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小学数学奥数方法讲义40讲(3)


第二十一讲

守恒法

应用题中的数量有的是变化的,有的是始终不变的。解应用题时,抓住始终 不变的数量,分析不变的数量与其他数量的关系,从而找到解题的突破口,把应 用题解答出来的解题方法,叫做守恒法,也叫抓不变量法。 (一)总数量守恒 有些应用题中不变的数量是总数量, 用守恒法解题时要抓住这个不变的总数 量。 例 1 晶晶要看一本书,计划每天看 15 页,24 天看完。如果要 12 天看完, 每天要看多少页?如果改为每天看 18 页,几天可以看完?(适于三年级程度) 解: 无论每天看多少页, 总是看这一本书, 只要抓住这本书的“总页数不变” 这个关键,问题就好办了。 这本书的总页数是: 15×24=360(页) 如果要 12 天看完,每天要看的页数是: 360÷12=30(页) 如果改为每天看 18 页,看完这本书的天数是: 360÷18=20(天) 答略。 此题由于第一步是用乘法求出总数,因此也叫做“归总”应用题。 *例 2 用一根铁丝围成一个长 26 厘米,宽 16 厘米的长方形。用同样长的铁 丝围成一个正方形,正方形所围成的面积是多少?(适于三年级程度) 解: 这根铁丝的长是不变的量,铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相 同。即: 26×2+16×2 =52+32 =84(厘米)

正方形的边长是: 84÷4=21(厘米) 正方形所围成的面积是: 21×21=441(平方厘米) 答略。

解:书架上书总的本数是不变的数量,设它为单位 1。从“上层书的本

书总的本数分成 5 份,上层的书占总本数的

因此,书总的本数是:

原来书架的上层有书:

原来书架的下层有书: 90-18=72(本)

(二)部分数量守恒 当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时, 要抓住这个不变的部分数量 解题。 例 1 一辆汽车,从甲站到乙站,要经过 20 千米的平路,45 千米的上坡路, 15 千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行 40 千米,在上坡路上每小时 行 30 千米,在下坡路上每小时行 45 千米。照这样的速度行驶,这辆汽车在甲、 乙两站间往返一次需要多少时间?(适于五年级程度) 解:无论汽车行驶在平路上、上坡路上,还是在下坡路上,每一段路上的速 度是不变的。 这辆汽车往返一次共行:在平路(20+20)千米在上坡路(45+15)千米在下 坡路(15+45)千米这辆汽车往返一次需要的时间是:

答略。 例 2 有含盐 15%的盐水 20 千克, 要使盐水含盐 10%, 需要加水多少千克? (适于六年级程度)解:题中盐的重量是不变的数量,盐的重量是: 20×15%=3(千克) 在盐水含盐 10%时,盐的对应分率是 10%,因此盐水的重量是: 3÷10%=30(千克) 加入的水的重量是: 30-20=10(千克) 答略。

解:文艺书的本数是不变的数量。文艺书有:

=720(本) 从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数,得到买进科技书的本 数: 720-630=90(本) 综合算式:

=720-630 =90(本) 答略。 (三)差数守恒 当应用题中两个数量的差是不变的数量时,要抓住这个差,分析数量关系解 题。 例 1 父亲今年 35 岁,儿子 5 岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍? (适于四年级程度) 解:父子年龄的差是个不变的数量,始终是 35-5=30(岁) 在父亲年龄是儿子年龄的 3 倍时,父子年龄的差恰好是儿子年龄的 2 倍。

因此,这时儿子的年龄是: 30÷2=15(岁) 15-5=10(年) 答:10 年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍。 *例 2 小明有 200 个枣,大平有 120 个枣。两人吃掉个数相同的枣后,小明 剩下的枣是大平剩下枣的 5 倍。 问两个人一共吃掉多少个枣。 (适于四年级程度) 解:两个人相差的枣的个数是不变的数量: 200-120=80(个) 两人吃掉个数相同的枣后, 小明剩下的枣是大平剩下枣的 5 倍。这就是说大 平剩下的枣是 1 份数, 小明剩下的枣比大平剩下的枣多 4 份数。因为两人吃掉的 枣的个数相同,所以相差数还是 80 个。这 80 个是 4 份数。 因此,大平剩下的枣是其中的一份数: 80÷4=20(个) 大平吃掉的枣是: 120-20=100(个) 因为两个人吃掉的枣一样多,所以一共吃掉枣: 100×2=200(个) 答略。 *例 3 有甲、乙两个车间,如果从甲车间调出 18 人给乙车间,甲车间就比 乙车间少 3 人;如果从两个车间各调出 18 人,乙车间剩下人数就是甲车间

解: 由“从甲车间调出 18 人给乙车间,甲车间就比乙车间少 3 人”可看出, 甲车间比乙车间多 2 个 18 人又少 3 人,即甲车间比乙车间多: 18×2-3=33(人) 由“从两个车间各调出 18 人,乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的

甲车间原有的人数是: 88+18=106(人) 乙车间原有的人数是: 106-33=73(人) 答略。 *例 4 甲种布的长是乙种布长的 3 倍。两种布各用去 8 米时,甲种布剩下的 长是乙种布剩下长度的 4 倍。两种布原来各长多少米?(适于六年级程度) 解:甲、乙两种布的长度差是不变的数量,解题时要以这个不变的数量作为 标准量。 原来乙种布的长是标准量的:

乙种布先后两个分率的差是:

乙种布的长是:

甲种布的长是: 48+24=72(米)
答略。

第二十二讲

两差法

解应用题时, 首先确定一个标准数 (即 1 倍数) 再根据已知的两数差与倍数差, , 用除法求出 1 倍数,然后以此为基础,用乘法求出另一个数的解题方法,叫做两 差法。用两差法一般是解答差倍问题。 差倍问题的数量关系是: 两数差÷倍数差=1 倍数 1 倍数×倍数=几倍数 较小数+两数差=较大数 例 1 某厂女职工人数是男职工人数的 6 倍,男职工比女职工少 65 人。这个 厂男女职工共有多少人?(适于四年级程度) 解:根据“人数差÷倍数差=1 倍数”,有: 65÷(6-1)=13(人) 那么,这个厂男女职工共有的人数是: 13×(6+1)=91(人) 答略。 例 2 小李买 3 本日记本,小华买同样的 8 本日记本,比小李多用 2.75 元。 小李、小华两人分别用去多少钱?(适于五年级程度) 解:小华比小李多用 2.75 元(总价差),是因为小华比小李多买(8-3)本 (数量差)日记本,用这两个差求出每本日记本的价钱。

小李用的钱数是: 0.55×3=1.65(元) 小华的钱数是: 0.55×8=4.40(元) 答略。例 3 甲、乙两数的差是 28,甲数是乙数的 3 倍。问甲乙两数各是多 少?(适于四年级程度) 解: 甲-乙=28, 甲是乙的 3 倍, 那么乙就是 1 倍数, 所对应的倍数是 3-1=2 28 (倍),则乙数可以求出。解法是: 28÷(3-1)=14???????????乙数 14×3=42?????????????甲数 答:甲数是 42,乙数是 14。 例 4 一个植树小组植树。如果每人栽 5 棵,还剩 14 棵;如果每人栽 7 棵, 就缺 4 棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树苗?(适于五年级程度) 解:把题中的条件简要摘录如下: 每人 5 棵 每人 7 棵 剩 14 棵 缺4棵

比较两次分配的情况可看出,由于第二次比第一次每人多栽(7-5)棵,一 共要多栽(14+4)棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差,可求出植 树小组的人数,然后再求出原有树苗的棵数。 (14+4)÷(7-5)=9(人)????????人数 5×9+14=59(棵)???????????棵数 答略。 例 5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进 3 杯水,连瓶共重 440 克; 如果倒进 5 杯水,连瓶共重 600 克。一杯水和一个空瓶各重多少克?(适于五年 级程度) 解:解这类题,要先找出“暗差”的等量关系,再找解题的最佳方法。

这道题的“暗差”有两个: 一个是 5-3=2 杯) 另一个是 600-440=160 克) ( , ( 。 这里两个暗差的等量关系是:2 杯水的重量=160 克。 这样就能很容易求出一杯水的重量: 160÷2=80(克) 一个空瓶的重量: 440-80×3=200(克) 答略。 *例 6 甲从西村到东村,每小时步行 4 千米。3.5 小时后,乙因有急事,从 西村出发骑自行车去追甲,每小时行 9 千米。问乙需要几小时才能追上甲?(适 于高年级程度) 解:乙出发时,甲已经行了(4×3.5)千米,乙每行 1 小时便可比甲每小时 多行(9-4)千米,那么(4×3.5)千米中含有几个(9-4)千米,乙追上甲就需 要多少个小时。所以:

答:乙需 2.8 小时才能追上甲。 例 6 是典型的“追及问题”。 由此可知, 追及问题也可以利用两差法来解答。 *例 7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产 120 台电风扇,实际每 天比原计划多生产 30 台, 结果提前 12 天完成任务。这批电风扇的生产任务是多 少台?(适于高年级程度) 解:在同样的时间(计划天数)里,实际比原计划多生产电风扇的台数是: (120+30)×12。因为实际每天比原计划多生产 30 台,因此:

计划完成任务的天数是 60 天,那么这批电风扇的生产任务就是: 120×60=7200(台) 答略。

*例 8 甲每小时走 5 千米,乙每小时走 4 千米,两人同走一段路,甲比乙少 用了 3 小时。问这段路长多少千米?(适于五年级程度) 解:解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题 中的差异是“甲比乙少用了 3 小时”,抓住它作如下追问,即可发现解题途径。 为什么会“甲比乙少用了 3 小时”?因为甲比乙的速度快。 (1)在 3 个小时里甲比乙多走多少千米的路呢?在 3 小时里甲比乙正好多 走: 4×3=12(千米) (2)甲每小时可以追上乙多少千米呢? 5-4=1(千米) (3)走完这 12 千米的差数甲要走几小时呢? 12÷1=12(小时) (4)这段路长多少千米? 5×12=60(千米) 综合算式: 5×[4×3÷(5-4)] =5×[12÷1] =5×12 =60(千米) 答略。

解:此题是“差倍”问题的变形。

答略。

两堆煤原来各有多少吨?(适于六年级程度) 解: 这里已知两堆煤的总数和运走的总数,不知道两堆煤在总数中占多大比 率,也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运

知道,无法发生联系,因此这两个分率无法参加运算。 本题的难点在于两堆煤运走的分率不同,若分率相同,分析就会有所进展。

然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走 180 吨,与方才算 得的 162 吨相差 180-162=18(吨),为什么会产生这 18 吨的差异呢?

