其中 AB 为管道侧面母线的一部分) . 若带子宽度为 1,水管直径为 2,则 ? 的余弦值为 . 10. (2010 甘肃兰州) 如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做 了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时, 头部刚好接触到绳子, 则绳子的最低点距地面的距离为 米.

11. (2010 浙江宁波) 如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面高度 AC 为 3 米, 引桥的坡角∠ABC 为 15°,则引桥的水平距离 BC 的长是 米(精确到 0.1 米) .

A B C

12. (2010 浙江省温州)某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共 l5 支,所付金额 大于 26 元,但小于 27 元.已知签字笔每支 2 元,圆珠笔每支 1.5 元,则其中签字笔购买了 支. 13. (2010 内蒙古包头)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长 各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2. 14. (2010 江苏无锡)某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用 A、B 两种原料,生产每吨 节能产品所需原料的数量如下表所示:

m(万元) 6
甲 乙

O

2

3

n(吨)

销售甲、乙两种产品的利润 m (万元)与销售量 n (吨)之间的函数关系如图所示.已知 该企业生产了甲种产品 x 吨和乙种产品 y 吨,共用去 A 原料 200 吨. (1)写出 x 与 y 满足的关系式; (2)为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于 220 万元,那么至少要用 B 原料多少吨? 15. (2010 山东日照)如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大水平高度 12 米时, 球移动的水平距离为 9 米 . 已知山坡 OA 与水平方向 OC 的夹角为 30o, O、 A 两点相距 8 3 米. (1)求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式; (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式; (3) 判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点 .

16. (2010 云南红河哈尼族彝族自治州)师徒二人分别组装 28 辆摩托车,徒弟单独工作一 周(7 天)不能完成,而师傅单独工作不到一周就已完成,已知师傅平均每天比徒弟多组装 2 辆,求: (1)徒弟平均每天组装多少辆摩托车(答案取整数)? (2)若徒弟先工作 2 天,师傅才开始工作,师傅工作几天,师徒两人做组装的摩托车辆 数相同? 17. (2010 山东日照)列方程解应用题:2010 年春季我国西南五省持续干旱,旱情牵动着全 国人民的心。“一方有难、八方支援”,某厂计划生产 1800 吨纯净水支援灾区人民,为尽 快把纯净水发往灾区,工人把每天的工作效率提高到原计划的 1.5 倍,结果比原计划提前 3 天完成了生产任务.求原计划每天生产多少吨纯净水? 18. (2010 浙江嘉兴)一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间 t(h)与行驶速度 v(km/h) 满足函数关系: t ?

k ,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为 A(40, 1) 和 B(m, 0.5) . v

(1)求 k 和 m 的值; (2)若行驶速度不得超过 60(km/h) ,则汽车通过该路段最少需要多少时间? 19. (10 湖南益阳)我们知道,海拔高度每上升 1 千米,温度下降 6℃.某时刻,益阳地面温 度为 20℃,设高出地面 x 千米处的温度为 y ℃. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知益阳碧云峰高出地面约 500 米,求这时山顶的温度大约是多少℃? (3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞

机离地面的高度为多少千米? 20. (2010 重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱. 受旱灾的影响,4 月份,我市某蔬菜价 格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表: 周数 x 价格 y(元/千克) 1 2 2 2.2 3 2.4 4 2.6

进入 5 月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格 y(元/千克)从 5 月第 1 周的 2.8 元 / 千 克 下 降 至 第 2 周 的 2.4 元 / 千 克 , 且 y 与 周 数 x 的 变 化 情 况 满 足 二 次 函 数

y??

1 2 x ? bx ? c . 全品中考网 20

(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写 出 4 月份 y 与 x 所满足的函数关系式, 并求出 5 月份 y 与 x 所满足的二次函数关系式; (2)若 4 月份此种蔬菜的进价 m (元/千克)与周数 x 所满足的函数关系为 m ? 5 月份的进价 m (元/千克)与周数 x 所满足的函数关系为 m ? ?

1 x ? 1.2 , 4

1 x ? 2 .试问 4 月份 5

与 5 月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大?且最大利润分别是多少? (3)若 5 月的第 2 周共销售 100 吨此种蔬菜. 从 5 月的第 3 周起,由于受暴雨的影响,此 种蔬菜的可供销量将在第 2 周销量的基础上每周减少 a % ,政府为稳定蔬菜价格,从外 地调运 2 吨此种蔬菜,刚好满足本地市民的需要,且使此种蔬菜的价格仅上涨 0.8a % . 若在这一举措下, 此种蔬菜在第 3 周的总销售额与第 2 周刚好持平, 请你参考以下数据, 通过计算估算出 a 的整数值. (参考数据: 37 ? 1369, 38 ? 1444, 39 ? 1521, 40 ? 1600, 41 ? 1681 )
2 2 2 2 2

