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江西省赣州市2015年5月高三适应性考试数学试题(文)及答案(扫描版)


赣州市 2015 年高三年级适应性考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2. 回答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答且卡一并交回。 2015 年 5 月

6.点 ( x, y ) 在由 | y |? x 与 x ? 2 围成的平面区域内(含区域边界) ,则 z ? 2 x ? y 的最大值与 最小值之和为 A. 2 B. 4 C. 6 D.8 7.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了 20 袋,称得重量如下条形图
频数 5 5 5 5 4 4 4 4 频数 6 6 频数 6 6

7

8 9 10 甲厂

重量

7

8 9 10 乙厂

重量

7

8 9 10 丙厂

重量

s1, s2 , s3 分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检重量的标准差,则有
A. s2 ? s1 ? s3 B. s1 ? s3 ? s2 C. s3 ? s1 ? s2 D. s3 ? s2 ? s1

8.把函数 y ? cos(2 x ? ? )( ? ? 于直线 x ? A. ?

? ? ) 的图像向左平移 个单位,得到函数 y ? f ( x) 的图像关 2 6

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每一小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. sin 300 ?
o

? 12

?? 对称,则 ? 的值为 12 ? B. ? 6
B. ?? D.???

C.

? 6

D.

? 12

2 4 4 主视图 左视图 2

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

1 A. 2

3 B. 2
B. y ? ? 2x

1 C. ? 2 1 C. y ? ? x 2

3 D. ? 2
D. y ? ?2 x

A. ?? C.???

2.双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 2 的渐近线方程为

2 A. y ? ? x 2

10.若函数 f ( x) ? e x ? x2 ? ax 在区间 (0, ??) 上存在减区间, 则实数 a 的取值范围是 A. (??, ??) B. (1, ??) C. (0, ??)

4 2 4 俯视图

1, 2? , ? 3.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A I ? UB ?? U ( A U B) ? ?4? ,则集合 B 为
A. ?3? B. ?3,5? C.?2,3,5? D.?1,2,3,5?

D. (2, ??)

11.一椭圆的中心在原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,点 P 是椭圆上一点,线段 PF1 与 y 轴的交 点 M 是该线段的中点,若 PF2 ? MF2 ,则椭圆的离心率等于

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 A 的值为
否 开始

A ? 0, i ? 1

A ? 2 A ?1

i ? i ?1

i ? 5?



输出A

结束

A.

1 2

B.

2 2
1 3

C.

1 3

D.

3 3

A. 7 B. 31 C. 29 D.15 5.将甲、乙、丙三位新同学分到 2 个不同的班级,每班至少 1 人,则甲、乙被分到同一个班 的概率为 A.

( ) x0 ? log 1 x0 ” ( ) x0 ? log 1 x0 ? x0 ” : ?x0 ? (0, ) , n“ : ?x0 ? (0, ??) , 12. 有命题 m “ , .

1 2 3 3 则在命题 p1 : m ? n , p2 : m ? n , p3 : (?m) ? n 和 p4 : m ? (?n) 中,真命题是
A. p1 , p2 , p3 B. p2 , p3 , p4 C. p1 , p3 D. p2 , p4

1 2

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

高三数学(文科)试题

第 1 页(共 5 页)

高三数学(文科)试题

第 2 页(共 5 页)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答,第 22~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.复数 z 满足 z (2 ? i) ? 3 ? 6i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 . 1 , 14.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上以 2 为周期的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? log 2 (4 x ?1) , 3 , 13 则 f( )? . 5 4 15.已知向量 OA ? (2,3) , OB ? (?3, 2)( O 为坐标原点),若 AC ? BO ,则向量 OC 与

称为中老年,请根据上表完成答题卡中的 2 ? 2 列联表, 态度 并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联. 年龄
中青年 中老年 总计

赞成

不赞成

总计

n(ad ? bc)2 参考公式和数据: ? ? , (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )
2