270-120=150(吨)????????甲堆 答略。 *例 11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱,祖母给了哥哥 1100 日元,给了 弟弟 550 日元,这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为 7∶5。求祖父给兄弟二 人的钱数都是多少日元?(适于六年级程度) 解:因为祖父给兄弟二人的钱数相同,所以祖母给兄弟二人的钱数之差,就 是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。 1100-550=550(日元) 由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为 7∶5 可知,把哥哥的钱看成是 7 份 的话,弟弟的钱数就是 5 份,它们相差: 7-5=2(份) 所以,每一份的钱数是: 550÷2=275(日元) 哥哥有零花钱:

275×7=1925(日元) 其中祖父给的是: 1925-1100=825(日元) 答:祖父给兄弟二人的钱都是 825 日元。 *例 12 一位牧羊人赶着一群羊走过来,小明问他:“你的羊群里有山羊、 绵羊各几只?”牧羊人说:“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数,绵羊的只 数加上 99 只就是山羊的 3 倍,你去算吧。”请你帮助小明算一算。(适于五年 级程度) 解:由“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数”知道,绵羊比山羊多 99 只。 由“绵羊的只数加上 99 只就是山羊的 3 倍”知道, 绵羊的只数加上 99 只后, 绵羊的只数比山羊多(99+99)只。此时,如果把山羊只数看作 1 倍,绵羊只数 就是 3 倍,比山羊多(3-1)倍,这(3-1)倍正好是(99+99)只(图 22-1)。 用除法可以求出 1 倍数(山羊只数),再用加法就可以求出绵羊只数。

(99+99)÷(3-1) =198÷2 =99(只)???????山羊只数 99+99=198(只)????绵羊只数 答略。 *例 13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调 10 人到大车间,则大车 间的人数是小车间的 3 倍;如果从大车间调 30 人到小车间,则两个车间的人数 相等。求大、小两个车间各有多少人?(适于高年级程度) 解: 根据“如果从大车间调 30 人到小车间,则两个车间的人数相等”知道, 大车间比小车间多 30×2 人;根据“如果从小车间调 10 人到大车间,则大车间 的人数是小车间的 3 倍”知道,这样调动后,大车间比小车间多(30×2+10×2) 人。把调动后小车间的人数看作 1 倍数,则大车间的人数就是 3 倍数,比小车间 的人数多(3-1)倍数,这(3-1)倍数正好是(30×2+10×2)人。用除法可以 求出 1 倍数(调动后,小车间人数),加上 10 就得小车间原有人数。

(30×2+10×2)÷(3-1)+10 =80÷24+10 =50(人)??????(小车间原有人数) 50+30×2=110(人)?(大车间原有人数) 答略。 在差倍问题中,有一类比较特殊,这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问 题的解题思路、 计算公式来分析、 解答。 但要注意年龄问题所单独具有的“定差” 特点,即大、小两个年龄,相当于大、小两个数,无论现在、过去、将来,这两 个年龄的差不变。抓住这个特点,再利用差倍问题的数量关系和解题方法,便可 解答年龄问题。 *例 14 今年哥哥 18 岁, 弟弟 8 岁。 问几年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍? (适 于高年级程度) 解:作图 22-2。

哥哥和弟弟年龄之差 (18-8) 岁始终不变。 把几年前弟弟的年龄看作 1 倍数, 哥哥的年龄就是 3 倍数, 比弟弟多 (3-1) 倍数, (3-1) 这 倍数正好对应于 (18-8) 岁。用除法可以求出 1 倍数,就是几年前弟弟的年龄,再用减法便可求出几年前 哥哥的年龄是弟弟的 3 倍。 8-(18-8)÷(3-1)=3(年) 答略。 *例 15 今年父亲 40 岁, 儿子 4 岁。 问几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍? (适 于高年级程度) 解:作图 22-3。

父子年龄之差(40-4)岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作 1 倍数,父亲 的年龄就是 4 倍数,比儿子多(4-1)=3 倍数,这(4-1)倍数正好对应于(40-4) 岁。用除法可求出 1 倍数,即几年后儿子的年龄,再用减法便可求出几年后父亲 的年龄是儿子的 4 倍。 (40-4)÷(4-1)-4 =36÷3-4 =8(年) 答略。

第二十三讲

比例法

比和比例是传统算术的重要内容,在较早的年代,许多实际问题都是应用比和比 例的知识来解答的。近年来,小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了,但它 仍是小学数学教学的重要内容之一,是升入中学继续学习的必要基础。 用比例法解应用题,实际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题, 用比例法解简单、方便,容易理解。 用比例法解答应用题的关键是: 正确判断题中两种相关联的量是成正比例还 是成反比例,然后列成比例式或方程来解答。 (一)正比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对 应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关 系叫做正比例关系。 如果用字母 x、y 表示两种相关联的量,用 k 表示比值(一定),正比例的 数量关系可以用下面的式子表示:

例 1 一个化肥厂 4 天生产氮肥 32 吨。照这样计算,这个化肥厂 4 月份生产 氮肥多少吨?(适于六年级程度) 解:因为日产氮肥的吨数一定,所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。 设四月份 30 天生产氮肥 x 吨,则:

答略。 例 2 某工厂要加工 1320 个零件,前 8 天加工了 320 个。照这样计算,其余 的零件还要加工几天?(适于六年级程度) 解:因为每一天加工的数量一定,所以加工的数量与天数成正比例。 还需要加工的数量是: 1320-320=1000(个) 设还需要加工 x 天,则: 例 3 一列火车从上海开往天津,行了全程的 60%,距离天津还有 538 千米。 这列火车已行了多少千米?(适于六年级程度) 解:火车已行的路程∶剩下的路程=60%∶(1-60%)=3∶2。 设火车已行的路程为 x 千米。

答略。

米。这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是 2∶3。这段公路长多少 米?(适于六年级程度) 解:余下的长度与已修好长度的比是 2∶3,就是说,余下的长度是已

这段公路的长度是:

答略。 (二)反比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应 的两个数的积一定, 这两种量就叫做成反比例的量, 它们的关系叫做反比例关系。 如果用字母 x、y 表示两种相关联的量,用 k 表示积(一定),反比例的数 量关系可以用下面的式子表达: x×y=k(一定) 例 1 某印刷厂装订一批作业本,每天装订 2500 本,14 天可以完成。如果每 天装订 2800 本,多少天可以完成?(适于六年级程度) 解:由于要装订的本数一定,因此,每天装订的本数与可以装订的天数成反 比例。 设 x 天可以完成,则:

答略。

例 2 一项工程,原来计划 30 人做,18 天完成。现在减少了 3 人,需要多少 天完成?(适于六年级程度) 解:工作总量一定,每人的工作效率也是一定的,所以所需要的人数与天数 成反比例。 现在减少 3 人,现在的人数就是: 30-3=27(人) 设需要 x 天完成,则:

答略。 例 3 有一项搬运砖的任务,25 个人去做,6 小时可以完成任务;如果相同 工效的人数增加到 30 人,搬运完这批砖要减少几小时?(适于六年级程度) 解: 题中的总任务和每人的工作效率一定,所以搬运砖的人数与所需要的时 间成反比例。 设增加到 30 人以后,需要 x 小时完成,则:

6-5=1(小时) 答:增加到 30 人后,搬运完这批砖要减少 1 小时。 例 4 某地有驻军 3600 人,储备着吃一年的粮食。经过 4 个月后,复员若干 人。如果余下的粮食可以用 10 个月,求复员了多少人?(适于六年级程度) 解:按原计划,4 个月后余下的粮食可以用: 12-4=8(个月)

因为复员一部分人后,人数少了,所以原来可以用 8 个月的粮食,现在就可 以用 10 个月。 粮食的数量一定,人数与用粮的时间成反比例。 设余下的粮食供 x 人吃 10 个月,则:

答:复员了 720 人。 (三)按比例分配 按比例分配的应用题可用归一法解,也可用解分数应用题的方法来解。 用归一法解按比例分配应用题的核心是:先求出一份是多少,再求几份是多 少。 这种方法比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例 分配问题的关键是:把两个(或几个)部分量之比转化为部分量占总量的(几个 部分量之和)几分之几。这种转化稍微难一些。然而学会这种转化对解答某些较 难的比例应用题和分数应用题是有益的。 究竟用哪种方法解,要根据题目的不同,灵活采用不同的方法。 有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的, 如果我们用按比 例分配的方法解这样的题,要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。 1.按正比例分配

甲、乙、丙三个数的连比是:

4+5+8=17

答略。 例 2 有甲、乙、丙三堆煤,甲堆比乙堆多 12.5%,乙堆比丙堆少

解:因为甲堆比乙堆多 12.5%,所以要把乙堆看作“1”,这样甲堆就是 (1+12.5%)。 甲∶乙=(1+12.5%)∶1=9∶8

甲∶乙∶丙=9∶8∶10 已知甲堆比丙堆少 6 吨, 6 吨所对应的份数是 1, 这 所以, 甲堆煤的吨数是: 6×9=54(吨) 乙堆煤的吨数是: 6×8=48(吨) 丙堆煤的吨数是: 6×10=60(吨) 答略。 2.按反比例分配 *例 1 某人骑自行车往返于甲、 乙两地用了 10 小时, 去时每小时行 12 千米, 返回时每小时行 8 千米。求甲、乙两地相距多少千米?(适于六年级程度) 解:此人往返的速度比是:

