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2015年北京中考数学试题及答案(Word版)


2015 年北京市高级中等学校招生考试

数 学 试卷

一、选择题(本题共30 分,每小题3 分) 下面各题均有四个 选项,其中只有一 个 是符合题意的. . . 1.截止到2015 年6 月1 日,北京市已建成34 个地下调蓄设施,蓄水能力达到1 40 000 立 方米,将1 40 000 用科学记数法表示应为 A. 14 ? 104 B. 1.4 ? 105 C. 1.4 ? 106 D.0.14 ? 106

2.实数a, b, c, d 在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是
a -4 -3 b -2 -1 1 c 0 2 d 3 4

A.a B.b C.c D .d 3. 一个不透明的盒子中装有 3 个红球, 2 个黄球和 1 个绿球, 这些球除了颜色外无其他差 别, 从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为 1 A. 6 B.
1 3

1 C. 2

2 D. 3

4.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为

5.如图,直线l1 , l2 , l3 交于一点,直线l4 ∥ l1 ,若?1 ? 124? ,
?2 ? 88? ,则?3 的度数为
l3 3 2 1 l4 l2 l1

A.26?? C.46??

B.36?? D.56??

6. 如图, 公路AC, BC 互相垂直, 公路AB 的中点M 与点 C 被湖隔开,若测得AM 的长为 1.2 km,则M , C 两点间的

A M

距离为 A.0.5 km C . D. 1.2 km
0.9

B.0.6 km
C

B

km

7.某市 6 月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气 温这组数据中,众数和中位数分别是 A . B.21,21.5 C . D.22,22 21 21 , , 21 22

8. 右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要 建筑分布图, 若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、y 轴的正方向,表示太和门的点的坐标为

? 0,? 1? ,表示九龙壁的点的坐标为? 4,1? ,则表示下
列宫殿的点的坐标正确的是 A .景仁宫 ? 4, 2 ? B .养心殿 ? ?2, 3? C.保和殿?1, 0 ?? D.武英殿? ?3.5, ?4 ??

9.一家游泳馆的游泳收费标准为30 元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠: 会员年卡类型 A 类 B 类 C 类 办卡费用(元) 50 200 400 每次游泳收费(元) 25 20 15

例如,购买A 类会员年卡,一年内游泳20 次,消费50 ? 25 ? 20 ? 550 元,若一年内在该 游泳馆游泳的次数介于45~55 次之间,则最省钱的方式为 A.购买A 类会员年卡 C.购买C 类会员年卡 B.购买B 类会员年卡 D.不购买会员年卡

10. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图1 所示, 通道由在同一平面内的AB, BC, CA, OA, OB, OC 组 成. 为记录寻宝者的行进路线, 在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器. 设寻宝者行 进 的时间为x ,寻宝者与定位仪器之间的距离为y ,若寻宝者匀速行进,且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2 所示,则寻宝者的行进路线可能为 A.A ? O ? B
A

B.B ? A ? C
y

C.B ? O ? C

D.C ? B ? O

O O B M 图1 C 图2 x

二、填空题(本题共18 分,每小题3 分) 11.分解因式:5x3 ? 10 x2 ? 5x ? ? .
4 B 1 E 5 A 3 D C 2

, DE 12 .右 图 是 由 射 线 A B, B C ,CD , 组成的平面图形,则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=

13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传 统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术 和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就. 《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五, 直 金八两.问:牛、羊各直金几何?” 译文:“假设有5 头牛、2 只羊,值金10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?” 设每头牛值金x 两,每只羊值金y 两,可列方程组为 14.关于x 的一元二次方程ax 2 ? bx ? a, b 的值:a ? ? ,b? ? 1 4 . .

? 0 有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数

15.北京市 2009-2014 年轨道交通日均客运量统 计如图所示.根据统计图中提供的信息,预 估 2015 年 北 京 市 轨 道 交 通 日 均 客 运 量约 万人次,你的预估理由是 .

16.阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平分线. 已知:线段 AB .
A B

小芸的作法如下: 如图, (1)分别以点 A 和点 B 为圆心,大于
2 1 AB 的长为半
A B

C

径作弧,两弧相交于 C , D 两点;
D

(2)作直线 CD . 老师说:“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是 . 三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分, 第 29 题8 分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.计算: 18.已知2a2 ? 3a ? 6 ? 0 .求代数式3a ? 2a ? 1? ? ? 2a ? 1?? 2a ? 1? 的值. ?? ?? 19.解不等式组 ? ? ?
A

,并写出它的所有非 负 整 数 解 . . . . . .

20.如图,在 △ABC 中,AB ? AC ,AD 是BC 边上的中线, BE ? AC 于 点E .
B D

E C

求证:?CBE ? ?BAD .