答案:
1. 【答案】A 2. 【答案】C 3. 【答案】B 4. 【答案】D 5. 【答案】A. 6. 【答案】B 7. 【答案】C 8.【答案】C

1 2? 1 10. 【答案】 2
9. 【答案】 11. 【答案】11.2 12. 【答案】8 13. 【答案】

25 或 12.5 2

14. 【答案】 (1)3x+y=200. (2)销售每吨甲种产品的利润为 3 万元,销售每吨乙种产品的利润为 2 万元, 由题意,得 3x+2y≥220, 200-y+2y≥220,∴y≥20 ∴B 原料的用量为 3x+5y=200-y+5y=200+4y≥280 答:至少要用 B 原料 280 吨. 15. 【答案】 (1)在 Rt△AOC 中, ∵∠AOC=30 o ,OA=8 3 , ∴AC=OA·sin30o=8 3 ×

1 =4 3, 2 3 OC=OA·cos30o=8 3 × =12. 2 ∴点 A 的坐标为(12, 4 3 ) .
设 OA 的解析式为 y=kx,把点 A(12, 4 3 )的坐标代入得:

4 3 =12k ,
∴k=

3 , 3 3 x; 3
2

∴OA 的解析式为 y=

(2) ∵顶点 B 的坐标是(9,12), 点 O 的坐标是(0,0) ∴设抛物线的解析式为 y=a(x-9) +12, 把点 O 的坐标代入得: 0=a(0-9) +12,解得 a= ?
2

4 , 27

∴抛物线的解析式为 y= ? 及 y= ?

4 2 (x-9) +12 27

4 8 2 x + x; 27 3 32 (3) ∵当 x=12 时,y= ? 4 3, 3
∴小明这一杆不能把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点. 16. 【答案】 (1)设徒弟每天组装 x 辆摩托车,则师傅每天组装(x+2)辆.依题意得: 7x<28 7(x+2)>28 解得 2<x<4 ∵x 取正整数 ∴x=3 (2)设师傅工作 m 天,师徒两人所组装的摩托车辆数相同. 依题意得:3(m+2)=5m 解得:m=3 答:徒弟每天组装 3 辆摩托车;若徒弟先工作 2 天,师傅工作 3 天,师徒两人做组装的摩托 车辆数相同. 17. 【答案】设原计划每天生产 x 吨纯净水,则依据题意,得:

1800 1800 ? ? 3, x 1.5 x
整理,得:4.5x=900, 解之,得:x=200, 把 x 代入原方程,成立, ∴x=200 是原方程的解. 答:原计划每天生产 200 吨纯净水. k k 18. 【答案】 (1)将 (40, 1) 代入 t ? ,得 1 ? ,解得 k ? 40 . v 40 40 40 函数解析式为: t ? .当 t ? 0.5 时, 0.5 ? ,解得 m ? 80 . v m 所以, k ? 40 , m ? 80 . 40 2 (2)令 v ? 60 ,得 t ? ? . 60 3 2 结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要 小时. 3 y ? 20 ? 6 x ( x ? 0 ) 19. 【答案】⑴ ⑵ ⑶

5 0 米= 0 0.5 千米 y ? 20 ? 6 ? 0 ? 5 ? 17 (℃) ? 34 ? 20 ? 6 x x?9
1 2 x ? bx ? c ,得 20

20. 【答案】 (1)4 月份 y 与 x 满足的函数关系式为 y ? 0.2 x ? 1.8 . 把 x ? 1 , y ? 2.8 和 x ? 2 , y ? 2.4 分别代入 y ? ?

? 1 ? ? b ? c ? 2.8, ? ? 20 ? ?? 1 ? 4 ? 2b ? c ? 2.4. ? ? 20

解得

?b ? ?0 . 2 5 , ? ?c ? 3 . 1 .

∴5 月份 y 与 x 满足的函数关系式为 y ? ?0.05x2 ? 0.25x ? 3.1 . (2)设 4 月份第 x 周销售一千克此种蔬菜的利润为 W1 元,5 月份第 x 周销售此种蔬菜一 千克的利润为 W2 元.

1 W1 ? (0.2 x ? 1.8) ? ( x ? 1.2) ? ?0.05 x ? 0.6 . 4 ∵ ?0.05 ? 0 ,∴ W1 随 x 的增大而减小. ∴当 x ? 1 时, W1最大 ? ?0.05 ? 0.6 ? 0.55 . 1 W2 ? (?0.05x2 ? 0.25x ? 3.1) ? (? x ? 2) ? ?0.05 x 2 ? 0.05 x ? 1.1 . 5 ?0.05 ? ?0.5 ,且 ?0.05 ? 0 , ∵对称轴为 x ? ? 2 ? (?0.05) ∴当 x ? ?0.5 时, y 随 x 的增大而减小. ∴当 x ? 1 时, W2最大 ? 1 .
所以 4 月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大, 最大利润为 0.55 元; 5 月份销售 此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大,最大利润为 1 元. (3)由题意知: ?100(1 ? a%) ? 2? ? 2.4(1 ? 0.8a%) ? 2.4 ?100 .

?23 ? 1529 . 2 ∵ 392 ? 1521 , 402 ? 1600 ,而 1529 更接近 1521,∴取 1529 ? 39 . ∴ a ? ?31 (舍去)或 a ≈ 8 . 答: a 的整数值为 8.
整理,得

a 2 ? 23a ? 250 ? 0 .

解得 a ?


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