12∶8=3∶2 因为在距离一定的情况下,时间与速度成反比例,所以,由此人往返的速度 比是 3∶2,可推出此人往返所用的时间比是 2∶3。 去时用的时间是:

两地之间的距离: 12×4=48(千米) 答略。 *例 2 一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出,路上共用了 110 个小

这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。 将 110 小时按 8∶2∶1 的比例分配。 骑马的时间是:

坐火车的时间是:

答略。 3.按混合比例分配 把价格不同、 数量不等的同类物品相混合,已知各物品的单价及混合后的平 均价(或总价和总数量),求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应 用题在实际生活中有广泛的应用。 *例 1 红辣椒每 500 克 3 角钱,青辣椒每 500 克 2 角 1 分钱。现将红辣椒与 青辣椒混合,每 500 克 2 角 5 分钱。问应按怎样的比例混合,菜店和顾客才都不 会吃亏?(适于六年级程度) 解:列出表 23-1。 表 23-1

表中,价格一栏是根据题意填的,其他栏目是在分析题的过程中填的。 混合后的辣椒是每 500 克卖 2 角 5 分钱,而混合辣椒中红、青两种辣椒的比 不能是 1∶1,因为在混合后的辣椒中每有 500 克红辣椒,红辣椒就要少卖 5 分 钱,所以应算是每 500 克红辣椒损失了 5 分钱,在“损”一栏中,横对红辣椒和 3 角,填上 5 分;又因为在混合后的辣椒中每有 500 克青辣椒,青辣椒就要多卖 4 分钱,所以应算是每 500 克青辣椒多卖了(益)4 分钱,在“益”一栏中,横 对青辣椒和 2 角 1 分,填上 4 分。 5 与 4 的最小公倍数是 20。 20÷5=4,20÷4=5, 只有在混合的辣椒中,有 4 份的红辣椒,5 份的青辣椒,500 克混合后的辣 椒正好卖 2 角 5 分钱。 4 份的红辣椒是 4 个 500 克,它的价钱是, 0.3×4=1.2(元)

5 份的青辣椒是 5 个 500 克,它的价钱是, 0.21×5=1.05(元) 4 份红辣椒与 5 份青辣椒的总价是, 1.2+1.05=2.25(元) 而 9 个 500 克的混合辣椒的总价是, 0.25×9=2.25(元) 9 份(9 个 500 克)红辣椒和青辣椒的总价正好与 9 个 500 克混合辣椒的总 价相等。 所以在混合的辣椒中,红辣椒与青辣椒的比应是 4∶5。这个比正好是益损 两数比的反比。 答略。 *例 2 王老师买甲、乙两种铅笔共 20 支,共用 4 元 5 角钱。甲种铅笔每支 3 角,乙种铅笔每支 2 角。两种铅笔各买多少支?(适于六年级程度) 解:20 支铅笔的平均价格是: 4.5÷20=0.225(元)=2.25(角) 列出表 23-2。 表 23-2

因为甲种铅笔每支 3 角,而平均价格是每支 2.25 角,所以每支甲种铅笔损 失了 0.75 角钱。在表中“损”一栏横对“甲”填上 0.75 角/支;因为乙种铅笔 每支 2 角,而平均价格是每支 2.25 角,所以每支乙种铅笔是增加(益)了 0.25 角。在表中“益”一栏横对“乙”填上 0.25 角/支。 两种铅笔的混合比,正好是损、益两数比的反比,所以在混合比一栏中,横 对甲填 0.25,而横对乙填 0.75。把 0.25 和 0.75 化简后得 1 和 3。 现在可以认为两种铅笔的总份数是:

1+3=4(份) 甲种铅笔的支数是:

乙种铅笔的支数是:

答略。 (四)连比 如果甲数量与乙数量的比是 a∶b,乙数量与丙数量的比是 b∶c,那么表示 甲、乙、丙三个数量的比可以写作 a∶b∶c,a∶b∶c 就叫做甲、乙、丙三个数 量的连比。 注意:“比”中的比号相当于除号,也相当于分数线,而“连比”中的比号 却不是相当于除号、分数线。 *例 1 已知甲数和乙数的比是 5∶6,丙数和乙数的比是 7∶8,求这三个数 的连比。(适于六年级程度) 解:已知甲、乙两数的比是 5∶6,丙数与乙数之比为 7∶8,即乙数与丙数 之比为 8∶7。第一个比的后项是 6,第二个比的前项为 8,这说明甲、丙两个数 不是以相同标准划分的,甲、乙、丙三个数不能直接写成连比。 用下面的方法可以统一甲、丙的标准,把甲、乙、丙三个数写成连比。把 5 扩大 8 倍,得 40;把 6 扩大 8 倍,得 48。把 6 扩大 8 倍得 48,也就是把 8 扩大 6 倍,得 48,所以也要把 7 扩大 6 倍得 42。 甲、乙、丙三个数的连比是:4O∶ 48∶42=20∶24∶21。

答略。

*例 2 甲、乙、丙三堆煤共重 1480 吨,已知甲堆煤重量的

又根据,甲∶乙=3∶2,乙∶丙=5∶6,可求出甲、乙、丙三个数的连比是: 甲∶乙∶丙=15∶10∶12

把 1480 吨煤按 15∶10∶12 的比例分配。 甲堆煤重:

乙堆煤重:

答略。

答略。

第二十四讲

转换法

解答应用题时, 通过转换 (即转化) 题中的情节, 分析问题的角度、 数据…… 从而较快找到解题思路,或简化解题过程的解题方法叫做转换法。 (一)转换题中的情节

转换题中的情节是运用联想改变原题的某个情节,使题目变得易于解答。

14+6=20(吨)

30 吨所对应的分率是:

答略。 例 2 一项工程,甲、乙两队合做要用 12 天完成。如果甲队先独做 16 天, 余下的再由乙队独做 6 天完成。如果全部工程由甲队独做,要用几天完成?(适 于六年级程度) 解:求甲队独做要用几天完成全部工程,得先求出甲队的工作效率。可是题 中已知的是甲、乙合做要用的时间,和甲、乙一前一后独做的时间,很难求出甲 的工作效率。如果将“一前一后独做”这一情节变换为“先合做,后独做”就便于解 题了。可这样设想,从甲队的工作量中划出 6 天的工作量与乙队 6 天的工作量 合并起来,也就是假定两队曾经合做了 6 天。情节这样变动后,原题就变换成: 一项工程,甲、乙两队合做要用 12 天完成,这项工程先由甲乙两队合做 6 天后,余下的工程由甲队单独做 10 天完成。如果全部工程由甲队独做要用几天 完成? 这样就很容易求出甲队的工作效率是:

甲队独做完成的时间是:

答略。 (二)转换看问题的角度 解应用题时, 如果看问题的角度不适当就很难解出题。如果转换看问题的角 度, 把原来从正面看问题转换为从侧面看或从反面看,把这一数量转换为另一数 量进行分析,就可能找到解题思路。

解: 一般都沿着女工占总人数的分率去寻找与之相对应的具体人数,但这样 往往会误入歧途,难以找到正确答案。不如根据女工所占分率,换一个角度,想 一想男工的情况。

男工人数便占 总人数的:

后来女工的总人数是:

=560-480 =80(人) 答略。 *例 2 求图 24-1 中阴影部分的面积。(单位:厘米)(适于六年级程度)

解:如果直接计算图中阴影部分的面积,几乎是不可能的。如果把角度转换 为,从大扇形面积减去右面空白处的面积,就容易求出阴影部分的面积了。

=200.96-81.5 =119.46(平方厘米) 答:阴影部分的面积是 119.46 平方厘米。 (三)转换题中的数据 转换题中的数据就是将题中已知的数据进行等价变换, 从而协调各个数据之 间的关系。

例 1 两辆汽车同时从相距 465 千米的两地相对开出,4.5 小时后两车还相 距 120 千米。一辆汽车每小时行 37 千米。另一辆汽车每小时行多少千米?(适 于五年级程度) 解:如果两地的距离减少 120 千米,两车经过 4.5 小时正好相遇,两车 4.5 小时行的路程是: 465-120=345(千米) 两车的速度之和是:

综合算式: (465-120)÷4.5-37 =345÷ 4.5-37

解:如果从分数角度分析,不易找出数量间的关系。如果把分数转换为比来 分析,就会得出,第一天与第二天种的棵数的比是 3∶5,第二天与第三天种的 棵数比是 5∶6。 所以,第一、二、三天种的棵数的比是 3∶5∶6。 第一天种:

第三天种:

答略。 (四)转换为统一标准 当题中两个或几个数量的单位“1”不统一,不便于解答时,如把某个数量作 为标准单位“1”,把其他数量转化为以它为标准的分率,就会突破障碍,顺利解 题。 例 1 甲、乙、丙、丁四人合买一批化肥。甲付的钱是其他人所付钱数之

解:把甲、乙、丙、丁所付钱数统一为以总数量作为标准量的分率。由

答略。

色电视机的台 数没有发生变化,我们以彩色电视机的台数作为单位

彩色电视机的台数是:

黑白电视机的台数是:

答略。 (五)转换隐蔽条件为明显条件 有些应用题的解题条件十分隐蔽。认真体会题中字、词、句的含义,看清这 些字、 词、 句实质上说的是什么, 必要时借助图形分析, 或适当改变题中的条件, 就可能把原来题中隐蔽的条件转换为明显条件,从而较快解题。 *例 1 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,在离 B 点 18 千米 的地方相遇。相遇后二人继续往前行,甲到 B 地和乙到 A 地立即返回,在离 A 地 8 千米的地方又相遇。求 A、B 两地相距多少千米?(适于高年级程度) 解:解答此题的条件十分隐蔽。借助图 24-2 分析问题,可将隐蔽条件转换 为明显条件。

