四川省成都市2013届高三一诊考前模拟试题二(数学文)

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四川省 2012 年成都市高 2013 级（高三） 一诊模拟考试数学试题二（文）
（考试时间： 2013 年 1 月 4 日 总分：150 分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的。 1、已知全集 U ? R ，集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} ， B ? {x | y ? lg( x ? 1)} ，则 (CU A)
2

B=

（

） A. {x | x ? 2或x ? 0} B. {x |1 ? x ? 2} C.

?x | 1 ? x ? 2}

D. {x |1 ? x ? 2}

2、如图，在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的向量分别是

OA ， OB ，则复数
A.第一象限

z1 对应的点位于（ z2
B.第二象限

） C.第三象限 ） D. 8 ） D.第四象限

3、在等比数列 ?an ? 中， a2010 ? 8a2007 ，则公比 q 的值为（ A. 2 B. 3 C. 4

4、已知向量 a ? (cos ? ,sin ?) ，向量 b ? ( 3,1) ，则 2a ? b 的最大值和最小值分别为（ A． 4 2,0 B． 4, 0 C． 16, 0 D． 4, 4 2 ）

5、执行如图所示的程序框图，若输入 x ? 2 ，则输出 y 的值为（ A． 2 B． 5 C． 11 D． 23

? x ? y ? 0, ? 6、 若实数 x ， y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为（ ?0 ? x ? 3, ?
A．9 B．3 C．0 D．-3

）

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7、 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为 12 3 cm3 ． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ A． 4 3 cm2 B. 2 3 cm2 C. 8cm 2 ） D. 4cm2

?? x2 ? ax, x ? 1, 8、 已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ，使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立，则实 x ? 1, ?ax ? 1,
数 a 的取值范围是（ A. a < 2 ） C. - 2 < a < 2 D. a > 2 或 a < - 2 B. a > 2

9、 设 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ，且

f (? x) ? f ( x则 ) (
A. y ? f ( x) 在 (0,

)

) 单调递减 4 ? ? 3? ) 单调递增 C. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递增 D. y ? f ( x) 在 ( , 4 4 2 10、 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数， 对 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立， f ?? 1? ? ?2 ， 2 ) 单调递减 4

?

B. y ? f ( x) 在 (

? 3?
,

) 等于 ( 则 f (2013
A． ?2

) B． ?1 C． 2 D． 2013

第Ⅱ卷（非选择题，共 100
o

分）
。

二．填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上） 11、已 | a |? 2sin 75?,| b |? 4cos75?, a与b 的夹角为 30 ，则 a ? b 的值为 12、某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计， 得到样本频率分布直方图(如图)，则这 1000 名学生在该次自主 招生水平测试中不低于 70 分的学生数是 。
0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 分数 频率 组距

13、已知 a ? 0, b ? 0 ，若不等式

2 1 m ? ? 恒成立，则 m 的最大值是 a b 2a ? b
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，若 f (a) ? 4 ，则实数 a ? __________ x?0 15. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ，若存在闭区间 [a, b] ? D ，使得函数 f ( x ) 满足： 14 、设函数 f ( x ) ? ?
2 ?x ,

? ? x, x ? 0

① f ( x ) 在 [ a, b] 内是单调函数； ② f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ，则称区间 [ a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有_______ ① f ( x) ? x 2 ( x ? 0) ； ③ f ( x) ? ② f ( x) ? ex ( x ? R) ； ④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

4x ( x ? 0) ； x ?1
2

1 8

三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， OA ? (2 sin 2 x,1),OB ? (1,?2 3 s i xn c ox s ? 1) ，

f ( x) ? OA ? OB ? m 。
（1）求 y ? f ( x) 的单调递增区间； （2）若 f ( x) 的定义域为 [

?
2

, ? ] ，值域为 ?2,5? ，求 m 的值。

17、（本小题满分 12 分） 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了 100 名电视 观众，相关的数据如下表所示：

（1） 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名， 大于 40 岁的观众应该抽取几 名？ （2）在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.
w_w*w

PA ^ 18、 在四棱锥 P - ABCD 中，AB // CD ，AB ^ AD ，AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 ，
平面 ABCD ， PA = 4 . （1）设平面 PAB 平面 PCD ? m ，求证： CD // m ； （2）求证： BD ? 平面 PAC ； （3）求三棱锥 D-PBC 体积
P

A C

D

19、已知 {an } 是等差数列，其前 n 项和为 Sn， {bn } 是等比

B

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数列，且 a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 ，

S 4 ? b4 ? 10 .
（Ⅰ）求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式； （Ⅱ）记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn ， n ? N ，求 T n 的值（ n ? N ）.
* *

20、 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后， 发现一天中环境综合 放射性污染指数 f ( x ) 与时刻 x（时）的关系为 f ? x ? ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? ， x ?1 3
2

其中 a 是与气象有关的参数， 且 a ? [0, ] ， 若用每天 f ( x ) 的最大值为当天的综合放射性污 染指数，并记作 M (a) ． （1）令 t ?

