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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:4.3 三角函数的图象与性质_图文

4.3

三角函数的图象与性质

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -2-

考纲要求 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最 小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间 - ,
π π 2 2

内的单调性.

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -3-

1.周期函数及最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个 值时,都有

f(x+T)=f(x) ,则称

f(x)为周期函数,T 为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正 数,则这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期.

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -4-

想一想 1.因为 sin(60° +60° )=sin 60° ,所以 sin x 的周期 T=60° ,这种认识 正确吗? 答案:这种认识不正确.理由如下:

周期性是函数的整体性质,要求对于函数在整个定义域范围内 的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常数.如果只有 个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期.
2.是否每一个周期函数都有最小正周期? 答案:不一定.如常数函数 f(x)=a,每一个非零数都是它的周期.

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -5-

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义 域 值域

x∈R {y|-1≤ y≤1}

x∈R {y|-1≤ y≤1}

x∈R 且 x≠ +
2

π

kπ,k∈Z R

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -6-

函数

y=sin x 在 - + 2kπ, + 2kπ
π 2 π 2

y=cos x

y=tan x

单 调 性

上递增,k∈Z;在 π 3π + 2π, + 2kπ 2 2 上递减,k∈Z x=
π 2

在 [(2k-1)π,2kπ] 递增,k∈Z; 在 [2kπ,(2k+1)π] 递减,k∈Z

上 上

在 - + kπ, + kπ
2 2 π π

上递增,k∈Z

+2kπ

(k∈Z) (k∈Z) x= 2kπ 时,ymax=1;x= (k∈Z) π+2kπ 无最值

最值

时,ymax=1; x= - +2kπ
2 π

时,ymin=-1

(k∈Z)时,ymin=-1

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -7-

续表 函数 奇偶性 对 称 性 最小正 周期 y=sin x 奇 (kπ,0),k∈Z x=kπ+ ,k∈Z
2 π

y=cos x 偶 π + ,0 ,
2 π

y=tan x 奇
π 2

,0 ,

k∈Z x=kπ,k∈Z 2π

k∈Z 无对称轴 π



第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -8-

基础自测
1.下列函数中,在 A.y=sin x C.y=sin 2x
π ,π 2

上是增函数的是(

)

B.y=cos x D.y=cos 2x

关闭

y=sin x 和 y=cos x 在 2 x 在 ,π 上是增函数. D 2
π

π 2

,π 上是减函数,y=sin 2x 在 ,π 上不单调,y=cos
2
关闭

π

解析

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -9-

2.函数 y=cos 2 +
π 2 π B.x=4 π C.x= 8

π 2

的图象的一条对称轴方程是(

)

A.x=-

D.x=π

令 2x+ =kπ(k∈Z),即 x=
2

π

π 2

? (k∈Z),检验知,x=- ,故选 B.
4 4
关闭

π

π

关闭

B
解析 答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -10π 4 π 4

3.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f
π 4

的值是( ) B.1 C.-1 D.
π 4

A.0

由题意,周期 T= ,
4

π

关闭

∴ ω= =4.则 f A

π

π 4

=tan 4 ×

π 4

=tan π=0.故选 A.
解析

关闭

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -11-

4.(2013 江苏高考)函数 y=3sin 2 +

π 4

的最小正周期为

.

关闭

T= =π.
2
关闭



π
解析 答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -12-

5.函数 y= 16- 2 + sin 的定义域为

.

要使函数有意义,则

-4 ≤ ≤ 4, 16- ≥ 0, ∴ 2π ≤ ≤ 2π + π(∈Z), sin ≥ 0,

2

关闭

∴ -4≤x≤-π 或 0≤x≤π. [-4,-π ]∪[0,π] 即函数的定义域为 [-4,-π]∪[0,π].
解析

关闭

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -13-

考点一

三角函数的定义域与值域
.

【例 1】 函数 y=lg sin 2x+ 9- 2 的定义域为

π < < π + ,k∈Z, sin2 > 0, 2 依题意有 解得 即函数的定义域为 2 9- ≥ 0, -3 ≤ ≤ 3, 关闭 π π -3≤ ≤x < <-- ,或 ,或0<x< 0 <π x .< 3 2 22 2
解析 考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法 答案



关闭

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -14-

方法提炼 1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数 线或三角函数图象来求解. 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用 sin x,cos x 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的 范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值 域(最值)问题.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -15-

举一反三 1 函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为(
A.[-1,1] C. - ,1
5 4

)

B. - ,-1 D. -1,
5 4

5 4

关闭

令 t=sin x,则 t∈[-1,1],y=t +t-1= +

2

1 2 2

? ,t∈[-1,1],∴ y∈ - , 1 .
4 4
关闭

5

5

C
解析 考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法 答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -16-