(1)从开始出发到二人第一次相遇,甲、乙共同走完一个全程的路程,其 中乙走了 18 千米。这就是说甲、乙二人共同走完一个全程的路程时乙走 18 千 米,若共同走完三个全程,那么乙就走 18×3 千米的路程。 (2)甲、乙第二次相遇时,二人走了三个全程的路程,而乙走了一个全程 加 8 千米。 (3)乙走的一个全程加 8 千米应等于 18×3 千米,所以,A、B 两地的距离 是: 18×3-8=46(千米) 答:甲乙两地相距 46 千米。

220-100=120(千克)…………………甲袋米重

答略。 (六)转换叙述方式 对数量关系复杂、不易理出头绪、不易分析解答的应用题,经过逐字、逐句 地分析,弄清每一句话的意思,然后转换原题的叙述方式,就可化繁为简,化难 为易,使原题变得易于解答。 *例 1 李老师带领学生植 100 棵树。李老师先植一棵,然后对同学们说:“男 同学每人植两棵,女同学每两人合植一棵。”这样正好把余下的树苗植完。问李 老师带领的学生中有多少名男生,多少名女生?(适于高年级程度) 解:逐层分析每一句话的意思。李老师植一棵,那么学生就是植了 99 棵; 男同学每人植两棵, 女同学每两人合植一棵,可以看作一名男生和两名女生组成 一组,植树 3 棵。 99÷3=33(组) 这样就可以认为学生正好分成 33 组。 根据上面的分析,上面的题就可以这样叙述: 有 33 组学生去植树,每一组学生中有一名男生、两名女生。求去植树的学 生中有多少名男生、女生? 1×33=33(名)………………………………………男生人数 2×33=66(名)………………………………………女生人数 答:有男生 33 名,有女生 66 名。 *例 2 一位天文爱好者说:“土星直径比地球直径的 9 倍还多 4800 千米,土 星直径除以 24 等于水星直径,水星直径加上 2000 千米等于火星直径,火星直 径的一半减去 500 千米等于月亮直径,月亮直径是 3000 千米。求地球直径是多 少千米?(适于高年级程度) 解:把原题倒过来叙述:月亮直径是 3000 千米,月亮直径加上 500 千米后 的 2 倍等于火星直径,火星直径减去 2000 千米等于水星直径,水星直径的 24 倍等于土星直径,土星直径减去 4800 千米是地球直径的 9 倍。 水星直径: (3000+500)×2-2000=5000(千米) 土星直径:

5000×24=120000(千米) 地球直径: (120000-4800)÷9=12800(千米) 答略。 (七)转换解题的方法 当题目用通常方法很难解答或不能解答时,应转换解题方法,使问题得到解 决。 例 1 汽车 7 小时行 300 千米, 照这样计算, 行驶 7500 千米需要多少小时? (适于三年级程度) 解:此题如果这样考虑,求行 7500 千米需要多少小时,要先求出汽车每小 时行多少千米,然后 7500 千米再除以汽车每小时的速度,即:7500÷ (300÷ 7) 这样列式计算时,小括号内的 300÷ 是除不尽的,三年级的学生还没学过 7 计算小数的近似值。本题用上面的方法列式解答看来不行,应换一种解题方法。 如果求出 7500 千米中含有多少个 300 千米,就可求出这辆汽车行多少个 7 小时。这时可这样列式解答: 7×(7500÷300) =7×25 =175(小时) 答:行驶 7500 千米需要 175 小时。 *例 2 一个长方体,表面积是 66.16 平方分米,底面积是 19 平方分米,底 面周长是 17.6 分米。这个长方体的高是多少分米?(适于五年级程度) 解:以一般方法解此题,求长方形的高,需要用底面积去除体积。可是已知 条件中没有体积,而且不容易求出,这就需要转换解题方法。 题中已知长方体的表面积。 因为长方体共有 6 个面, 每一对相对面的面积相 等,所以可以把表面积转化为三个不同面积之和: 66.16÷2=33.08(平方分米) 又因为底面积已知,所以可求出另外两个面的面积之和:

33.08-19=14.08(平方分米) 14.08 平方分米这个面积是由“长×高+宽×高=(长+宽)×高”得到的。 14.08 平方分米这个面积的长(即长与宽的和)是: 17.6÷ 2=8.8(分米) 所以,这个长方体的高是: 14.08÷8.8=1.6(分米) 答略。 例 3 一辆快车和一辆慢车同时分别从 A、B 两站相对开出,经过 4 小时后 两车相遇。相遇后快车继续行驶 3 小时到达乙地。已知慢车每小时比快车少行 15 千米。求 A、B 两站相距多少千米?(适于六年级程度) 解:此题要是依靠具体的数量进行分析,解题就会遇到困难。如果转换解题 思路,用解工程问题的方法可化难为易。

慢车每小时行全程的:

A、B 两地的距离是:

答略。

第二十五讲

假设法

当应用题用一般方法很难解答时, 可假设题中的情节发生了变化, 假设题中两个或几个数量相等, 假设题中某个数量增加了或减少了, 然后在假设的基础上推理, 调整由于假设而引起变化的数量 的大小, 题中隐蔽的数量关系就可能变得明显, 从而找到解题方法。 这种解题方法就叫做假设法。 用假设法解应用题,要通过丰富的想象,假设出既合乎题意又新奇巧妙,既简单又便于计 算的条件。 有些用一般方法能解答的应用题,用假设法解答可能更简捷。 (一)假设情节变化

解:假设篮球没有借出,足球借出一个,那么,可以把现有篮球的个数看作是 3

份数,

把现有足球的个数看作 2 份数,两种球的总份数是:
3+2=5(份) 原来篮球的个数是:

原来足球的个数是: 21-12=9(个) 答略。

例 2 甲乙两个煤场共存煤 92 吨,从甲场运出 28 吨后,乙场的存煤比甲场 的 4 倍少 6 吨。两场原来各存煤多少吨?(适于六年级程度) 吨,而是比 28 吨少 6 吨的 22 吨,那么,乙场的 存煤数就正好是甲场的 4 倍,甲场的存煤是 1 份数,乙场的存煤是 4
解:假设从甲场运出的不是 28

甲场原来存煤: 92-50=42(吨) 答略。(二)假设两个(或几个)数量相等

有两块地,平均亩产粮食 185 千克。其中第一块地 5 亩,平均亩产粮食 203 千克。如果第二块地平均亩产粮食 170 千克,第二块地有多少亩?(适于五 年级程度)
解:假设两块地平均亩产粮食都是 170

例1

千克,则第一块地的平均亩产量比两块地

的平均亩产多:
203-170=33(千克) 5 亩地要多产: 33×5=165(千克) 两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多: 185-170=15(千克)

千克中含有多少个 15 千克,两块地就一共有多少亩,所以两块地 的亩数一共是:
165÷15=11(亩) 第二块地的亩数是: 11-5=6(亩) 答略。

因为 165

解:此题可以有三种答案。

答:剩下的两根绳子一样长。

答:甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。 (3)假设两根绳子都比

1 米长。任意假定为 1.5 米,则甲绳剪去

答:乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。

例 3 一项工作,甲、乙两队单独做各需要 10 天完成,丙队单独做需要 7.5 天完成。在三队合做的过程中,甲队外出 1 天,丙队外出半天。问三队合做完成 这项工作实际用了几天?(适于六年级程度)
解:假设甲没有外出,丙也未外出,也就是说,甲、乙、丙三个队的工作天数一样多,则 三队合做的工作量可达到:

三队合做这项工作,实际用的天数是:

答略。 *例 4 一项工程,甲、乙两队合做 80 天完成。如果先由甲队单独做 72 天,再由乙队单独 做 90 天,可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天?(适于六年级程 度)

解:假设甲队做 72

天后,乙队也做 72 天,则剩下的工程是:

乙队还需要做的时间是: 90-72=18(天) 乙队单独完成全部工程的时间是:

甲队单独完成全部工程的时间是:

答略。 (三)假设两个分率(或两个倍数)相同 *例 1 某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的 3 倍,每天平均卖出黑墨水 45 瓶,蓝 墨水 120 瓶。过了一段时间,黑墨水卖完了,蓝墨水还剩 300 瓶。这个商店上月购进蓝墨水和黑 墨水各多少瓶?(适于高年级程度) 解:根据购进的蓝墨水是黑墨水的 3

倍,假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的 3

倍,则每天卖出蓝墨水:
45×3=135(瓶) 这样,过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上,蓝墨水剩下 300

瓶,这是因

为实际比假设每天卖出的瓶数少:
135-120=15(瓶) 卖的天数: 300÷15=20(天)

购进黑墨水: 45×20=900(瓶) 购进蓝墨水: 900×3=2700(瓶) 答略。 *例 2 甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划,甲厂完成计划的 112%,乙厂 完成计划的 110%。两厂共生产机床 400 台,比原计划超产 40 台。两厂原计划各生产多少台机 床?(适于六年级程度) 解:假设两个厂一月份都完成计划的 110%,则两个厂一月份共生产机床: (400-40)×110%=396(台) 甲厂计划生产: (400-396)÷(112%-110%) =4÷2% =200(台) 乙厂计划生产: 400-40-200=160(台) 答略。 (四)假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少

例 1 某校三、四年级学生去植树。三年级去 150 人,四年级去的人数比三 年级人数的 2 倍少 20 人。两个年级一共去了多少人?(适于三年级程度) 倍,而不是比三年级的 2 倍少 20 人, 则两个年级去的人数正好是三年级人数的 3 倍。
两个年级去的人数是: 150×3=450(人) 因为实际上,四年级去的人数比三年级 2 解:假设四年级去的人数正好是三年级的 2

倍少 20 人,所以两个年级去的实际人数

是:

450-20=430(人) 答略。 *例 2 甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后,甲、丙两个乡都比乙乡 多 18 吨,因此甲乡和丙乡各给乙乡 1800 元。问每吨化肥的价格是多少元?(适于高年级程度)