?2
A 、 B 关联性

? 2.706
无关联

? 2.706
90 0 0

? 3.841
95 0 0

? 6.635
99 0 0

uur

uu u r

uuu r uu u r

uuu r

uuu r OB 的夹角为



(19 )(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形,
E A A1

?CAD ? 30o ,BC ? 2 7 , 16.在 ?ABC 中, 点 D 是 BC 的中点, 若 AB ? AD , 则 ?ABC
面积为 . 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 1 ,且 2a1 , a3 ? 1 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当 a1 ? 0 时,记 bn ? n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
a

侧面 BB1C1C 是矩形, D 、 E 分别是线段 BB1 、 AC1 的中点.
C

C1 B1

(Ⅰ)求证: DE ∥平面 A1B1C1 ;

B

D

(Ⅱ)若平面 ABC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 4 ,求三棱锥 A ? DCE 的体积. (20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 在 C 上且其横坐标为 1 ,以 F 为

(18)(本小题满分 12 分) 目前我国很多城市出现了雾霾天气, 已经给广大人民的健康带来影响.其中汽车尾气排 放是造成雾霾天气的重要因素之一, 很多城市提倡绿色出行方式, 实施机动车尾号限行. 某 市为了解民众对“车辆限行”的态度,随机调查了 50 人,并将调查结果制成下表:

圆心、 FP 为半径的圆与 C 的准线 l 相切. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 l 与 x 轴交点 E ,过点 E 作一条直线与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的垂直平分线在 x 轴上的截距的取值范围. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

年龄(岁) 频数 赞成人数

?15,25? ?25,35? ?35,45? ?45,55? ?55,65? ?65,75?
5 4 10 6
15

9

10 6

5 3

5 4

(Ⅰ)若从年龄在 55,65? 的被调查者中随机选取 2 人 进行跟踪调查,求恰有 1 名不赞成“车辆限行”的概率; (Ⅱ)把年龄在 15,45? 称为中青年,年龄在 45,75? 高三数学(文科)试题 第 3 页(共 5 页)

?

1 2 1 ax ? ln x ? (a ? 1) x ? a ( a 为常数) . 2 2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 1, ?? ? 的最小值为 ?1 ,求实数 a 的取值范围. 高三数学(文科)试题 第 4 页(共 5 页)

?

?

?

请考生在第 22、23、24 两题中任选一题做答,并用 2B 铅笔将答题卡上把所选题目对 应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分。 (22) (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,已知 e O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是 e O 的直径. (Ⅰ)求证: AC ? BC ? AD ? AE (Ⅱ)过点 C 作 e O 的切线交 BA 的延长线于点 F , 若 AF ? 4 , CF ? 6 ,求 AC 的长. (23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?
O B E D C F A

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正 ? y ? sin ?
? ?? ) ? 2 2 . 4

半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(

(Ⅰ)将曲线 C 上各点的纵坐标伸长为原来的两倍,得到曲线 C1 ,写出曲线 C1 的极坐 标方程; (Ⅱ) 射线 ? ?

? ? 与 C1 、l 的交点分别为 A 、B , 射线 ? ? ? 与 C1 、l 的交点分别为 A 1、 6 6

B1 ,求 ?OAA1 与 ?OBB1 的面积之比.
(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ) )若 a, b ? R 且 a ? 2 , b ? 2 ,求证: a ? b ? a ? b ? f ( x) .

高三数学(文科)试题

第 5 页(共 5 页)

赣州市 2015 年高三适应性考试文科数学参考答案
一、选择题 1~5.DABDB; 二、填空题 13. ?3 ; 三、解答题 17.解: (Ⅰ)由 an ?1 ? an ? 1 知数列 {an } 是公差为 1 的等差数列??????????1 分 所以 a3 ? 1 ? a1 ? 3 , a8 ? a1 ? 7 ???????????????????????2 分 依题意知 (a1 ? 3)2 ? 2a1 (a1 ? 7) ,即 a12 ? 8a1 ? 9 ? 0 ??????????????? 3 分 解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?9 ????????????????????????????4 分 当 a1 ? 1 时, an ? n ????????????????????????????5 分 当 a1 ? ?9 时, an ? ?10 ? n ?????????????????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n ,所以 bn ? n ? 2n ???????????????????7 分 6~10.CCBCB;
o

11~12.DA.

