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数学(理)卷·2014届山东省济南一中高三12月月考试题(2013.12)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1. 若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =
2

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(

)

1 A. ( , ??) B. (1, ??) 2 1 C. [0, ] ? [1, ??) 2

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1 D. (??, ] ? [1, ??) 2 ??? ? ?? ??? ? ?? ? ?? ? ?? 2. 若 O 为 平 行 四 边 形 ABCD 的 中 心 , AB ? 4e1 , BC ? 6e2 ,3e2 ? 2e1 等 于



) ???? A. AO

??? ? B.BO


??? ? C.CO

???? D.DO

3. 下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e x0 ? 0 C. a ? b ? 0 的充要条件是

B. ?x ? R,2 x ? x 2
a ? ?1 b

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件

4. 已 知 两 条 直 线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 , l 2 : 3 x ? ay ? 2 ? 0 且 l1 ? l 2 , 则 a = ( ) 1 A. ? 3
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B.
?? ? ? ? ? ,? ? 2 ? ?

1 3

C. ?3 ,

D. 3

5. 若 ( A.
3 5

?? 1 ? tan ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? 4? 7 ?
C. ?
3 5

) B.
4 5

D. ? (

4 5

6. 函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? A. (0 , 1)

2 的零点所在的大致区间是 x



B. (1 , 2)

C. ( 2 , e)

D. (3, 4)

7. 在 等 比 数 列 { an } 中 , 若 a2 ? a3 ? 2 , a12 ? a13 ? 3 , 则 a22 ? a23 的 值 是 ( A.
9 4

) B.
4 9

C.

9 2

D.

2 9

第 1 页 共 9 页

?y ? 1 ? 8. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数z ? x ? y 的最小值为 ? 1,则实数 ?x ? y ? m ?

m 等于( ) A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 9. 已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式中,正确的是 1 A. log 2 a ? 0 B. 2a ?b ? 2
C. a
a b ? b a





?

1 D. log 2 a ? log 2 b ? ?2 2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正 a2 b2

10. 已知 F1、F2 是双曲线

三 角形,若双曲线恰好平分正三角形的另两边,则双曲线的离心率是 ( ) A. 4 ? 2 3 B.
3 ?1 C. 3 ? 1 D. 3 ? 1 2

11. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?
g ( x) ? cos 2 x

?
2

)的图象如图所示,为了得到 要 将
f ( x)























A.向右平移

?
6

个单位长度

B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

?

12

个单位长度

?

6

个单位长度 个单位长度

?

12

12. 已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3) , y ? f ( x ? 1) 的图象 关于点 (1, 0) 对称,则 f (2013) ? ( A. 0 B. ?4 C. ?8 D. ?16 )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 由 曲 线 y ? x , 直 线 y ? x ? 2 及 y 轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 ________________.
第 2 页 共 9 页

? ? ? ? ? ? 14. 已知 | a |? 3,| b |? 2,| a ? b |? 7, 则 ? a, b ? 为

.

15. 设直线 x ? my ? 1 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A , B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3 ,则实数 m 的值是 .

16. 若抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 3,延长 PF 交抛物线于 Q , 若 O 为坐标原点,则 S ?OPQ = .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a, b 的值;
?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

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(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值 范围。

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 4sin 2 (Ⅰ)求 ?A 的度数; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值.
B?C 7 ? cos 2 A ? , 2 2

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n }的前n项和为S n , 且有a1 ? 2,3S n ? 5a n ? a n ?1 ? 3S n ?1 (n ? 2). (Ⅰ)求数列 a n 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? (2n ? 1)a n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 20. (本小题满分 12 分) ax 已知函数 f ( x) ? 2 在 x ? ?1 处取得极值 ?2 . x ?b (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式;

第 3 页 共 9 页

(Ⅱ)求函数 f ( x) 单调区间.

21. (本小题满分 13 分) x x x x x x 已 知 AC = (cos ? sin , ? sin ) , BC = (cos ? sin , 2 cos ) , 设 2 2 2 2 2 2
f ( x ) ? AC ? BC .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调递减区间;
? ? ?? (Ⅲ)设有不相等的两个实数 x1 , x2 ? ? ? , ? ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ,求 x1 ? x 2 的 ? 2 2?

值. 22. (本小题满分 13 分) 如图, AB 为圆 O 直径,已知 A(?2, 0)、B(2, 0) , D 为圆 O 上的一点,

? ? 且 OA ? OD ? 0 , Q 为线段 OD 的中点,曲线 C 过 Q 点,动点

G 在曲线 C 上运动且保持 GA ? GB 的值不变
(Ⅰ)求曲线 C 的方程;
(Ⅱ)过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、N ,且 M 在 D、N 之间,设

DM ?? DN





?









第 4 页 共 9 页

第 5 页 共 9 页

第 6 页 共 9 页

= cos x ? sin x = 2 (cos x ? = 2 cos( x ?

2 2 ? sin x ? ) 2 2
………………2 分 ……………4 分

?
4

)

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? 2? (Ⅱ) 又由 2k? ? x ? 得 ?

?
4

? ? ? 2k? , k ∈Z,

3? ? 2k? , k ∈Z. 4 4 ? 3? 故 f ( x) 的单调递减区间是 [? ? 2k? , . ? 2k? ] ( k ∈Z) 4 4 ? 2k? ? x ?

?

………….8 分

(Ⅲ)由 f ( x) ? 1 得 2 cos( x ?

?

? 2 . ) ? 1 ,故 cos( x ? ) ? 4 2 4

………….9 分

又 x ? ??

? ? ? ? 3 ? ? ? ?? , ? ,于是有 x ? ? ? ? , ? ? ,得 x1 ? 0, x2 ? ? 2 4 ? 4 4 ? ? 2 2?

………11 分

所以 x1 ? x2 ? ?

?
2

.

……………13 分

第 7 页 共 9 页

3 ?k2 ? , 5

?4 ?

80 16 ? 1 3( 2 ? 5) 3 k
DM ? 0, DN

……………………………………10 分

?4 ?

(1 ? ? ) 2

?

?

16 , 3

?? ?

1 ? 解得 ? ? ? 3 ① 3
又? M 在 D、N 之间? ? ? 综上可得
品…中&高*考*网】

……………………………………12 分

DM ?1 ② DN
……………………………………13 分
【来源:全,

1 ? ? ?1 3

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