吨,而是与乙乡买的同样多,则应 把多出来的 2 个 18 吨平均分。平均分时每个乡多得:
18×2÷3=12(吨) 因为甲、丙两个乡都比乙乡多得 18

解:假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多 18

吨,而平均分时每个乡得 12 吨,所以乙乡实

际比甲、丙两个乡都少:
18-12=6(吨) 每吨化肥的价格: 1800÷6=300(元) 答略。 (五)假设某个数量增加了或减少了

6-4=2(人) 全班人数是:

女生人数是:

答略。 *例 2 学校运来红砖和青砖共 9750 块。红砖用去 20%,青砖用去 1650 块后,剩下的红砖 和青砖的块数正好相等。学校运来红砖、青砖各多少块?(适于六年级程度) 解:假设少运来 1650

块青砖,则一共运来砖:
9750-1650=8100(块)

以运来的红砖的块数为标准量 1,则剩下的红砖的分率是: 1-20%=80% 因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等,所以青砖的分率也是 80%。 因为 8100 块中包括全部红砖和红砖的(1-20%)(青砖),所以 8100 块的 对应分率是(1+1-20%)。运来的红砖是: (9750-1650)÷(1+1-20%) =8100÷1.8 =4500(块) 运来的青砖是: 9750-4500=5250(块) 答:运来红砖 4500

块,运来青砖 5250 块。

(六)假设某个数量扩大了或缩小了

例 1 把鸡和兔放在一起共有 48 个头、114 只爪和脚。鸡和兔各有多少只? (适于四年级程度)
解:假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小 2

倍,则鸡爪数和鸡的头数一样多,兔的

脚数是兔头数的 2 倍。 所得商中含有全部鸡的头数,也含有兔子头数 2 倍的 数,而 48 中包含全部鸡的头数和兔子头数 1 倍的数。
所以兔的只数是: 这样就可以认为,114÷2

114÷2-48=9(只) 鸡的只数是: 48-9=39(只) 答略。

解:假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大 4

倍,则从两堆煤取出的总数量

比原来的两堆煤多:
708×4-2268 =2832-2268 =564(千克)

甲堆煤的重量是:

乙堆煤的重量是: 2268-940=1328(千克) 答略。

第二十六讲

设数法

当应用题中没有解题必需的具体的数量,并且已有数量间的关系很抽象时,如果 假设题中有个具体的数量,或假设题中某个未知数的数量是单位 1,题中数量之 间的关系就会变得清晰明确, 从而便于找到解答问题的方法,我们把这种解答应 用题的方法叫做设数法。 实际上设数法是假设法中的一种方法,因为它的应用比较多,所以我们把它 单列为一种解题方法。 在用设数法解答应用题设具体数量时,要注意两点:一是所设数量要尽量小 一些;二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。 (一)设具体数量 例 1 一艘轮船从甲港开往乙港,去时顺水,每小时行驶 30 千米;返回时逆 水,每小时行驶 20 千米。求这艘轮船往返的平均速度。(适于五年级程度) 解:甲、乙两港之间的路程没有给,要求往返的平均速度就比较困难。我们 可以设甲、乙两港之间的路程为 60 千米(60 是轮船往返速度 30 和 20 的最小公 倍数)。 这样去时用的时间是: 60÷30=2(小时) 返回时用的时间是: 60÷20=3(小时) 往返一共用的时间是: 3+2=5(小时) 往返的平均速度是: 60×2÷5=24(千米/小时) 综合算式: 60×2÷(60÷30+60÷20) =120÷(2+3)

=120÷5 =24(千米/小时) 答略。 *例 2 光华小学中、高年级共有学生 600 名,如果中年级派出本年级人数

位“1”。假设高年级增加 20 名学生,这样中、高年级人数从原来的 600 名增加到: 600+20=620(名)

中年级人数是:

高年级的人数是: 600-320=280(人) 答略。例 3 某人骑一辆自行车从甲地去乙地,每小时行 15 千米;从乙地回 到甲地,每小时行 10 千米。求此人骑自行车往返甲、乙两地的平均速度。(适 于六年级程度) 解:题中缺少“甲、乙两地的距离”的具体数量。我们可以任意设一个数为 甲、乙两地的路程。 如设 30 千米为甲、乙两地路程,这辆自行车往返甲、乙两地的平均速度是:

答略。 此题如设 20 千米为甲、乙两地的路程,那么,可列式为 20×2÷

辆自行车往返甲、乙两地的平均速度都是 12 千米/小时。 例 4 用甲、乙两台收割机分别收割一块地的小麦时,甲用 6 小时可以收割 完,乙用 4 小时可以收割完。用这两台收割机同时收割这块地,多少小时可以收 割完?(适于五年级程度) 解: 因为这块地的亩数是个未知的数量,所以对没学过用“解工程问题”的 方法解应用题的学生是一道难题。如果假设出这块地的亩数是个已知的数量,此 题就容易解了。 假设这块地是 12 亩(也可假设为 6 和 4 的其他公倍数,如 24 亩、36 亩、 48 亩、60 亩等。这里假设为 12 亩,是因为 12 是 6 和 4 的最小公倍数,这样便 于计算)。则由题意得: 12÷(12÷6+12÷4) =12÷(2+3) =2.4(小时) 答:两台同时收割 2.4 小时可以收割完。 *例 5 有一堆苹果,如果平均分给大、小两个班的小朋友,每人可得 6 个; 如果只分给大班,每人可得 10 个。如果只分给小班,每人可得几个?(适于五 年级程度) 解法(1):假设有 120 个苹果,则大、小两个班共有小朋友: 120÷6=20(人) 大班有: 120÷10=12(人)

小班有: 20-12=8(人) 小班每人可分得苹果: 120÷8=15(个) 综合算式: 120÷(120÷6-120÷10) =120÷8 =15(个) 答:只分给小班,每人可得 15 个。 解法(2):假设两个班的总人数是 30 人,则苹果的总个数是: 6×30=180(个) 大班人数是: 180÷10=18(人) 小班人数是: 30-18=12(人) 小班每人可分得苹果: 180÷12=15(个) 综合算式: 6×30÷(30-6×30÷10) =180÷(30-18) =15(个) 答略。 (二)设单位“1”

例 1 某食堂改造炉灶后,每天节约用煤 60 千克,这样原来计划用 32 天的 煤,现在可以用 48 天。这堆煤共有多少千克?(适于六年级程度)

答略。 例 2 有一个正方体和一个长方体,长方体的长等于正方体的棱长,长方

解:设正方体的棱长为 1,那么正方体的体积是: 1×1×1=1 长方体的体积是:

答略。

设甲的钱数为单位 1,这时因为甲的钱数是 1,所以上面的关系式便成为:

乙有人民币:

答略。 例 4 在一次 407 人参加的歌手大赛中,没有获奖的女歌手占女歌手总数

解:设女歌手的总人数为 1。 从男女歌手总人数 407 人中,去掉没获奖的男歌手 16 人之后,(407-

=207(人) 男歌手的人数是: 407-207=200(人) 答略。

第二十七讲

代数法

解应用题时, 用字母代表题中的未知数, 使它和其他已知数同样参加列式、 计算, 从而求得未知数的解题方法, 叫做代数法。 代数法也就是列方程解应用题的方法。

学习用代数法解应用题, 要以学过算术法解应用题为基础。我们知道用算术 法解应用题时,未知数始终处于被追求的地位,除了要进行顺向思考,必要时还 要进行逆向思考,所以有些应用题用算术法解答很困难,而用代数法解应用题, 由于是用字母代表题中的未知数, 因此只要把代表未知数的字母看作已知数来考 虑问题, 正确找出题中数量间的等量关系,就可以用代表未知数的字母和已知数 共同组成一个等式(即方程),然后计算出未知数的值。这种解题思路直接、简 单,可化难为易,特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。 小学生在开始学习用代数法解应用题时,可能不大习惯,会受到算术法解题 思路的干扰, 在解题过程中可能出现一些错误。 为顺利地学好用代数法解应用题, 应注意以下几个问题: 1.切实理解题意。 通过读题, 要明白题中讲的是什么意思, 有哪些已知条件, 未知条件是什么,已知条件与未知条件之间是什么关系。 2.在切实理解题意的基础上,用字母代表题中(设)未知数。通常用字母 x 代表未知数,题目问什么就用 x 代表什么。小学数学教材中,求列方程解答的应 用题绝大多数都是这样的。 有些练习题在用代数法解答时,不能题中问什么都用 x 表示。x 只表示题中 另一个合适的未知数,这样才能顺利列出方程,求出所设的未知数。然后通过计 算,求出题目要求的那个未知量。如果一道题要求两个或两个以上的未知数,这 就要根据题目的具体情况, 从思考容易、 计算方便着眼, 灵活选择一个用 x 表示, 其他未知数用含有 x 的代数式表示。 3.根据等量关系列方程。 要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。列 方程要同时符合三个条件:(1)等号两边的式子表示的意义相同;(2)等号两 边数量的单位相同;(3)等号两边的数量相等。如果一道应用题的数量有几个