考点二

三角函数的单调性

关闭 ∵ 函数 f(x)的最小正周期为 6π, 【例 2】 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小 2π 1 π 1 π π ∴ =6π,得 ω= ,在 x= 时,函数 f(x)取得最大值,∴ × +φ=2kπ+ (k∈Z).又 3 3 2 2 π2 正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( )

f(x ),在区间 [-f2 π),0] 上是增函数 ∵ -π<A. φ≤ π ∴ φ= .∴ (x =2sin x + .由 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 3 3 3 2 3 3 2 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 f(x 在区间 π∈ ,5π ]) 上是减函数 6kπ- C. π≤ x)≤ 6kπ+ [3 (k Z . 2 2 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数
5 π

π

2

1

π

π

1

π

π

∴ f(x)的增区间是 6π- π,6π +
2

5

π 2

(k∈Z),取 k=0,得 - π, 是 f(x)的一个
2 2
关闭

5

π

增区间 .∴ 函数 f(x)在区间[-2π,0]上是增函数. A
解析 考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法 答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -17-

方法提炼 1.熟记 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区 间的基础. 2.求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx+φ 看作一个整体 代入 y=sin x 的相应单调区间即可,注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数. 求 y=Acos(ωx+φ)+k 和 y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似. 3.与单调性有关的逆向问题可结合图象来解决.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -18-

举一反三 2 已知 ω>0,函数 f(x)=sin + 4 在

π

π ,π 2

单调递减,则 ω

关闭 的取值范围是( ) π 函数 f(x)=sin + 的图象可看作是由函数 f(x)=sin x 的图象先向左

1 5 平移A. 个单位得 , 4 2 4
π 1

1 3π y=sin B. + , 2 44

4

的图象,C. 再将图象上所有点的横坐标缩小到原 0, D.(0,2]
π 4

1 2

来的 倍且纵坐标不变得到的,而函数 y=sin + 要使函数 f(x)=sin +
1 π 4



π 5π 4 π 4 5π 4

,

4

单调递减,所以 ≤ ,
2 π



π 2

,π 单调递减,需满足

× ×

1

1

≥ π,

解得
关闭

≤ω≤ . 2 4 A
解析 考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法

5

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -19-

考点三

三角函数的周期性、奇偶性和对称性
.(写出所有正确命题的序号)
3 2

【例 3】 下列命题中正确的是 ①存在 α 满足 sin α+cos α= ; ②y=cos
7π -3x 2

是奇函数;
5π 9π
关闭

π ③ y=4sin + + 的一个对称中心是 - ,0 ; 对于① ,sin2α cos 2,故不存在 α 满足 4 α= 2·sin + ,其最大值为 8

sin α+cos α= ,①错 ;对于②,y=cos -3x =-sin 3x 是奇函数 ,②正确;对于③, π π 2 2 ④ 的图象可由 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位得到. 9y= π sin 29π 5π 4 4 当 x=- 时,y=4sin 2 × + =4sin(-π)=0,故③正确;对于 关闭 8 8 4 ②③ π π ④,y=sin 2- 的图象可由 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位得到,故④错.
4 8

3



4

解析 考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -20-

方法提炼 1.求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义; (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 (3)利用图象. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)为奇函数的充要条件为 φ=kπ(k∈Z);函数 y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)为偶函数的充要条件为 φ=kπ+ (k∈Z). 3.三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的 图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心(正切函数无对称 轴),并注意数形结合思想的应用.
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
π 2

2π π ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 ; || ||

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -21-

举一反三 3 下面有五个命题:
①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π. ②终边在 y 轴上的角的集合是 α =
2π 2

k ,k∈Z 2

.

关闭

③ 在同一坐标系中 ,, 函数 y=sin x 的图象和函数 ①化简得 y=-cos 2x 最小正周期为 =π.真命题;y=x 的图象有三个公共 点.
②终边在 y 轴上的角的集合是 = π π + ,k∈Z ,假命题; π 2 ④把函数 y=3sin 2 + 的图象向右平移 个单位得到 y=3sin 2x 的图
3 6
π

象. ③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象,只有一个公 共点,假命题; π ⑤函数 y=sin - 在(0, ππ)上是减函数. π 2 ④把函数 y=3sin 2 + 的图象向右平移 个单位得到 3 6 其中真命题的序号是 . π π y=3sin 2 - + =3sin 2x 的图象,真命题;
6 3

①④ ⑤函数 y=sin -

π 2

关闭

在(0,π)上是增函数.假命题.
解析 答案

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -22-

考点四 三角函数的图象和性质的综合应用
【例 4】(2013 山东高考)设函数 f(x)= 2 ? 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求 ω 的值;
3 3 1-cos2 1 3 ? 3sin2ωx- sin ωx cos ωx= ? 3· ? sin 2ωx= cos 2 2 2 2 2 1 π π 2ωx- sin 2ωx=- sin 2- .因为函数 f(x) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 2 3 4 2π π 又 ω>0,所以 =4× .因此 ω=1. 2 4 π 3π 5π π 8π 3 π (2)由(1)知 f(x)=- sin 2- .当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ .所以- ≤ sin 2- ≤1, 3 2 3 3 3 2 3

3

π

(2)求 f(x)在区间 π,

解:(1)f(x)=

3π 2

上的最大值和最小值.

