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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第3章 拓展资料:演绎推理的三种类型


演绎推理的三种类型
“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质;其实, 我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结 论.显然,只要一般性原理正确,推理形式不出错误,那么由此产生的结论一定 正确;这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程;具体到一 个数学问题,我们使用演绎推理时,常常表现为下述三种类型,这里向你介绍, 也许对你深入理解演绎推理会有所帮助. 一、显性三段论 在证明过程中,可以较清楚的看出“大前提” 、 “小前提” 、 “结论” ;结合演绎 推理我们可以知道结果是正确的.也是演绎推理最为简单的应用. 例1 当 a,b 为正数时,求证:
a?b ≥ ab . 2

证明:因为一个实数的平方是非负数, 而
? a a?b a?b b? 是一个实数的平方,所以 ? ab 是非负数,即 ? ab ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ?
2

a?b ? ab ≥ 0 . 2

所以,

a?b ≥ ab . 2

评析:在这个问题的证明中,三段论是很显然的;大前提: “一个实数的平方 是非负数” ,小前提: “
a?b a?b ,结论: “ ? ab 是一个实数的平方” ? ab 是非负 2 2

数” ,从而产生最后结果;由于大前提是人所共知的真理,推理形式正确,因而, 结论正确. 二、隐性三段论 三段论在证明或推理过程中,不一定都是清晰的;特别是大前提,有一些是 我们早已熟悉的定理、性质、定义,对这些内容很多时候在证明或推理的过程中 可以直接利用,不需要再重新指出;因此,就会出现隐性三段论. 例2 判断函数 f ( x) ?
1 ? x2 ? x ? 1 1 ? x2 ? x ? 1

的奇偶性.

解:由于 x ? R ,且

f ( x) 1 ? x2 ? x ? 1 1 ? x2 ? x ? 1 2 x ? · ? ? ?1 ? f (? x) ? ? f ( x) , f ( ? x) 1 ? x2 ? x ? 1 1 ? x 2 ? x ? 1 ?2 x

-1-

故函数为奇函数. 评析:在这个推理过程中,好似未用到演绎推理的三段论,其实不然,只是 大前提“若 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数 f ( x) 奇函数;若 f ( x) ? f (? x) ,则函数 f ( x) 是偶函 数”是大家熟悉的定义,推理过程中省略了.这是三段论推理的又一表现形式. 三、复式三段论 一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,在证或推 的过程中要多次使用三段论,从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论;而这个 结论又是下一步的大前提,依次递推下去,最终产生结论,这就是所谓的复式三 段论.可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程,基本上都是复式三段论. 例3 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ?
n(a1 ? an ) ,求证:数列 ?an ? 为等差数列. 2

分析:本题的论证共有三层,即三次使用三段论推理,请看: 第一层,大前提“若 s n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 an ? sn ? sn?1 ” ;小前提“数列

?an ? 的前 n 项和为 sn ?

an ? a1 n ?1 ? ” ; an ?1 ? a1 n ? 2

n(a1 ? an ) n(a ? a ) (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ,则 an ? 1 n ? ” ;结论 2 2 2

第二层,大前提“对于非零数列 ?an ? ,则有 an ? a1 ? 足

? a2 ? ? ? a1 ?

? an ? ;小前提“满 ? ?” ? an ?1 ?

an ? a1 a ? a a ? a1 a ? a1 n ?1 ? ) 3 1· 4 · · n 的数列 ?an ? 有 an ? a1 ? (a2 ? a1 · ” ;结论 an ?1 ? a1 n ? 2 a2 ? a1 a3 ? a1 an ?1 ? a1

“ an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) ” ; 第三层,大前提“对于数列 ?an ? ,若 an ? an?1 ? 常数,则 ?an ? 是等差数列” ;小
a 为常数” 前提 “由 an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) , 得 an ? an ?1 ? a ; 结论 “数列为等差数列” , 2 ?1

在这三层中,层层深入,步步逼近,慢慢的向我们要论证的结论靠拢,这是一种 很重要且很实用的分析思维过程.

-2-


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