相等的关系,并且每一个都可以作为列方程的依据,这时要选择最简便、最明确 的等量关系列出方程。 列方程时, 如果未知数 x 只出现在等式的一端,要注意把含有未知数 x 的式 子放在等式左边,这样解方程时比较方便。但不能在列方程时,只把表示未知数 的一个字母 x 单独写在等号左端,因为这种列式的方法不是代数法,而仍然是算 术法。 4.解方程。 解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。计算要 有理有据,书写格式要正确。 解出 x 的数值后,不必注单位名称。 5.先检验,后写答案。求出 x 的值以后,不要忙于写出答案,而是要先把 x 的值代入原方程进行检验, 检验方程左右两边的得数是不是相等。如果方程左右 两边的得数相等, 则未知数的值是原方程的解; 如果方程左右两边的数值不相等, 那么所求出的未知数的值就不是原方程的解。这时就要重新检查:未知数设得对 不对?方程列得对不对?计算过程有没有问题???一直到找出问题的根源。 值 得注意的是:即使求出的未知数的值是原方程的解,也应仔细考虑一下,得出的 这个值是否符合题意,是否有道理。当证明最后得数确实正确后再写出答案。 列方程解应用题的关键是找准等量关系,根据等量关系列出方程。找等量关 系没有固定方法,考虑的角度不同,得出的等量关系式就不同。 (一)根据数量关系式找等量关系,列方程解题 例 1 一名工人每小时可以制作 27 个机器零件。要制作 351 个机器零件,要 用多少小时?(适于五年级程度) 解:设制做 351 个机器零件,要用 x 小时。 根据“工作效率×时间=工作总量”这个数量关系,列方程得: 27x=351 x=351÷27 x=13 答:这名工人制作 351 个机器零件要用 13 个小时。

例 2 A、B 两地相距 510 千米,甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行,6 小 时后相遇。已知甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行多少千米?(适于五年级 程度)

解:设乙车每小时行 x 千米。根据“部分数+部分数=总数”,列方程得: 45×6+6x=510 6x=510-45×6 6x=510-27O 6x=240 x=240÷6 x=40 答略。 (二)抓住关键词语找等量关系,列方程解题 例 1 长江的长度为 6300 千米,比京杭大运河(北京-杭州)全长的 3 倍还 多 918 千米。求京杭大运河的全长是多少千米?(适于五年级程度) 解:根据“长江的长度为 6300 千米,比京杭大运河全长的 3 倍还多 918 千 米”,可找出长江的全长与京杭大运河全长的等量关系:京杭大运河全长×3+9 18=长江全长。 设京杭大运河全长为 x 千米,列方程得: 3x+918=6300 3x=6300-918 3x=5382 x=1794 答略。 例 2 9 头蓝鲸的最长寿命之和比 6 只乌龟的最长寿命之和多 114 年。 乌龟的 最长寿命是 116 年。求蓝鲸的最长寿命是多少年?(适于五年级程度) 解: 根据 “9 头蓝鲸的最长寿命之和比 6 只乌龟的最长寿命之和多 114 年” , 可以看出 9 头蓝鲸寿命之和与 6 只乌龟寿命之和的等量关系是: 蓝鲸的最长寿命×9-114=116×6。 设蓝鲸的最长寿命是 x 年,列方程得:

9x-114=116×6 9x=116×6+114 9x=810 x=90 答略。 (三)画图形找等量关系,列方程解题 例 1 某农场收割 4000 亩小麦, 3 天每天收割 700 亩。 前 剩下的要 2 天收完, 每天要收割多少亩?(适于五年级程度) 解:根据题意作图 27-1。

由图 27-1 可以看出题中的等量关系是: “前 3 天收割的亩数+后 2 天收割的 亩数=4000 亩”。 设后 2 天每天收割 x 亩,列方程得: 700×3+2x=4000 2x=4000-700×3 2x=4000-2100 2x=1900 x=950 答略。 例 2 甲、 乙两列火车同时从相距 360 千米的两个车站相向开出,3 小时后相 遇。已知甲车每小时行 55 千米,乙车每小时行多少千米?(适于五年级程度) 解:根据题意作图 27-2。

从图 27-2 可以看出,甲、乙两列火车 3 小时共行 36O 千米,甲车行的路程+ 乙车行的路程=360 千米。 设乙车每小时行 x 千米,列方程得: 55×3+3X=360 3x=360-165 3x=195 x=65 答略。 *例 3 甲、乙两地相距 60 千米,自行车和摩托车同时从甲地驶往乙地,摩 托车比自行车早到 4 小时, 摩托车的速度是自行车速度的 3 倍。求摩托车和自行 车的速度。(适于高年级程度) 解:作图 27-3。用图中纵向线段表示时间,用横向线段表示速度。

图 27-3 中线段 AB 表示自行车的速度,AC 表示摩托车的速度;AG 表示自行 车用的时间,AF 表示摩托车用的时间。矩形 ABHG 和 ACDF 的面积都是表示甲、 乙两地的距离 60 千米。 设 AB 为 x 千米,则 AC 为 3x 千米。

4x+20=60 4x=60-20 x=10 3x=30 答:自行车每小时行 10 千米,摩托车每小时行 30 千米。 (四)列表找等量关系,列方程解题 例 1 甲、乙两名车工共车了 390 个零件,车工甲每小时车 30 个,车工乙每 小时车 35 个。他们共同工作多少小时才车完这批零件?(适于五年级程度) 解:设两人共同车了 x 小时。根据题意,列表 27-1。 表 27-1

从表 27-1 可以看出,车工甲在 x 小时里共车 30x 个零件,车工乙在 x 小时 里共车 35x 个零件。 根据题意,列方程: 30x+35x=390 65x=390 x=390÷65 x=6 答略。 *例 2 31 名学生去划船,分乘 3 只大船和 4 只小船,每只大船坐 5 名学生, 每只小船坐几名学生?(适于高年级程度) 解:设每只小船坐 x 名学生。根据题意列出表 27-2。 表 27-2

从表 27-2 看出,大船上坐的人数+小船上坐的人数=31 人。大船上的人数是 5×3 名,小船上的人数是 4x 名。 列方程: 5×3+4x=31 4x=31-15 4x=16 x=4 答略。 (五)根据公式找等量关系,列方程解题 例 1 一个三角形的面积是 100 平方厘米, 它的底是 25 厘米, 高是多少厘米? (适于五年级程度) 解:设三角形的高是 x 厘米。 根据三角形的面积公式“底×高÷2=三角形面积”,列方程: 25x÷2=100 25x=100×2 x=100×2÷25 x=8 答略。 例 2 图 27-4 梯形的面积是 1050 平方厘米,下底长 18 厘米,高 30 厘米。 上底长是多少厘米?(适于五年级程度)

解:设梯形的上底为 x 厘米。 根据梯形的面积公式“(上底+下底)×高÷2=梯形面积”,列方程: (x+18)×30÷2=1050 (x+18)=1050×2÷30 x=70-18 x=52 答略。

第二十八讲

联想法

我们把由某事物而想起其他相关的事物,由某概念而想起其他相关的概念,由某 种解题方法而想起其他解题方法,从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。

通过联想,可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的,或有 一定因果关系的事物建立某种联系,从而沟通知识之间的逻辑关系,促进知识之 间、方法之间的迁移和同化,有利于认识新事物、产生新的设想。 (一)纵向联想 这是把问题的前后条件联系起来思考的方法。

进红皮球 20 只,这时红皮球正好占皮球总数的 60%。现在有红皮球和白皮 球各多少只?(适于六年级程度)

4 份。后来又买进红皮球 20 只,这时红皮球正好占皮球总数的 60%,由此 联想到:现在皮球的总只数中,红皮球占 6 份,白皮球占 4 份。 可见,白皮球占的份数没有起变化,红皮球的份数增加了 6-5=1(份)。因 为增加了 20 只红皮球是增加了 1 份。所以 1 份就是 20 只皮球。 红皮球这时占 6 份,红皮球的只数是: 20×6=120(只) 白皮球占 4 份,白皮球的只数是: 20×4=80(只) 答略。 (二)横向联想 这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。 例 东风小学五、六年级的同学共植树 330 棵。已知五年级植树的棵数

六年级植树:

或 330-180=150(棵) 由分数解法联想到按比例分配的解法。

六年级植树:

答略。 (三)多角度联想 这是指对一个问题从几个不同的角度进行思考的方法。 例 图 28-1 半圆空白部分的面积是 7.85 平方厘米, 求阴影部分的面积? (适 于六年级程度)

解: (1)用归一法解。先求出右边扇形圆心角为 1°时的面积,再求出阴影部 分扇形圆心角度数,然后求出阴影部分面积。 7.85÷100=0.0785(平方厘米) 180°-100°=80° 0.0785×80=6.28(平方厘米) (2)由归一法解联想到用倍比法来解。求出图中阴影扇形圆心角度数是空 白扇形圆心角度数的倍数,再根据空白部分的面积 7.85 平方厘米是阴影部分面 积的倍数,然后求出阴影部分的面积。

(3)由倍比法解又联想到用解分数应用题的方法来解。先求出右边空白扇 形圆心角度数是所在半圆圆心角度数的几分之几,再求出半圆面积,然后从半圆 面积中减去空白部分的面积,就得到阴影面积。

设图中阴影部分面积为 x 平方厘米

答略。 (四)由具体到抽象的联想 例 车站有货物 45 吨, 用甲汽车 10 小时可以运完,用乙汽车 15 小时可以运 完。用两辆汽车同时运,多少小时可以运完?(适于六年级程度) 解:根据具体的工作量、工作效率和工作时间之间的关系有: (1)甲汽车每小时的工作量(工作效率): 45÷10=4.5(吨) (2)乙汽车每小时的工作量(工作效率): 45÷15=3(吨) (3)甲乙两汽车每小时的工作量(工作效率)的和: 4.5+3=7.5(吨) (4)两辆汽车同时运所需时间: 45÷7.5=6(小时) 由具体的工作总量、 工作效率和工作时间之间的关系,联想到抽象的工作总 量、工作效率和工作时间之间的关系。

答略。 (五)由部分到整体的联想 例 图 28-2 是一个机器零件图, 求图中阴影部分的面积。 (单位: 厘米) (适 于六年级程度)

解:图 28-2 中阴影部分的面积由四个部分组成,分别求出它们的面积,再 求几个部分面积的和是比较麻烦的。如果把这个图形经过旋转和翻折转化成图 28-3,那么,只要计算出一个边长是 4÷2=2(厘米)的正方形的面积就可以了。 答略。 (六)由一般到特殊的联想 例 前进机器厂, 计划生产 2400 个机器零件,实际上在前 3 小时就完成了计 划的 40%,照这样计算,几小时可以完成任务?(适于六年级程度) 解: 一般解法是先求出前 3 小时生产多少个机器零件,再求出平均每小时生 产多少个机器零件,然后求出生产 2400 个机器零件需要的时间。 2400÷(2400×40%÷3) =2400÷320 =7.5(小时)

