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3.4基本不等式(1)


第三章 不等式

3.4 基本不等式(1)

科目 高二数学 班级 姓名 时间 2014-10-20 一、学习目标: 1.了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最值问题. 二、学习过程: (一)自主学习:重要不等式的探究(请同学们阅读课本第 问 1:在正方形 ABCD 中,设 AF=a,BF=b,则 AB= 页,回答下面问题) 。

则正方形的面积为 S=

问 2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE 是全等三角形, 它们的面积总和是 S’= 问 3:观察图形 S 与 S’有什么样的大小关系? 问 4:那么它们有相等的情况吗?何时相等?

问 5:当 a,b 为任意实数时,a2+b2≥2ab 还成立吗?

(二)探究学习:基本不等式的证明与变形 (阅读 - 页,回答下面问题) 1.思考:如果用 a , b 去替换 a2+b2≥2ab 中的 a,b 能得到什么结论?a,b 必须要满足 什么条件?

2.如何证明基本不等式?

3.基本不等式有哪些变形?

(三)基本不等式的简单应用 a?b (a ? 0, b ? 0) ? 应用一: ab ? 2 1 例 1. 若 x>0,求 y ? x ? 的最小值。 x

变式 1:若 x>0,求 y ? 3 x ?

12 的最小值。 x b a ? 的最小值。 ( 问 : 在结论成立的基础上 , 条件 a b

变式 2 :若 a>0 , b>0, 求 y ?

“a>0,b>0”可以变化吗?)

变式 3:若 x>3,求 y ? x ?

1 的最小值。 x?3

a?b (a ? 0, b ? 0) ? 2 例 2. 若 0<x<1,求 y ? x(1 ? x) 的最大值。

应用二: ab ?

变式: 若 0<x<1,求 y ? x(1 ? x) 的最大值。

小结:基本不等式:

应用基本不等式的要点: 练习 1:设 0<a<1,给出下列不等式其中恒成立的是 _________
(1) a (1 ? a ) ? 1 4 (2)a 2 ? 1 ? 1 ?2 a ?1
2

练习 2:下列各式中,用基本不等式可以得到最小值 4 的是(
A. y ? x ? 4 x B. y ? sin x ? 4 ? (0 ? x ? ) sin x 2 C. y ? 8 x ?


1 ( x ? 0) 2x


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