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江西省余江县第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题

余江一中 2014—2015 高二(下)期中考试数学 (文)
命题:郑晶金

一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分。)

1. 在由一组样本数据(x1, y1), (x2, y2), ?, (xn, yn)(n≥2, x1, x2, ?, xn 不全相等)的点所构成的散点图中, 若所有样本点(xi, yi)(i=1, 2, ?, n)都在直线 y=-2x+1 上,则这组样本数据中变量 x,y 的相关系数 为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2、若复数 z 满足 ?3 ? 4i ?z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( ) A.4 B. ? 4 C.
4 5

D. ?

4 5

3、 用反证法证明命题: “三角形的三个内角中至少有一个不大于 60° ” 时, 先作出和结论相反的假设, 其中, 所作的假设正确的是 ( A.假设三内角都不大于 60° )

B.假设三内角都大于 60°

C.假设三内角至多有一个大于 60°D.假设三内角至多有两个大于 60° 4.实数 x 满足 log3x=1+sinθ ,则|x-1|+|x-9|的值( A.7 B.8 C.9 ) . 1 ≥2(x≠kπ,k∈Z); sin x ) D.与 θ 有关

5.下列不等式一定成立的是(
? 1? ①lg?x2+4?≥lg x(x>0); ? ?

②sin x+

③x2+1≥2|x|(x∈R); A.①②

1 ④ 2 >1(x∈R). x +1 C.①③ D.②④

B.②③

6.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和 为偶数”, 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”, 则 P(B|A)=( ) 1 2 1 1 A. B. C. D. 4 5 2 3 7.极坐标方程(p-1)(θ-π)=0(p≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.一个圆和一条射线 C.一个圆和一条直线 D.一条直线和一条射线

8.若 1 ? 2i 是 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则 (



A. b ? 2, c ? 3 B. b ? ?2, c ? 3 C. b ? ?2, c ? ?1 D. b ? 2, c ? ?1 9. 已知 x, y, z, a, b, c, k 均为正数, 且 x2+y2+z2=10, a2+b2+c2=90, ax+by+cz=30, a+b+c=k(x+y+z),则 k=( ) A.
1 9

B.

1 3

C.3

D.9

10.设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)
? x ? cos x?x ? 0? 11.函数 f ?x ? ? ? 的零点个数为( ?1 3 x ? 4 x ? 1?x ? 0? ? ?3

) D. 无数个

A.4

B.3

C.2

1 2 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 且 对 于 任 意 的 x 都 有 f(2-x)+f(x)=0 恒 成 立 , 如 果 实 数 m,n 满 足 不 等 式 组 则 m2+n2 的 取 值 范 围 是 ( ) B.(9,25) C.(9,49) D.(13,49)

A.(3,7)

试卷Ⅱ(共 90 分)
二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分.请把答案写在答题纸上)

13.设 x1,x2,x3,x4,x5 是 1,2,3,4,5 的任一排列,则 x1+2x2+3x3 +4x4+5x5 的最小值是________.
1? 14.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈ ? ? 0, ? 都成立,则实数 a 的 ? 3?

最小值为________. 15.对任意实数 x,若不等式 x+ 3x-2a|≥3 恒成立,则实数 a 的取值 | 范围是________.

16、 在平面几何中, 若正三角形的内切圆面积为 S 1 , 外接圆面积为 S 2 , 则
S1 1 ? ,类比上述命题,在空间中,若正四面体的内切球体积 V1 , S2 4
V1 ? _____. V2

外接球体积为 V2 ,则

三、解答题(本题共 6 个小题,其中第 17 题 10 分,其余各题 12 分共计 70 分。请把解答 过程写在答题纸上)

17. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽 样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 男 是否需要志愿者 需要 不需要 40 160 30 270 女

⑴估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; ⑵能否有 99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助 与性别有关?

18.已知实数 x,y 满足 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, (1)求 xy 的最小值. (2)求 x+y 的最小值.

19、已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x)≤4 的解集为{x|-1≤x≤2},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数n使得 f(n)≤t-f(-n)成立,求实数 t 的取值范围.

20.已知关于 x 的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值. (2)若复数 z 满足| -a-bi|-2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并 求出|z|的最小值.

21、在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 p=2cosθ,θ? [0, ]。 (1)在直角坐标系下求曲线 C 的方程; (2)设点 D 在曲线 C 上,曲线 C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(1)中你得到的曲线 C 的方程,在直角坐标系下求 D 的 坐标。 22、已知 a>0,函数 f(x)=lnx-ax2,(f(x)的图像连续不断) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若存在均属于区间[1,3]的 α,β,且 β-α≥1,使 f(α)=f(β),证明 ln3-ln2 ln2 ≤a≤ . 5 3
? 2

余江一中 2014—2015 高二年级期中考试数学答案(文) 1-5 BCBBC , 6-10 ABBCD , 11-12 BD ,
13.

35

14.

?

10 3


9 ? 15. ? ? ,?? ? ?2 ?

16.

1 27

17 解: (1) (2) 由于 9.967>6.635,



所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关;

18 解:因为 x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 ,当且仅当 2x=8y 时取等号.所以 所以 xy≥64.故 xy 的最小值为 64. (2)由 2x+8y=xy,得: + =1, 所以 x+y=(x+y)·1=(x+y)

≥8,

=10+ + ≥10+8=18 当 x=2y 时取等号.故 x+y 的最小值为 18. 19 解:(1)由|2x-a|+a≤6,得|2x-a|≤6-a,
∴a-6≤2x-a≤6-a,即 a-3≤x≤3, (2)由(1)知 f(x)=|2x-1|+1. 令 φ(n)=f(n)+f(-n), ∴a-3=-2,∴a=1.

2-4n n≤- , ? ? 1 12 则 φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=?4 -2<n≤2, ? . ?2+4n n>1 2

1

)

∴φ(n)的最小值为 4,故实数t的取值范围是[4,+∞).

20 解: (1) 因为 b 是方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈ R) 的实根 , 所以 (b2-6b+9)+(a-b)i=0, 所以 解得 a=b=3.

(2)设 z=s+ti(s,t∈R),其对应点为 Z(s,t), 由| -3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2), 即(s+1)2+(t-1)2=8, 所以 Z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,2 为半径的圆,如图所示,

当 Z 点在 OO1 的连线上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO1|=
21 解: (1)

,半径 r=2

,所以当 z=1-i 时,|z|有最小值且|z|min=

.

C的普通方程式为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1),
(2) D 的直角坐标系为 (1 ? cos , sin

?

?

1-2ax2 1 22 解:(1)f′(x)=x-2ax= x ,x∈(0,+∞). 2a 令 f′(x)=0,解得 x= . 2a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2a 2a 2a x (0, ) ( ,+∞) 2a 2a 2a f′(x) + 0 - 极大 f(x ) ? ? 值 2a 2a 所以,f(x)的单调递增区间是(0, ),f(x)的单调递减区间是( , 2a 2a +∞). 2a (2)证明:由 f(α)=f(β)及(1)的结论知 α< <β, 2a 从而 f(x)在[α,β]上的最小值为 f(α),又由 β-α≥1, α,β∈[1,3],知 1≤α≤2≤β≤3. ? ? ?f?2?≥f?α?≥f?1?, ?ln2-4a≥-a, 故? 即? ?f?2?≥f?β?≥f?3?. ?ln2-4a≥ln3-9a. ? ? ln3-ln2 ln2 从而 ≤a≤ . 5 3

3

3 3 ),即( , )。 3 2 2


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