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直线与圆位置关系知识点与经典例题学案

直线与圆位置关系 一.课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系; 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。 二.知识框架 相离 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 代数法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 过圆外一点的切线方程 切点弦 方程 几何法 直线与圆 求切线的方法 三.直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心 O ( a, b)到直线Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2 与半径 r 的大小来判定。 (1) d ? r ? 直线与圆相交 (2) d ? r ? 直线与圆相切 (3) d ? r ? 直线与圆相离 2.联立直线与圆的方程组成方程组,消去其中一个未知量,得到关于另外一个未知量的一元二次方程,通过解的 个数来判定。 (1)有两个公共解(交点) ,即 ? ? 0 ? 直线与圆相交 (2)有且仅有一个解(交点) ,也称之为有两个相同实根,即 ? ? 0 ? 直线与圆相切 (3)无解(交点) ,即 ? ? 0 ? 直线与圆相离 3.等价关系 相交 ? d ? r ? ? ? 0 相切 ? d ? r ? ? ? 0 相离 ? d ? r ? ? ? 0 练习 (位置关系)1.已知动直线 l : y ? kx ? 5 和圆 C : ( x ? 1) ? y ? 1 ,试问 k 为何值时,直线与圆相切、相离、相 2 2 交? (位置关系)2.已知点 M ( a, b) 在圆 O : x ? y ? 1 外,则直线 ax ? by ? 1 与圆 O 的位置关系是() 2 2 1 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 2 2 (最值问题)3.已知实数 x 、 y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 , (1)求 y x ? y ?1 和 的最大值和最小值; x?2 x (2)求 x ? y 的最大值和最小值;(3)求 x ? y 的最大值和最小值。 2 2 〖分析〗考查与圆有关的最值问题,解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解,运用数形结合 的方法,直观的理解。?转化为求斜率的最值;?转化为求直线 y ? x ? b 截距的最大值;?转化为求与原点的距 离的最值问题。 (位置关系)4.设 m, n ? R ,若直线 ( m ? 1) x ? ( n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 相切,则 m ? n 的取值 2 2 范围是 (位置关系)5.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12 x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是 6.直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角是 ( A、 ) ? 6 B、 2 ? 4 2 C、 ? 3 D、 ? 2 ) (位置关系)7.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( C. 1 ? A. 2 B. 1 ? 2 2 2 D. 1 ? 2 2 (最值问题)8.设 A 为圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上一动点,则 A 到直线 x ? y ? 5 ? 0 的最大距离为______. 9.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为( A. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 2 2 2 2 ) B. x ? y ? 4 x ? 0 2 2 2 2 C. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 2 D. x ? y ? 4 x ? 0 (数形结合)10.若曲线 y ? 1 ? x 与直线 y ? x ? b 始终有两个交点,则 b 的取值范围是__________. 2 变形题 1:若曲线 y ? 3 ? 4 ? x 与直线 y ? kx ? 5k ? 6 始终有两个交点,则 k 的取值范围是__________ 2 变形题 2:若点 P ( x, y ) 是曲线 x ? 1 ? 4 ? y 动点,则 2 y?4 的取值范围是 x?6 (对称问题)11.圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆 C 2 的方程为:( 2 2 ) A. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 2 2 B. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 2 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 2 2 2 2 D. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 2 2 变试题:圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆 C 2 的方程为 (圆中的弦长问题)1. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N 两点,若 | MN |? 2 3 , 2 2 则 k 的取值范围是( A. [ ? ,0] ) 3 4 B. [ ? 3 3 , ] 3 3 C. [ ? 3, 3] D. [ ? ,0] 2 3 2.圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒相交于两点; (2)求⊙C 与直线 l 相交弦长的最小值. 四.计算直线被圆所截得的弦长的方法 1.几何法:运用弦心距、半

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