由一般解法联想到特殊解法。 把计划生产 2400 个机器零件需要的时间看作 1,由“实际上在前 3 小时就 完成了计划的 40%”可知“3 小时”与 “40%”正好是对应关系。因此,可直接列出算式: 3÷40%=7.5(小时) 答略。 (七)由一种方法联想到另一种方法 这是指解决某个问题时,由一种方法想到另一些方法的思考方法。 例 1 木材公司运进一批木材, 垛成如图 28-4 的形状。 已知最底层是 102 根, 以上每层少 1 根,共有 32 层,求这些木材共有多少根?(适于六年级程度)

解:解这个题,当然可以把 32 层的 32 个数加起来,但是太麻烦,应该想一 个能反映规律的办法。 观察它的截面,很容易同等腰梯形发生联想,梯形有上底、下底和高,于是 联想到借用梯形的面积公式,或者说仿照梯形面积公式找出一个反映规律的公 式,问题就可以解决了。 (102+71)×32÷2 答略。 例 2 某工人原计划用 42 天的时间完成一批零件的加工任务,实际前 12 天 就完成了任务的 40%,剩下的零件比已完成的多 21600 个。照这样的工作效率, 可以提前几天完成任务?(适于六年级程度) 解:先用一般解法。求出总任务的个数: 21600÷(1-40%-40%) =21600÷20%

=108000(个) 再求提前完成天数: 42-12-[108000×(1-40%)÷(108000×40%÷12)] =30-[64800÷3600] =30-18 =12(天) 如果运用联想转化来解题,就不难发现,在工作效率一定的情况下,工作时 间和工作量成正比例关系。也就是说前 12 天的工作量与总工作量的比率同前 12 天的工作时间与实际完成的工作时间的比率是一样的。因此可以由“实际前 12 天占实际完成任务所需时间的 40%”,从而立即求出实际完成任务的天数是: 12÷40%=30(天) 提前完成任务的天数是: 42-30=12(天) 答略。

剩下的数量正好相等。两堆煤原来各有多少吨?(适于六年级程度) 解:先用一般方法解。先求甲堆煤的吨数。 因为两堆煤剩下的数量正好相等,所以把两堆煤剩下的数量分别看作 1,则 甲堆煤原来的数量是:

甲堆煤的吨数是: 270÷(5+4)×5 =270÷9×5

=150(吨) 乙堆煤的吨数是: 270-150=120(吨) 此题如果运用联想法,可获得简捷的解题思路。

两堆煤运走后剩下的数量相等,可见甲堆的 1 份等于乙堆的 1 份。 又已知两堆煤有 270 吨,共有(5+4)份,联想到整数归一应用题,便可轻 而易举地求出甲堆煤原来的吨数: 270÷(5+4)×5 =270÷9×5 =30×5 =150(吨) 乙堆煤原有吨数: 270÷(5+4)×4 =270÷9×4 =30×4 =120(吨) 答略。 (八)情境联想 这是指回到问题的情境中去思考问题的方法。 例 有一个运动场(如图 28-5),两头是半圆形,中间是长方形,这个运动 场的周长是多少?面积是多少?(适于六年级程度)

解:有的同学对图中的两个“72 米”,要不要作为周长来计算拿不定主意。 我们可以联想在操场或运动场赛跑时的情境,就知道两个“72 米”在赛跑时是 不要跑的,因此跑道的长度是: 87×2+3.14×72÷2×2 =174+226.08 =400.08(米) 运动场的面积,也可联想实际情况而正确地算出:

答略。 (九)因果联想 *例 如图 28-6,△ABC 是等腰直角三角形,斜边 BC=6cm,求阴影部分的面 积(适于六年级程度)

解:我们从条件与问题所涉及的角和边展开联想: (1)因为△ABC 是等腰直角三角形,所以联想到, ∠1=∠2=45° (2)因为 AD 是斜边上的高,所以联想到,

(5)因为阴影部分的面积,等于等腰直角三角形面积减去两个扇形面积, 所以得出: 9-7.065=1.935(平方厘米) 答略。

第二十九讲

直接法

解应用题时, 不用经过严密的逻辑推理, 而是凭借已有的知识经验, 迅速地解题, 就是在运用直接法。 以直接法解题的思维过程是快速缩小问题所涉及的范围,接触事物的本质, 打开解题的突破口。 有些用一般方法解答要用四五步,甚至更多步计算才能求出 结果的应用题,用直接法解答时,只用一两步计算就可以求出结果。 学习以直接法解题,可促进思维的灵活性、敏捷性和创造性。 (一)凭借数目的特点

数进行计算时,一般通过心算就能得出结果。 解应用题时,凭借这些数的这种特点,发现题目的本质,就可用简捷的方法 解出复杂的问题。

一般解法:

6×3=18(天) 答略。

一般解法:

=1(千克)

所以瓶里原来有油: 例 3 某校买来一批图书,放在两个书橱中。放在第一个书橱中的书占这批 书的 60%。如果从第一个书橱中取出 16 本放入第二个书橱,则两个书橱中的书 一样多。问学校买来的这批图书是多少本?(适于六年级程度) 一般解法: 16×2÷[60%-(1-60%)] =32÷[60%-40%] =32÷20% =160(本) 直接法:16 本的对应分率是 60%-50%=10%。学校买来的这批图书是: 16÷10%=160(本) 答略。 (二)凭借量、率对应的关系 有些应用题, 可凭借直接看出题中哪个数量与哪个分率(“分率”就是不带 单位名称的分数,是表示它所对应的数量占单位 1 的几分之几。)是相对应的一 对数,而用简捷的方法解答出来。 例 1 一项工程, 由甲队单独做 12 天可以完成。 甲队做 3 天后另有任务调走, 余下的工程由乙队做 15 天才完成。乙队单独完成这项工程要用多少天?(适于 六年级程度) 一般解法:

=20(天)

答略。 例 2 织布厂第一、 二车间共同织了一批布。 第一车间织的布比这批布的 60% 少 400 米,第二车间织了这批布的 44%。求这批布的长度。(适于六年级程度) 一般解法: 400÷[60%-(1-44%)] =400÷4% =10000(米) 直接法:从“第一车间织的布比这批布的 60%少 400 米,第二车间织了这 批布的 44%”可以看出,这批布的 4%是 400 米。所以,这批布的长是: 400÷4%=10000(米) 答略。 例 3 某工厂一月份生产了一批零件。上旬生产了全部零件的 30%,中

这个工厂一月份生产多少个零件?(适于六年级程度) 一般解法:

=8000(个)

%,下旬生产了 50%。还可以看出下旬比中旬多生产 30%,这 30%正好是 2400 个。所以,一月份生产的零件个数是: 2400÷30%=8000(个) 答略。 (三)凭借份数的多少 有些应用题, 可以凭借直接看出题中某个数量的一份或几份是多少,而用简 捷的方法解答出来。 *例 1 某服装厂做同样大小的衣服,上午做了 60 件,下午做了 90 件,上午 比下午少用布 75 米。一天用布多少米?(适于四年级程度) 一般解法: 75÷(90-60)×(90+60) =75÷30×150 =375(米) 直接法:从上午比下午少做 30 件,“上午比下午少用布 75 米”可以看出, 每做 30 件衣服要用布 75 米。因为上午做 2 个 30 件,下午做 3 个 30 件,所以一 天用布米数是: 75×(2+3)=375(米) 答略。

一般解法:

=720(吨) 直接法:把总运输量平均分成 3 份,已运走 2 份,还剩下 1 份,剩下的吨数 是: 1440÷2=720(吨) 答略。

一般解法:

综合算式:

所以公路的全长是:

答略。 (四)凭借倍数的多少 有些应用题, 可凭借直接看出这一数量是另一数量的几倍或某个数量倍数的 变化,而用简捷的方法解答。 例 1 同时开动 3 台功率相同的碾米机,4.5 小时碾米 4860 千克。如果同时 开动同样台数、同样规格的碾米机,9 小时可以碾米多少千克?(适于四年级程 度) 一般解法: 4860÷4.5÷3×9×3 =1080÷3×9×3 =360×9×3 =9720(千克) 直接法:因为碾米机是同时开动,并且效率相同、台数相同,9 小时是 4.5 小时的 2 倍,所以 9 小时碾米的数量是 4860 千克的 2 倍。 4860×(9÷4.5)=9720(千克) 答略。 例 2 某车间原计划每天生产 225 个零件,24 天完成任务。实际上只用了原 计划时间的一半就完成了任务。 实际比原计划每天多生产多少个零件?(适于四 年级程度) 一般解法: 225×24÷(24÷2)-225 =5400÷12-225 =450-225 =225(个)

直接法:零件总数未变,实际生产的天数缩小 2 倍,每天生产的零件个数是 原计划每天生产个数的 2 倍,所以,实际每天比原计划多生产 1 倍,即 225 个。 答略。 例 3 一项工程, 原计划 30 天完成, 做了 3 天后, 效率提高到原计划的 2 倍。 问还需要多少天才能完成这项工程?(适于六年级程度) 一般解法:设工作总量为 1。