21.为解决 “最后一公里”的交通接驳问题, 北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到 2013 年底, 全市已有公租自行车25 000 辆, 租赁点600 个. 预计到2015 年底, 全市将 有 公租自行车50 000 辆, 并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013 年底平均每个

租赁点的公租自行车数量的 1.2 倍.预计到 2015 年底,全市 将有租赁点多少个?
D F C

22. 在 口 ABCD 中, 过点D 作DE ? AB 于点E , 点F 在边CD 上, DF ? BE ,连接AF ,BF . (1)求证:四边形BFDE 是矩形; (2)若CF ? 3 ,BF ? 4 ,DF ? 5 ,求证:AF 平分?DAB .
A E B

23. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线y ? kx ? b(k ? 0) 与双曲线y ? 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B . (1)求m 的值; (2)若PA ? 2 AB ,求k 的值.

8

的一个交点为P(2 , m) , x

24. 如图, AB 是⊙O 的直径, 过点B 作⊙O 的切线BM , 弦CD ∥ BM , 交AB 于点F , 且DA 点E .
A

M D O F C B E



= = DC



连接AC ,AD , 延长AD 交BM 地

(1)求证: △ACD 是等边三角形; (2)连接OE ,若DE ? 2 ,求OE 的长.

25.阅读下列材料: 2015 年清明小长假,北京市属公园开展以“清明踏青,春色满园”为主题的游园活动, 虽然气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为 190 万人次.其 中, 玉渊潭公园的樱花、 北京植物园的桃花受到了游客的热捧, 两公园的游客接待量分别为 38 万人次、21.75 万人次; 颐和园、 天坛公园、 北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园 春 色成为游客的重要目的地,游客接待量分别为 26 万人次、20 万人次、17.6 万人次;北京 动 物园游客接待量为 18 万人次,熊猫馆的游客密集度较高. 2014 年清明小长假, 天气晴好, 北京市属公园游客接待量约为 200 万人次, 其中, 玉 渊 潭公园游客接待量比 2013 年清明小长假增长了 25%; 颐和园游客接待量为 26.2 万人次, 比 2013 年清明小长假增加了 4.6 万人次;北京动物园游客接待量为 22 万人次. 2013 年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为 32 万人

次、13 万人次、 14.9 万人次. 根据以上材料解答下列问题: (1)2014 年清明小长假,玉渊潭公园游客接待量为 游客接待量表示出来. 万人次; (2)选择统计表或 统计图,将 2013-2015 年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园 的 .

26.有这样一个问题:探究函数y ?

1

1 x 2 ? 的图象与性质. 2 x 1 1 x 2 ? 的图象与性质进行了探究. 2 x

小东根据学习函数的经验,对函数y ?

下面是小东的探究过程,请补充完整: (1)函数y ? 1 1 x 2 ? 的自变量x 的取值范围是 2 x ;

(2)下表是y 与x 的几组对应值. x y ? ? ?3 25 6 ?2 3 2 ?1 ? 1 2 ? ? 1 2 15 8 ? ? 1 3 53 18 1 3 55 18 1 2 17 8 1 3 2 2 5 2 3 m ? ?

求m 的值; (3) 如下图, 在平面直角坐标系xOy 中, 描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据 描出的点,画出该函数的图象;
y 6 5 4 3 2 1 -4 2 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 -3 -4 3 4 x

3 (4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1, ),结合函 2 数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可): .

27.在平面直角坐标系xOy 中,过点(0,2)且平行于x 轴的直线,与直线y ? x ? 1 交于点 A ,点A 关于直线x ? 1 的对称点为B ,抛物线C ∶ y ? x2 ? bx ? c 经过点A ,B .
1

(1)求点A ,B 的坐标; (2)求抛物线C1 的表达式及顶点坐标;
2 (3) 若抛物线C ∶ 结合函数的图象, 求a 的 2 y ? ax (a ? 0) 与线段AB 恰有一个公共点,

取值范围.
y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 -3 -4 备用图

2

3 4

x

28.在正方形ABCD 中,BD 是一条对角线,点P 在射线CD 上(与点C 、D 不重合),连 接 AP ,平移△ADP ,使点D 移动到点C ,得到△BCQ ,过点Q 作QH ? BD 于H , 连接AH ,PH . (1)若点P 在线段CD 上,如图1. ①依题意补全图1; ②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明; (2)若点P 在线段CD 的延长线上,且?AHQ ? 152? ,正方形ABCD 的边长为 1,请 写 出求DP 长的思路.(可 以 不 写 出 计 算 结 果 ) . . . . . . . . .
A B A B

D

P 图1

C

D 备用图

C

29.在平面直角坐标系xOy 中, ⊙C 的半径为r ,P 是与圆心C 不重合的点,点P 关于⊙ O 的反称点的定义如下: 若在射 线 CP 上存在一点P? , 满足CP ? CP? ? 2r , 则称P? 为点P . . 关于⊙ C 的反称点,下图为点P 及其关于⊙ C 的反称点P? 的示意图. 特别地,当点P? 与圆心C 重合时,规定CP? ? 0 .
y P

