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高一数列和不等式知识点


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高一数学数列知识总结
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 )③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法:
2 ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1 a n?1 ? 0 )

a m ? 0 的项数 m 使得 s 取最大值. 三、在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ? m ? ?a m?1 ? 0

(2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 ?a m?1 ? 0

四.数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项.
S ( 1 n ? 1) (2)利用公式法求数列的通项:① a n ? ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

;② ?an ? 等差、等比数列 ?an ? 公式.

(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:① an?1 ? an ? f (n) ;② an?1 ? an f (n). (4) 造等差、 等比数列求通项:an?1 ? pan ? q ; ② an?1 ? pan ? qn ; ③ an?1 ? pan ? f (n) ; ④ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an .

第一节通项公式常用方法
题型 1 利用公式法求通项 例 1:1.已知{an}满足 an+1=an+2,而且 a1=1。求 an。 2.已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,求下列数列 ?an ? 的通项公式: ⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ? 1 ; 总结:任何一个数列,它的前 n 项和 Sn 与通项 an 都存在关系: an ? ? 来,否则就用分段函数表示. 题型 2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项 例 2:⑴已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? n 2 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“ an?1 ? an ? f (n) ” ; 迭乘法适用于求递推关系形如“ an?1 ? an ? f (n) “; ⑵迭加法、迭乘法公式:① an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ② an ? ⑵ Sn ? 2 n ? 1 .

?S1 (n ? 1) 若 a1 适合 an ,则把它们统一起 S ? S ( n ? 2 ) n ?1 ? n

an an ?1 an ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 . an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1

题型 3 构造等比数列求通项 例 3 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.
1

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总结:递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” 适用于待定系数法或特征根法: ①令 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ;② 在 an?1 ? pan ? q 中令 a n ?1 ? a n ? x ? x ? ③由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q ,? an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) . 例 4 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

q ,? an?1 ? x ? p(an ? x) ; 1? p

总结:递推关系形如“ an?1 ? pan ? qn ”通过适当变形可转化为: “ an?1 ? pan ? q ”或“ an?1 ? an ? f (n) n 求解. 例 5 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式.

总结:递推关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ” ,通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习 1、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? 3an ? 2(n ? N ? , n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式. 小结:数列通项的常用方法:⑴利用观察法求数列的通项;⑵利用公式法求数列的通项;⑶应用迭加(迭乘、迭代) 法求数列的通项:① an?1 ? an ? f (n) ;② an?1 ? an f (n).(4)构造等差、等比数列求通项: an?1 ? pan ? q ;② ①

an?1 ? pan ? qn ;③ an?1 ? pan ? f (n) ;④ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an .
3、数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ? n(an?1 ? an ) ,则数列 ?an ?的通项 an ? 4、数列 ?an ?中, an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,且 a10 ? 8 ,则 a4 ? 。 。

2 2 5、设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an ?1 ? nan ? an?1an ? 0(n ? N ? ) ,

则数列 ?an ?的通项 an ? 6、数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ?1 ?

.

2an (n ? N ? ) ,则 ?an ?的通项 an ? 2 ? an

.

7、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ?的通项公式.

第二节数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

2

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1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
3. S n ?

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
4、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1

n

1

1 k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? 6 k ?1
*

n

5. S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

巩固练习:设 Sn=1+2+3+?+n,n∈N ,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。 ? a n a n?1 ?

例2

求数列

1 的前 n 项和 n (n ? 1)

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之 能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ? (3) an ?

1 1 1 (2n) 2 1 1 1 (2) an ? ? ? ? 1? ( ? ) n(n ? 1) n n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

巩固练习:1.在数列

1 1 1 ? ? ? 的前 n 项和为 sn ,则 s99 n(n ? 1) n n ? 1 1 an ? n ? n ? 1 2.数列的通项公式是 ,若前 n 项和为 10,则项数为
6 6 6 6 , , ,??, ,?? n(n ? 1) 3.求数列 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 前 n 项和

三.错位相减法:可以求形如

的数列的和,其中

为等差数列,

为等比数列.

例 1:求和:

.

例 2:数列 1,3x,5x ,?,(2n-1)x 前 n 项的和.