1 2

x ， x ??0, 24? ，求 t 的取值范围； x ?1
2

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标？ 21、 若函数 f ( x ) 满足： 在定义域内存在实数 x0 ， 使 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? f (k )（k 为常数） ， 则称“ f ( x ) 关于 k 可线性分解” （1）函数 f ( x) ? 2 ? x 是否关于 1 可线性分解？请说明理由；
x 2

（2）已知函数 g ( x) ? ln x ? ax ? 1(a ? 0) 关于 a 可线性分解，求 a 的范围； （3）在（2）的条件下，当 a 取最小整数时,求 g ( x) 的单调区间；

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四川省 2012 年成都市高 2013 级（高三） 一诊模拟考试数学试题二（文）
（考试时间： 2013 年 1 月 4 日 一、选择题 题 号 选 项 二、填空题 11.____________________ 13. ___________________ 15. ____________________ 三、解答题 16. 12.__________________ 14.____________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 总分：150 分）

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17

18
P

A C B

D

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19

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四川省 2012 年成都市高 2013 级（高三） 数学试题二参考答案

一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 A 8 A 9 A 10 (理)D(文)C

二．填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上） 11、 12、（理）

3

。

3 _______(用数字作答). 5
。

（文） 600 13、 9

14（理）___3_______ （文）___ 2 或-4_______ 15.有__①③④_____ 三．解答题：注意文理打分不同 步骤或证明过程。 本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，演算

16. 解：（Ⅰ） f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m ……2 分 = 1 ? cos2x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2 sin( 2 x ? 由

?
6

)?2?m
……6 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? (k ? Z ) 2

得 y ? f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? （Ⅱ）当

?
6

, k? ?

7? ? 13? ? 2x ? ? 2 6 6 6 ? 1 ∴ ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? 6 2

?

2? ] (k ? Z ) 3

? x ? ? 时，

∴ 1 ? m ? f ( x) ? 4 ? m ，∴ ?
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?1 ? m ? 2 ? m ? 1 ……12 分 ?4 ? m ? 5
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17.（理）(本小题满分 12 分,第一问 2 分，第二问 5 分。第三问 5 分)

（文）．（本小题满分 12 分） 解：（1）在 100 名电视观众中，收看新闻的观众共有 45 人，其中 20 至 40 岁的观众有 18 人，大于 40 岁的观众共有 27 人。 故按分层抽样方法，在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

……4 分

（2）法一：由（2）可知，抽取的 5 人中，年龄大于 40 岁的有 3 人，分别记作 1，2，3； 20 岁至 40 岁的观众有 2 人，分别高为 a , b ，若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ，则包含 的总的基本事件有： (1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 ：

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个.
故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=

6 3 ? ； 10 5

……12 分

18、 （1）证明： 因为 AB // CD ， CD ? 平面 PAB ， AB ? 平面 PAB ， 所以 CD //平面 PAB . 因为 CD ? 平面 PCD ，平面 PAB 所以 CD // m . 平面 PCD ? m ，

……4 分

（2）证明：因为 AP ^ 平面 ABCD ， AB ^ AD ，所以以 A 为坐标原点， AB, AD, AP 所

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在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 B(4, 0, 0) ， P(0, 0, 4) ， D(0, 2 2,0) ， C (2, 2 2,0) . 所以 BD ? (?4,2 2,0) ， AC ? (2, 2 2,0) ，
z P

AP ? (0,0, 4) ，
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ，

BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC ， BD ? AP . 因为 AP AC ? A ， AC ? 平面 PAC ，
B x

A C

D y

PA ? 平面 PAC ， 所以 BD ? 平面 PAC . ……8 分 PQ = ? （其中 0 ＃? 1 ）， Q( x, y, z) ，直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? . （3）解：设 PB
所以 PQ =

? PB .所以 ( x, y, z - 4) = ? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) ? ? ? ? ? z = - 4? + 4,
所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) . 由（Ⅱ ）知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4,2 2,0) .

因为 sin ? = cos < CQ, BD > =

CQ ×BD CQ ×BD

，

所 以

3 ?4(4? ? 2) ? 8 ? 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2
……12 分

. 解 得

??

7 ? [0,1] . 所 以 12

PQ 7 = . PB 12

（文科） VD ? PBC ? VP ? BCD ?

1 8 2 S BCD PA ? 3 3

……12 分

19、. 解：（I） an ? 3n ? 1 ； bn ? 2n .

……6 分

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n

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（II）错位相减法 T n = 10 ? 2 ? 6n ? 10 ……（文）12 分（理）10 分 T n +12=10 2 -6n+2
n

-2a n +10b n =10 2 -6n+2

n

(理)12 分

20【解】（1）当 x ? 0 时，t＝0；

当 0 ? x ? 24 时，

x?

1 ?2 x （当 x ? 1 时取等号），

t?
∴

x 1 ? 1? ? ? ? 0, ? ? 1? x ?1 x ? 1 ? 2 ? 0, ? ? 2? ． x ? ，即 t 的取值范围是
2

…… 4 分

? 1? 2 a ? ?0, ? g ? t ? ? t ? a ? 2a ? ? 2 ? 时，记 3 （2）当

2 ? ?t ? 3a ? , 0 ? t ? a ? ? 3 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ? 则

∵

g ?t ?

在

?0, a?

? 1? ? a, ? 上单调递减，在 ? 2 ? 上单调递增，

…… 8 分

2 ?1? 7 1? ?1? ? g ? 0 ? ? 3a ? , g ? ? ? a ? , g ? 0 ? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? 3 ?2? 6 4 ?． ?2? ? 且

? ?1? 1 ? 7 1 g ? ?,0 ? a ? a ? ,0 ? a ? ? ? ? 2 4 ? 6 4 M ?a? ? ? ? ? ?? ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? 3 4 2. ? ? 4 2 ? 故
a?
∴ 当且仅当

4 4 4 1 0?a? ?a? M a ? 2 ? ? 9 时， 9 时不超标，当 9 2 时超标． . 故当
……12 分

21、（以下是理科打分，文科求出单调区间即 12 分）

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