1

C

O

1

x

(1)当⊙ O 的半径为1 时. 3 ①分别判断点M (2 , 1) ,N ( , 0) , T (1,3) 关于⊙ O 的反称点是否存在, 若存在? 2 求其坐标; ②点P 在直线 y ? ? x ? 2 上,若点P 关于⊙O 的反称点P? 存在,且点P? 不在x 轴 上,求点P 的横坐标的取值范围; (2) ⊙C 的圆心在x 轴上, 半径为1, 直线y ? ?? 3 3 B ,若线 段 . .AB 上存在点P ,使得点P 关于⊙ C 的反称点P ? 在⊙ C 的内部,求圆 心C 的横坐标的取值范围. x?2 3 与x 轴,y 轴分别交于点A ,

2015 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 考参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 C

二、填空题 题号 11 12 13 ?5 x ? 2 y ? 10 ?? ?2 x ? 5 y ? 8 14 ?a ? 1 ?? ?b ? 1 (满足b2 ? a , a ? 0 即可,答案不唯一)

答案

5 x ? x ? 1?

2

360??

参考答案①:1038,按每年平均增长人数近似相等进行估算 15 参考答案②:980,因为2012-2013 年发生数据突变,故按照2013-2014 增长进行估算 (因为题目问法比较灵活,只要理由合理均可给分估计学生答出980 至1140 之间均可 给分) 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 3 2

16

17.解:原式? 4 ? 1 ? 2 ?? 3 ? 4 ? ? 5 ?? 3 ? 2 ?5? 3 3

18.解:原式? 3a(2a ? 1) ? (2a ? 1)(2a ? 1) ? 6a2 ? 3a ? 4a2 ? 1 ? 2a2 ? 3a ? 1 ∵ 2a2 ? 3a ? 6 ? 0 ∴ 2a2 ? 3a ? 6 ∴原式? 7

?4( x ? 1) ≤ 7 x ? 10① ?? 19.解: ?? x ?? 8 ② ? x ? 5 ?? ?? 3 由① 4 x ? 4 ≤ 7 x ? 10
?3x ≤ 6

x ≥ ?2

由② 3x ? 15 ? x ? 8
2x ? 7 x? 7 2 7 2

∴ ?2 ≤ x ?

∴非零整数解为 0,1,2,3. 20.证:∵ AB ? AC ∴ ?ABC ? ?C 又∵ AD 是BC 边上的中线 ∴ AD ? BC ∴ ?BAD ? ?ABC ? 90? . ∵ BE ? AC . ∴ ?CBE ? ?C ? 90?? ∴ ?CBE ? ?BAD .

21.解:设2015 年底全市租赁点有x 个.
50000 x ? 1.2 ? 25000 600

x ? 1000

经检验:x ? 1000 是原方程的解,且符合实际情况. 答:预计到2015 年底,全市将有租赁点1000 个.

22.解⑴ ∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴ DC ∥ AB 即DF ∥ BE 又∵ DF ? BE . ∴四边形DEBF 为平行四边 形. 又∵ DE ? AB ,即?DEB ? 90? . ∴四边形DEBF 为矩形. ⑵∵四边形DEBF 为矩形. ∴ ?BFC ? 90?? ∵ CF ? 3 ,BF ? 4 . ∴ BC ?? 32 ? 42 ? 5

∴ AD ? BC ? 5 ∴ AD ? DF ? 5 ∴ ?DAF ? ?DFA ∵ ?DFA ? ?FAB ∴ ?DAF ? ?FAB 即AF 平分?DAB
8

23.解:(1)点P(2 , m) 在 y ? ∴m?
m?4

x

上.

8 ?4 2

(2)P (2,4)在y ? kx ? b ∴ 4 ? 2k ? b
b ? 4 ? 2k

∵ y ? kx ? b 与x 、y 轴交于A 、B 两点 ∴ A(2 ?
4 4 ? 2k ) 0) ,B(0 , , k

∵ PA ? 2 AB 如图①

PB ? AB ,则OD ? OA ? 2 . ∴
4 k ?2?2.

∴k ?1 如图②

PA ? 2 AB ,PD ? 2OB ? 4 ∴ OB ? 2 ,2k ? 4 ? 2
k ?3

∴ k ? 1 或k ? 3

24.证:(1)∵ BM 是⊙O 切线,AB 为⊙ O 直径 ∴ AB ? BM ∵ BM ∥ CD ∴ AB ? CD ∴DA


= = AC



∴ AD ? AC ∵ DA


= = DC



∴ DC ? AD ∴ AD ? CD ? AC ∴ △ACD 为等边三角形. 证:(2) △ACD 为等边三角形,AB ? CD ∴ ?DAB ? 30?? 连结BD ,∴ BD ? AD .
?EBD ? ?DAB ? 30??