14. ?2 ;

15. 135 ;

16. 2 3 .

Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? L ? n ? 2n ??①????????????????????8 分 2Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 23 ? L ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ??②???????????????9 分
① ? ②得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ??????????10 分 所以 Sn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ??????????????? ???? ???????12 分 18.解: (Ⅰ)记年龄在 [55,65) 的被调查者分别为 1, 2,3, 4,5 ,其中 1, 2,3 赞成“车辆限行” ,则从这 5 人中任取 2 人的所有情况是: (1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5) , (2,3),(2, 4),(2,5) ,
[来源:Zxxk.Com]

(3, 4),(3,5),(4,5) ,共 10 种情况??????????????????????2 分
其中 (1, 4) , (1,5) , (2, 4) , (2,5) , (3, 4) , (3,5) 共 6 种情况恰有 1 名不赞成“车辆限行”?? ??????????????? ??4 分 所以恰有 1 名不赞成“车辆限行”的概率为

3 ? ????????????????6 分 5
态度 年龄 中青年 中老年 总计 赞成 19 13 32 不赞成 11 7 18 总计 30 20 50

(Ⅱ) 2 ? 2 列联表如图所示??????9 分

?2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )

50(133 ? 143)2 ? 2.706 ??????????????????????11 分 即? ? 32 ?18 ? 30 ? 20
2

说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联???????????????1 2 分 19.解: (Ⅰ)取棱 A1C1 的中点 F ,连接 EF 、 B1 F ??1 分 则由 EF 是 ?AA1C1 的中位线得 EF ∥ AA1 , EF ?
A E C H B D F C1 B1 A1

1 AA1 2

1 又 DB1 ∥ AA1 , DB1 ? AA1 ????????????3 分 2

所以 EF ∥ DB1 , EF ? DB1 ????????????????????????4 分 故四边形 DEFB1 是平行四边,从而 DE∥ B1 F ?????????????????5 分 所以 DE∥ 平面 A1 B1C1 ???????????????????????????6 分 (Ⅱ)因为 E 是 AC1 的中点,所以 VA? DCE ? VD? ACE ? VD? ACC1 ? VA?CDC1 ?????7 分 过 A 作 AH ? BC 于 H ??????????????????????????8 分 因为平面 ABC ? 平面 BB1C1C ,所以 AH ? 平面 BB1C1C ???????????9 分

1 2

1 2

1 1 1 4 VA?CDC1 ? hS?CDC1 ? ? 3 ? ? 2 ? 4 ? 3 ?????????????????11 分 3 3 2 3 1 2 所以 VA? DCE ? VA?CDC1 ? 3 ????????????????????????12 分 2 3
20.解: (Ⅰ)因为以 F 为圆心、 | FP | 为半 径的圆与 C 的准线 l 相切, 所以圆的半径为 p ,即 | FP |? p ???????????????????????2 分 所以 FP ? x 轴,又点 P 的横坐标为 1 ?????????????????????3 分 所以焦点 F 的坐标为 (1, 0) ,从而 p ? 2 ????????????????????4 分 (Ⅱ)由( Ⅰ)知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 D( x0 ,0) ???????5 分
2 ? 4 x2 , 则由 | DA |?| DB | , y12 ? 4 x1 , y2

2 得 ( x1 ? x0 )2 ? y12 ? ( x2 ? x0 )2 ? y2 ,化简得 x0 ?

x1 ? x2 ? 2 ??①?????????7 分 2

设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 ,代入抛物线 C 的方程?????????????8 分 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0 得 m2 ? 1 ????????????????????9 分 由根与系数关系得 y1 ? y2 ? 4m 所以 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? 4m2 ? 2 ???????10 分 代入①得 x0 ? 2m2 ? 1 ? 3 ??????????????????????????11 分 故线段 AB 的垂直平分线在 x 轴上的截距的取值范围是 (3, ??) ?????????12 分 21.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ??????????????????1 分

f ( x) ? x2 ? ln x ? 3x +1 , f ?( x) ? 2 x ?
当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 当