2

n-1

3

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小结:错位相减法类型题均为:

等差数列a n 连续相加。 等比数列bn

四.常用结论

n( n ? 1) 1): 1+2+3+...+n = 2
2 2 2 2 4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? 2 n(n ? 1)? ? ?
3 3 3

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

单元练习
一、选择题: 1.数列 1,3,6,10,??的一个通项公式是( A.n -n+1
2

) C.n(n-1) D.

n( n ? 1) B. 2

n( n ? 1) 2

2.已知数列的通项公式为 an=n(n-1),则下述结论正确的是 ( ) A.420 是这个数列的第 20 项 B.420 是这个数列的第 21 项 C.420 是这个数列的第 22 项 D.420 不是这个数列中的项 3.在数列{an}中,已知 a1=1,a2=5, an+2=an+1-an,则 a2000= ( ) A .4 B.5 C.-4 D.-5 2 4. 设数列{an}的首项为 1, 对所有的 n≥2, 此数列的前 n 项之积为 n , 则这个数列的第 3 项与第 5 项的和是 ( A.

)

25 9

B.

21 25

C.

61 16
)

D.

256 275

4、设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项的和为( A.128 B.80 C.64 D.56

5 记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A、2 B、3 C、6 D、7



6 设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4

S4 ?( ) a2

C.

15 2

D.

17 2


7 若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( (A)12 (B)13 (C)14 8 知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? (A)16( 1 ? 4
?n

(D)15 ) (D)



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( 4 32 ?n ?n (B)16( 1 ? 2 ) (C) (1 ? 4 ) 3

32 ?n (1 ? 2 ) 3


9 常数数列 {an } 是等差数列,且 {an } 的第 5、10、20 项成等比数列,则此等比数列的公比为 (

4

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A.

1 5

B.5

C.2

D.

1 2


10 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 二、填空题 11.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 12.设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ___________。 13.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a12 ? ?8 , S9 ? ?9 ,则 S16 ? 三、解答题 B.45 C.36 D.27

1、设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值

an+an+1 2、已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= 2 ,n∈N*. (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

3、已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式.

4、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? ? ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和 ? ? ? ?

1 1 1 5、已知数列{an}是首项为 a1=4,公比 q=4的等比数列,设 bn+2=3log4an(n∈N*),数列{cn}满足 cn =an· bn. (1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
5

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高中数学必修(5)不等式专题检测
一、选择题 1.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 ( )

A. a ? c ? b ? c

B. ac ? bc

C.

c2 ?0 a ?b

D. (a ? b)c 2 ? 0 (
1 2

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立的是 A.


2

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a?b a

1

C. a 3 ? b 3

D. a 3 ? b 3 )

3.若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ? 3 B. m ? ? 3 C. ? 3 ? m ? 0 4.已知实数 x,y 满足 x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有 ( ) A.最小值 D. m ? ?3或m ? 0

1 和最大值 1 2

B.最小值

3 和最大值 1 4

C.最小值

1 3 和最大值 2 4


D.最小值 1

5.设 x > 0, y > 0, a ? A.a >b

x? y x y ? , b? , a 与 b 的大小关系( 1? x ? y 1? x 1? y
B.a <b
2

C.a ? b

D.a ? b )

6.若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?4 B. a ? ? 4 C. a ? ?12 D. a ? ?12 )

7.若 x ? (0, ) 时总有 loga2 ?1 (1 ? 2x) ? 0, 则实数 a 的取值范围是 ( A. | a |? 1 B. | a |?

1 2

2

C. | a |?

2

D. 1 ?| a |?

2

8.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行走;有一半路 程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n,甲乙两人谁先到达指定地点( ) A.甲 B.乙 C.甲乙同时到达 D.无法判断

?x ? y ? z ? 1 ?3 y ? z ? 2 ? 9.设 x, y, z 满足约束条件组 ? ,求 u ? 2 x ? 6 y ? 4 z 的最大值和最小值( 0 ? x ? 1 ? ? ?0 ? y ? 1
A.8,3 B.4,2 C.6,4 D.1,0



10. 设 f(x)是奇函数, 对任意的实数 x、 y, 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),且当x ? 0时, f ( x) ? 0, 则 f(x)在区间[a,b]上 ( A.有最大值 f (a) B.有最小值 f (a)
6



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C.有最大值 f (

a?b ) 2

D.有最小值 f (

a?b ) 2

二、填空题 11.已知 ?

?1 ? a ? b ? 2 ,求 t ? 4a ? 2b 的取值范围 2 ? a ? b ? 4 ?
x? 1 2



12.已知 0 ? x ? 2,函数y ? 4 13.函数 f ( x) ?

? 3 ? 2 x?2 ? 7的最大值是 M , 最小值是m, 则M ? m ?




x2 ? x ? 1 的值域为 x2 ? 1

14.要挖一个面积为 432m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3m,4m 的堤堰,要想使占地总面积最小,此时 鱼池的长 、宽 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 16.(12 分)设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: ( a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? . a b 2

? 17. (12 分)设 x ? R 且 x ?