∵ DE ? 2 ∴ BE ? 4 ,BD ? 2 AB ? 4 3 , OB ? 2 3 3

在Rt△ OBE 中 OE ?? OB2 ? BE 2 ?? 12 ? 16 ? 2 7

25.(1)40 (2) 2013-2015 清明小长假公园游客接待量统计表
公园人数(万) 年份 2013 2014 2015 玉渊潭 32 40 38 颐和园 21.6 26.2 26 动物园 14.9 22 18

2013-2015 清明小长假公园游客接待量统计图

26.(1)x ? 0 (2)令x ? 3 ∴y? ?
1 2 1 ?3 ? 2 3

9 1 29 ? ? 2 3 6 29 6
y 6 5 4 3 2 1 -4 -2 -3 -1 O 1 -1 -2 -3 2 3 4 x

∴m?

(3)如图

-4

(4)①该函数没有最大值 ②该函数在x ? 0 处断开 ③该函数没有最小值 ④该函数图像没有经过第四象限

27.解:①当y ? 2 ,则2 ? x ? 1 ,x ? 3

∴ A (3,2) ∵ AB 关于x ? 1 对称 ∴ B(?1, 2) ②把(3,2)(?1 ,2)代入得: ?2 ? 9 ? 3b ? c ?b ? ?2 ,解得 ? ? 2 ?1? b ? c c ? ?1 ?? ?? ∴ y ? x2 ? 2 x ? 1 ③如图,当C2 过A 点,B 点时为临界 代入A(3 , 2) 则9a ? 2 ,a ? 代入B(?1, 2) 则a ? 2 2 ∴ ≤a ? 2 9 2 9
-1 2

28.(1)①

A H

B

②法一:轴对称作法 判断:AH ? PH ,AH ? PH 证:连接CH 得: △DHQ 等腰Rt△ 又∵ DP ? CQ ,∴ △HDP ≌ △HQC ∴ PH ? CH ,?HPC ? ?HCP BD 为正方形ABCD 对称轴 ∴ AH ? CH ,?DAH ? ?HCP ∴ AH ? PH ,?DAH ? ?HPC ∴ ?AHP ? 180? ? ?ADP ? 90?? ∴ AH ? PH 且AH ? PH
D P C Q

法二:四点共圆作法. 同上得:?HPC ? ?DAH ∴ A 、D 、P 、H 共同 ∴ ?AHP ? 90? ,?APH ? ?ADH ? 45?? ∴ △APH 等腰Rt△
A B

H

P

D

R

Q

C

(2)法一:轴对称作法 考 虑 △DHQ 等腰Rt△ PD ? CQ 作HR ? PC 于R ∵ ?AHQ ? 152?? ∴ ?AHB ? 62?? ∴ ?DAH ? 17?? ∴ ?DCH ? 17?? 设DP ? x ,则DR ? HR ? RQ ?
1? x . 2

1? x HR 由tan17? ? 得: 2 ? tan17?? CR 1 ?? x
1 ?? tan17?? ∴x? 1 ? tan17??

2

法二:四点共同作法 A 、H 、D 、P 共同 ∴ ?APD ? ?AHB ? 62?? ∴ PD ?? AD
tan 62?? ?? ? tan 28?? tan 62?? 1

29.?

? ?
② ∵CP ≤ 2r ? 2 CP2 ≤ 4 P ? x, ? x ? 2 ??
2

CP 2 ? x 2 ? ? ? x ? 2 ? 2 x2 ? 4 x ≤ 0 x ? x ? 2? ≤ 0
∴0 ≤ x ≤ 2

? 2 x2 ? 4 x ? 4 ≤ 4

当x ? 2 时,P ? 2, 0 ? , P? ? 0, 0 ? 不符合题意
∴0 ? x ? 2

当x ? 0 时,P ? 0, 2 ? , P? ? 0, 0 ? 不符合题意 (2)解:由题意得:A ? 6, 0 ? , B 0, 2 ∴ OA ? OB 3
y

?

3

??

H

O

C

A

x

∴?OAB ? 30??

设C ? x,0 ?? ① 当C 在OA 上时,作CH ? AB 于H 则CH ≤ CP ≤ 2r ? 2 (当x ? 2 时,C 点坐标? 2, 0 ? ,H 点的反称点H ? ? 2, 0 ? 在圆的内部) ② 当C 在A 点右侧时, y C 到线段AB 的距离为AC 长 AC 最大值为2 B ∴ C 点横坐标x ≤ 8 综上所述:圆心C 的横坐标的取值范围2 ≤ x ≤ 8
O A C x

∴ AC ≤ 4 C 点横坐标x ≥ 2


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