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高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件:1-2 排列与组合2_图文

第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第二课时 排列的应用(一) 课 时 学 案 课 后 巩 固 1.排列应用题的最基本的解法 (1)直接法:以元素为考查对象,先满足特殊元素的要求,再 考虑一般元素(又称为元素分析法);或以位置为考查对象,先满 足特殊位置的要求,再考虑一般位置(又称位置分析法). (2)间接法:先不考虑附加条件,计算出总排列数,再减去不 合要求的排列数. 2.解与排列有关的应用题时应注意以下几点 (1)注意排列的有序性,分清全排列与选排列,防止重复与遗 漏. (2)对受限制条件的位置与元素应首先排列, 并适当选择直接 法或间接法. (3)同一问题,有时从位置分析法入手较为方便,有时从元素 分析法入手较为方便,应注意灵活运用. (4)要通过解答排列应用题, 深化对分步计数原理和分类计数 原理的认识,培养“全局分类”和“局部分步”的意识,并在具 体操作中确保两点:一是分类要使得各类的并集等于全集,任意 两类的交集为空集,这样才能不重不漏;二是分步要使得各步具 有连续性、独立性,也要保证“不重不漏”.在分类与分步的过 程中,要善于画树形图. 课 时 学 案 题型一 例1 的排法: 元素分析法 (1)9 名同学排成一排,在下列条件下各有多少种不同 ①甲只能在中间或两头位置; ②甲、乙两人必须排在两头. (2)用 0,1,2,3 这 4 个数字能组成多少个没有重复数字的四位 数? 解析 (1)①将 9 个元素(同学)分成两类:甲为特殊元素,其 1 余 8 人为一般元素,所以完成这件事需分两步:先排甲有 A3 种方 8 法,再排另外 8 人有 A8 种. 1 8 ∴共有 A3 · A8=120 960(种). 2 ②先排甲、乙两人有 A2 种方法,再排其余 7 人有 A7 7种方法. 2 7 ∴共有 A2 · A7=10 080(种). (2)0 为特殊元素,1、2、3 为一般元素,先排 0 有 A1 3种方法, 3 3 再排 1、2、3 有 A3 种方法,∴共有 A1 A3 =18(个). 3· 探究 1 元素分析法,关键分清哪些是特殊元素,哪些是一 般元素,特殊元素优先考虑. 思考题 1 (1)7 人排成两排,前排 3 人,后排 4 人,若甲必 须在前排,乙必须在后排,则共有________种不同的排法. 解析 1 5 A1 · A · A 3 4 5=1 440. 答案 1 440 (2)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班, 每人值班 一天,其中甲、乙两人都不安排在 5 月 1 日和 2 日.不同的安排 方法共有________种.(用数字作答) 解析 将人视为元素,日期视为位置,先安排甲、乙两人 2 有 A5 种方法,再安排其余 5 人,有 A5 5种方法.由分步计数原理 2 5 知共有 A5 · A5=2 400 种. 答案 2 400 题型二 例2 中: (1)有多少个奇数; (2)有多少个偶数; 位置分析法 用 0,1,2,3,4,5, 这六个数字组成的无重复数字的四位数 (3)有多少个大于 3 125 的数. 解析 (1)本题是有限制条件的数字排列问题,条件是末位 必须排 1,3,5,首位不能排 0. 1 第一步:排末位有 A3 种方法:第二步:排首位有 A1 4种方法; 2 1 2 第三步:排中间两个位置有 A4 种方法,∴共有 A1 · A · A 3 4 4=144 种 方法. 1 (2)若用(1)中的方法,先排末位有 A3 种方法(从 0,2,4 中选一 个)则排首位就涉及到末位排的是 0 还是 2,4 中的一个,所以,本 3 小题需分类讨论:①若末位排 0,则有 A5 个;②若末位不排 0, 1 2 则末位有 A2 种排法.再排首位有 A1 种,再排中间两位有 A 4 4种, 1 1 2 ∴末位不是 0 的有 A2 · A4· A4个. 3 1 2 由①②知,共有 A5 +A1 2A4A4=156(个). 3 (3)第一类:首位可排 4,5,有 A1 种,其余各位有 A 2 5种,此类 1 3 共有 A2 · A5种; 1 第二类:首位排 3,下一位可排 2,4,5 有 A3 种,其余两位有 2 2 A4 种,此类共有 A1 A 3 4种; 第三类:首位排 3,下一位排 1,第三位可排 4,5 中的一个有 1 A2 种,第四位可从剩下的 3 个数中取一个有 A1 3种, 1 1 1 3 1 2 ∴此类共 A2 A3种,因此,大于 3 125 的数共有:A2 A5+A3 A4 1 1 +A2 A3=162(个). 探究 2 关于数字排列问题是排列组合问题中的常见题目, 其解法仍是从分析特殊元素或特殊位置入手, 恰当分类(或分步), 如果问题中涉及到元素“0”,那么 0 往往是分类的关键. 思考题 2 (1)用 0,1,2,3,4 这五个数字中的三位数字,组成无 重复数字的三位数,则共有________个偶数. 答案 30 (2)在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中, 不能被 5 整除的数共有________个. 解析 法. 不能被 5 整除实质上是末位数字不是 0 或 5, 用间接 1 3 所有 4 位数有 A5 · A5=300 个. 3 末位为 0 时有 A5 =60 个, 1 2 末位为 5 时有 A4 · A4=4×12=48 个, ∴共有 300-60-48=192 个. 答案 192 题型三 间接法(去杂法) 例 3 (1)6 个人站成一排. ①若甲不站在排头,也不站在排尾,有多少种不同的排法? ②若甲不站在排头,乙不站在排尾,有多少种不同的排法? (2)用 0,1,2,3,4 这 5 个数字能组成多少个没有重复数字的四位 数? 思路分析 排列数. 间接法(去杂法

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