2

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值. 2
b 的取值范围. a

18. (12 分)已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 满足 b ? c ? 2a , c ? a ? 2b ,求

19. (14 分)一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 4 5cm2 的面积,问应如何设计 十字型宽 x 及长 y ,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.

20. (14 分)设集合 A ? {x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2ax ? (a ? 2) ? 0}, 若 A? B ? ,求实数 a 的取值范围.

参考答案(二)
一、DBABB ADACB 二、11. [5,10] ; 12.8; 13.
5 5 2 3 3 2 5 3 2

?1 3? , ; ? ?2 2? ?
5 2 3

14.长 24 米,宽为 18 米
3 2 2 3 2 2 2 2 3 3

三、15.证:(a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b ) = a (a ? b ) ? b (a ? b ) = (a ? b ) (a ? b ) 7

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2 2 2 2 2

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= (a + b)(a ? b) (a + ab + b )∵a, b 都是正数,∴a + b, a + ab + b > 0 又∵a ? b,∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
16.证:∵

ab ?

a?b 1 ? 2 2

∴ ab

?

1 4
2



1 ?4 ab
2


2 2

1 1? 1 1? a?b ? 1 ? ? ? ? ? 2 a? ?b? ? 1? ? ? 1? 1? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 25 ?1? 4 ? a b a b ab ab ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? ) ? (b ? ) ? 2 ?2 ?2 ?2 ? 2? ? ? a b 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 y2 2[ x ? ( ? )] 2 2 2 2 ,又 x 2 ? ( 1 ? y ) ? ( x 2 ? y ) ? 1 ? 3 2 2 2 2 2 2
2

17.解:∵ x

?0

∴x

1 y2 1? y2 ? 2 ? x2 ( ? ) ? 2 2
即 (x

∴x

1 3 3 2 1 ? y 2 ? 2( ? ) ? 2 2 4

1 ? y 2 ) max ?

3 2 4
y

?1 ? x ? y ? 2 ? x ? y ? 1 ? 2x c a ? 18.解:解:设 x ? , y ? ,则 ? ,作出平面区域(如右图) , a b y ? x ? 1 ? ? ? x ? 0, y ? 0
由图知: A( , ) , C ( , ) ,∴

y ?1 ? 2x
1
A ?1 O B
D

C x ? y ?1
2 x

2 1 3 3

3 1 2 2

2 3 2 b 3 ? x ? ,即 ? ? . 3 2 3 a 2

4 5 ? x2 2 19.解:设 y ? x ? 2h, 由条件知: x ? 4xh ? 4 5, 即 h ? , 4x
设外接圆的半径为 R,即求 R 的最小值,

y ? x ? 1 ?1

x? y ? 2
x ? y ?1

? 4 R 2 ? x 2 ? (2h ? x) 2 ? 2( x 2 ? 2hx ? 2h 2 ), 4 5 ? x 2 80 ? 8 5 x 2 ? x 4 ? 2 R ? f ( x) ? x ? ? 4x 8x 2
2 2

等号成立时,

5 2 10 x ? 2 ? x ? 2, ∴当 x ? 2 时 R2 8 x

? 5?

5 2 10 25 x ? 2 (0 ? x ? 2 R ),? 2 R 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5, 8 4 x

最小,即 R 最小,从而周长 l 最小,此时 x ? 2cm, y ? 2h ? x ? 5 ? 1cm. 20.解? A ? {x | x ? 1或x ? 4},? A ? B ? 的意义是方程 x 2 ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 有解, 且至少有一解在区

间 (??,?1) ? (4,??) 内,但直接求解情况比较多,如果考虑“补集” ,则解法较简单. 设全集 U ? {a | ? ? (2a) 2 ? 4(a ? 2) ? 0} ? {a | a ? ?1或a ? 2} 且 P ? {a | 关于x的方程x 2 ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 的 两根都在[1,4]内}记 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? (a ? 2), ∴方程 f ( x) ? 0 的两根都在[1,4]内

8

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?? ? 0 ? f (1) ? 0 ? ?? ? f ( 4) ? 0 ? ?1 ? a ? 4

?a ? 1或a ? 2 ?3 ? a ? 0 ? ?? ?18 ? 7 a ? 0 ? ?1 ? a ? 4

, 解得2 ? a ?

18 , 7

? P ? {a | 2 ? a ?

18 18 } ,∴所求实数 a 的取值范围是 CU P ? {a | a ? ?1或a ? } 7 7

9


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