1 2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?3? ? ?????3 分 x x x

1 时, f ?( x) ? 0 ???????????????4 分 2
[来源:学科网 ZXXK]

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ??????????????????????????5 分 2 1 1 故 f ( x) 的单调减区间是 ( ,1) ,单调增区间是 (1, ??) 和 (0, ) ??????????6 分 2 2 (ax ? 1)( x ? 1) (Ⅱ ) f ?( x) ? ??????????? ?????????????8 分 x
当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 f ( x) ? f (1) ? ?1 ???9 分 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ) 上单调递减, 所以,当 x ? (1, ) 时, f ( x) ? f (1) ? ?1 ,不合题意??????????????10 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 [1, ??) 上单 调递减, 所以 f ( x) ? f (1) ? ?1 ,不合题意??????????????????????11 分 综上 所述,实数 a 的取值范围是 [1, ??) ???????????????????12 分 22.解: (Ⅰ)连接 BE ,则 ?ABE 为直角三角形????????????1 分 所以 ?ABE ? ?ADC ? 90? .又 ?AEB ? ?ACB ????????????2 分 所以 ?ABE

[来源:学科网]

1 a

1 a

F

?ADC ,所以

AB AE ??????????3 分 ? AD AC

A

即 AB ? AC ? AD ? AE ,又 AB ? BC ??????????4 分 故 AC ? BC ? AD ? AE ????????????????5 分 (Ⅱ)因为 FC 是 O 的切线,所以 FC 2 ? FA ? FB ???6 分

B E

O D C

[来源:Z§xx§k.Com]

又 AF ? 4 , CF ? 6 ,从而解得 BF ? 9 , AB ? BF ? AF ? 5 ??????????7 分 因为 ?ACF ? ?CBF , ?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ?CFB ?????????8 分

AF AC ??????????????????????????????9 分 ? CF CB AF ? CB 10 即 AC ? ? ???????????????????????????10 分 CF 3
所以 23.解: (Ⅰ)在曲线 C 的参数方程 ?

? x ? 2cos ? y ( ? 为参数)中用 代 y ????1 分 2 ? y ? sin ?

得到曲线 C1 的参数方程 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,化为普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ??3 分 ? y ? 2sin ?

故曲线 C1 的极坐标方程 ? ? 2 ???????????????????????5 分 (Ⅱ)依题意知点 A 、 A1 的极坐标分别为 (2, ),(2, ? ) ???????????6 分 设 B 、 B1 的极坐标分别为 ( ?1 , ) , ( ?2 , ? ) ????????????????7 分

π 6

π 6

π 6

π 6

2 2 2 2 8 16 ? ? ? ? 32 ??????8 分 π π π π π π π π π sin( ? ) sin( ? ) cos( ? )sin( ? ) cos 4 6 4 6 4 6 4 6 3 1 所以 S?OAA1 ? 2sin 60? , S?OBB1 ? ?1?2 sin 60? ? 16sin 60? ????????????9 分 2
则 ?1 ?2 ? 故

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

S?OAA1 S?OBB1

?

1 ???????????????????????????????10 分 8

24.解: (Ⅰ) f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 ? 1 ? x ? x ? 3 ? (1 ? x) | ?( x ? 3) ? 4 ????4 分 函数 f ( x) 的最小值为 4??????????????????????????5 分 (Ⅱ)若 (a ? b)(a ? b) ? 0 ,则 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a |? 4 ????7 分 若 (a ? b)(a ? b) ? 0 ,则 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | b |? 4 ???????9 分 因此, | a ? b | ? | a ? b |? 4 而 f ( x) ? 4 ,故 | a ? b | ? | a ? b |? f ( x) ????????????????????10 分


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