关闭

因此-1≤f(x)≤

3 3π 3 .故 f(x)在区间 π, 上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 2 2

解 解 考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -23-

方法提炼 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式往往渗透在研究三 角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)的形 式,再进一步探讨定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性 等性质.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -24-

举一反三 4(2013 安徽高考)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin + (ω>0) 4
的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间 0,
π 2

π

上的单调性.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -25-

解:(1)f(x)=4cos ωx·sin +


π 4

=2 2sin ωx·cos
π 4

ωx+2 2cos2ωx= 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2=2sin 2 + 最小正周期为 π,且 ω>0,从而有 =π,故 ω=1. (2)由(1)知 f(x)=2sin 2 + 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤
2 4 4 π π π π π π 2 π 4 4 π

+ 2.因为 f(x)的

+ 2.



.

当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增;
4 4 2 8

当 ≤2x+ ≤
2 4

π

π

5π 4

,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减.
8 2 π π π 8 8 2

π

π

综上可知,f(x)在区间 0, 上单调递增,在区间 , 上单调递减.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -26-

思想方法

分类讨论思想在三角函数中的应用
π 3

【典例】 已知函数 f(x)=2asin 21,最小值为-5,求 a 和 b 的值.

+b 的定义域为 0,

π 2

,函数的最大值为

分析:①求出 2x- 的范围,求出 sin 2-

π 3

π 3

的值域.②系数 a 的正、 负影响

着 f(x)的值,因而要分 a>0,a<0 两类讨论.③根据 a>0 或 a<0 求 f(x)的最值, 列方程组求解.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -27-

解 :∵ 0≤x≤ ,∴ - ≤2x- ≤ π, ∴ - ≤sin 23 2 π 3

π 2

π 3

π 3

2 3

≤1 .

2 + = 1, = 12-6 3, 若 a>0,则 解得 - 3a + b = -5, = -23 + 12 3. 若 a<0,则 2 + = -5, = -12 + 6 3, 解得 - 3a + b = 1, = 19-12 3.

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3,b=19-12 3.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -28-

答题指导(1)对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界 性或单调性求出 y=asin(ωx+φ)或 y=acos(ωx+φ)的最值,但要注意对 a 的正 负进行讨论,以便确定是最大值或是最小值.(2)再由已知列方程组求解.(3) 本题的易错点恰是考生忽视对参数 a>0 或 a<0 的分类讨论,导致漏解.(4) 对于正弦型或余弦型函数的值域,不仅要关注振幅,更要关注定义域对结果 的极大影响.

考点一

考点二

考点三

考点四

思想方法

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -291 2 3 4 5

1.函数 y=2sin A.2- 3 C.-1

π π 6 3

(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( B.0 D.-1- 3

)

关闭

当 0≤x≤9 时,- ≤
3

π

π 6

? ≤
3

π

7π 6

,- ≤sin
2

3

π 6

?

π 3

≤1,所以函数的最大值
关闭

A 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. 为
解析 答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -301 2 3 4 5

2.若函数 f(x)=sin

+ (φ∈[0,2π])是偶函数,则 3

φ=(

)
关闭

∵ f(x)=sin π A.
2 3π C. 2
3

+ 3

是偶函数, 2π B.
3

3

∴ f(0)=± 1 .∴ sin =± 1. ∴ =kπ+ (k∈Z).
2 π

D.

5π 3

∴ φ=3kπ+ (k∈Z).
2



又∵ φ∈[0,2π], ∴ 当 k=0 时,φ= .故选 C. 2 C
解析

关闭

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -311 2 3 4 5

3.函数 y=ln(sin x-cos x)的定义域为

.

关闭

由已知得 sin x-cos x>0,即 sin x>cos x.在[0,2π]内满足 sin x>cos x 的 x 的集合为
π 5 4 4

, π .又正弦、余弦函数的周期为 2π,
π 5
关闭

∴ 所求定义域为 + 2kπ<x< π + 2π,∈Z . 4 4 π 5 +2kπ<x< π + 2π,∈Z
4 4

解析

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -321 2 3 4 5

4.函数 y=2sin -

π 4

的单调递增区间为

.

关闭

由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z),得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z),可知函数的
2 4 2 4 4
π 3π2π- π ,2kπ 单调递增区间为 2π- ,2kπ + (k∈Z 4) 4 4

π

π

π

π



+

3π 4

(k∈Z).
解析

关闭

答案

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -331 2
2

3

4

5

5.已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos . (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; (2)令 g(x)=f +
π 3

4

4

,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由.

第四章

4.3

三角函数的图象与性质 -341 2
2

3
π 3

4

5

解:(1)f(x)=sin + 3cos =2sin
2 2





+

,

∴ f(x)的最小正周期 T= 当 sin 当 sin
2 2


1 2

=4π.

+ +

π 3 π 3

=-1 时,f(x)取得最小值-2, =1 时,f(x)取得最大值 2.
2

(2)由(1)知 f(x)=2sin 又 g(x)=f + ∴ g(x)=2sin
1 2 π 3 π 3

+

π 3

,

, +
π 3

+
2

=2sin

2

+

π 2

=2cos .
2



∴ g(-x)=2cos -

=2cos =g(x),∴ 函数 g(x)是偶函数.
2