直接法:因为做了 3 天后,剩下的工作量用原来的工作效率去做,还需 30-3=27(天),现在工作效率提高到原来的 2 倍,时间就比原来少一半,所以, 还需要的天数是: (30-3)÷2=13.5(天) 答略。 (五)凭借包含多少个的道理 有些应用题, 可凭借直接看出这一数量中包含多少个另一个数量,而用简捷 的方法解答。 例 1 用长 42 米、宽 1.2 米的白布做直角三角巾,三角巾两条直角边的长都 是 1.2 米。这块布可以做多少块三角巾?(适于五年级程度) 一般解法: 42×1.2÷(1.2×1.2÷2)=70(块) 直接法:因为布宽 1.2 米,要做的三角巾的两条直角边都长 1.2 米,所以可 把布都叠成边长是 1.2 米的正方形, 42÷1.2 得到正方形的个数。 因为边长是 1.2 米的一个正方形中, 包含两个两条直角边长都是 1.2 米的三角形,所以把正方形 的个数乘以 2 得到可以做多少块三角巾。 42÷1.2×2=70(块) 例 2 一本故事书,小明原计划每天读 25 页,30 天读完。实际每天读的页数 是原计划的 1.2 倍。 照这样计算, 这本书可以用多少天读完? (适于五年级程度)

一般解法: 25×30÷(25×1.2)=25(天) 直接法:把原计划每天读的页数看作 1,30 天读的页数就是 30;实际每天 读的页数是原计划的 1.2 倍,则实际每天读的页数就是 1.2。30 中包含多少个 1.2,就是实际用多少天读完。 30÷1.2=25(天) 答略。 例 3 某工程队计划修一条长 1600 米的公路,前 5 天修了全长的 20%。照这 样计算,修完这条公路还需要多少天?(适于六年级程度) 一般解法: 1600×(1-20%)÷(1600×20%÷5) =1600×80%÷64 =1280÷64 =20(天) 直接法: 5 天修了全长的 20%, 前 剩下全长的 80%, 80%中包含 4 个 20%, 自然还需要 4 个 5 天。 5×4=20(天) 答略。 (六)凭借平均分的原理 解应用题时灵活运用平均分的原理,通过题中某一部分数量,或者通过把已 经平均分出去的数量收回来的方法来解题,常常会使问题得到简捷的解决。 例 1 王师傅要加工一批零件。如果每小时加工 21 个,8 小时可以完成,由 于改进加工技术,提前 1 小时完成任务。实际比原计划每小时多加工多少个零 件?(适于四年级程度) 一般解法: 21×8÷(8-1)-21 =24-21

=3(个) 直接法:提前 1 小时完成,就是要用 8-1=7(小时)完成加工任务。把按计 划 1 小时应加工的 21 个零件平均分配在 7 小时内,就得到实际比原计划每小时 多加工多少个零件。 21÷7=3(个) 答略。 例 2 用一辆汽车运粮食。原计划每次运 50 袋,6 次运完,而实际 5 次就运 完了。问实际每次比原计划每次多运多少袋?(适于四年级程度) 一般解法: 50×6÷5-50 =60-50 =10(袋) 直接法:因为 5 次完成 6 次的任务,比原计划少运 1 次,这 1 次运 50 袋的 任务自然要平均分到 5 次完成。所以实际每次比原计划每次多运的袋数是: 50÷5=10(袋) 答略。 例 3 一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行 65 千米,要行 4 小时才能到达乙 地。 这辆汽车从乙地返回甲地比去时多用了 1 小时。这辆汽车从乙地返回甲地比 从甲地去乙地每小时少行多少千米?(适于五年级程度) 一般解法: 65-65×4÷(4+1) =65-260÷5 =65-52 =13(千米) 直接法:假设汽车用 4 小时从甲地开到乙地后,再往前开 1 小时,则汽车在 5 小时中要比从乙地回到甲地多行 65 千米,也就是说,在 5 小时中,汽车从甲 地去乙地比从乙地返回甲地多行 65 千米。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去 乙地每小时少行的距离是:

65÷5=13(千米) 答略。 (七)凭借图形 当我们读过一道应用题后,有时头脑中立刻闪现出表示题中数量关系的图 形,凭借这个图形我们会想到解答此题的方法,而不必仔细分析推理;有时刚刚 画出表示题中数量关系的图形时,我们就领悟到解题方法。在这些情况下,得的 解题方法往往比较简捷。 例 1 在校运动会上,某班除 4 人没参加任何项目外,有 26 人参加了田赛, 有 30 人参加了径赛,有 12 人既参加了田赛,又参加了径赛。这个班有学生多少 人?(适于高年级程度) 一般解法: (26-12)+(30-12)+12+4=48(人) 直接法:从图 29-1 可看出,12 包含在 26 内,也包含在 30 内。从 26 与 30 的和中减去 12,再加上 4,就得到全班学生人数:(26+30-12)+4=48(人)

答略。 例 2 一个圆柱体的侧面积是 188.4 平方厘米,底面半径是 3 厘米,求这个 圆柱体的体积。(适于六年级程度) 一般解法:

直接法: 按照图 29-2 把圆柱体的底面分成若干个相等的扇形来切割圆柱体, 然后把切开的圆柱体拼成近似长方体的形状。 这个长方体的底面积是圆柱体侧面 积的一半,高等于圆柱体底面的半径。所以这个圆柱体的体积是: 188.4÷2×3=282.6(立方厘米) 答略。

这批水泥一共是多少吨?(适于六年级程度) 一般解法:

直接法:从图 29-3 中可以看出,全部需要运来的水泥被分为 5 份,剩下

所以,这批水泥一共是: 15×10=150(吨) 答略。 (八)凭借从整体上考虑 有些应用题,如果把问题分成许多细节,一步一步地分析、推理,有时要走 弯路,陷入困境。如果不把问题分成许多部分去研究,而是从整体上、从全局考 虑,往往会迅速发现问题的实质,很快解决问题。 *例 1 由 1024 名运动员参加的乒乓球个人冠军赛,采用输一场即被淘汰的 单淘汰制。共需安排多少场比赛?(适于高年级程度)

??最后一场是冠军赛,共应进行: 512+256+128+64+32+16+8+4+2+1 =1023(场) 直接法:从整体上考虑,每场淘汰 1 名运动员,要决出冠军,就要淘汰 1023 名运动员,所以共需进行 1023 场比赛。 答略。 *例 2 走一段路,甲用 40 分钟,乙用 30 分钟。如果甲出发 5 分钟后乙再出 发,乙经过多长时间才能追上甲?(适于高年级程度) 一般解法:

直接法:走这段路,甲、乙分别用 40 分钟和 30 分钟,则甲、乙走到这段路 中点用的时间分别是 20 分钟、15 分钟。因为甲提前 5 分钟出发,所以当甲用 20 分钟走到这段路的中点时,乙用 15 分钟也走到这段路的中点,也就是说乙追上 了甲。乙追上甲用的时间是乙走这段路所用时间的一半。 30÷2=15(分钟)

答略。 *例 3 在同一条公路上,有两辆汽车向同一个方向行驶。开始时,甲车在乙 车前面 4 千米,甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行 60 千米。乙车在追上甲车 前 1 分钟,两车相距多远?(适于六年级程度) 一般解法:

直接法: 乙车追上甲车前一分钟两车相距的路程等于,乙车每 1 分钟追上甲 车的路程:

答略。 *例 4 东、西两地相距 100 千米。甲、乙二人从东、西两地同时出发,相向 而行。 甲每小时走 6 千米, 乙每小时走 4 千米。 甲带的一只狗与甲同时同向出发, 狗以每小时 12 千米的速度向乙奔去,遇到乙立即回头向甲跑来,遇到甲再回头 向乙奔去,直到甲、乙二人相遇时狗才停住。求在这段时间里狗一共跑了多少千 米。(适于高年级程度) 解:此题因无法求出在全程中,狗与乙到底相遇多少次,以及每次相遇时狗 跑了多少千米或用了多长时间,所以很难用逻辑分析的方法解答出来。 如果从整体上考虑问题,抓住问题的实质,即不管狗与乙相遇几次,总之在 全程过程中,狗跑的时间等于甲、乙二人相遇时所用的时间,所以可用下面的方 法计算出狗一共跑了多少千米: 12×[100÷(6+4)]=120(千米) 答略。

答略。

第三十讲

四方阵法

四方阵是著名教育家赵宋光《新体制数学》中解应用题的一种方法。 通过画四方阵可以找准整数乘除题中数量间的对应关系,也可以找准分数 (百分数)题中的标准量、比较量和分率,从而明确题中数量间的关系,很快解 答出应用题。

画四方阵图要遵守“同名竖对、同事横对”的规则;四方阵图中,“四个方 位的数交叉相乘,两个积必定相等”是四方阵的性质;在计算时,x 斜对方位的 数必当除数。

解:设九月份生产玻璃 x 箱。 (1)画一个大“十”字。在“十”字横线左端点外的上、下方位分别写上 九月、十月(图 30-1)。

(2)在大“十”字中心点的左上方、左下方,横对九月、十月分别写上 x、 20000,并在它们中间的横线上写出 x 与 20000 的单位名称“箱”(图 30-2)。

从摘录、整理完条件与问题的四方阵图 30-4 中,可清楚地看到 x 的对应

根据题中的数量关系,也根据四方阵“交叉相乘,积相等”的性质,可以列 出方程解答此题。

答:九月份生产玻璃 15000 箱解:设今年有水田 x 亩。 按题意画出图 30-5 的四方阵图。

根据题中的数量关系,再根据四方阵“交叉相乘,积相等”的性质,可得:

答略。

解:设还剩 x 块砖。 根据题意,画出图 30-6 的四方阵图。

图 30-6 中 35000 块与 x 块的单位名称相同,所以 35000 与 x 竖对,在它

答:还剩 14000 块砖。 例 4 前进造纸厂四月份用煤 540 吨,比三月份节约 20%。三月份用煤多少 吨?(适于六年级程度) 解:设三月份用煤 x 吨。 根据题意,画出图 30-7 的四方阵图。 根据四方阵的性质“四个方位的数交叉相乘,两个积必定相等”可得: (1-200%)x=540 x=540÷(1-20%) x=540÷0.8 x=675

答略。

例 5 用“1059”农药和水配合成药水,可防治棉花害虫。农药和水的重量 比是 1∶2000。要配制 2500 千克药水,需要“1059”多少千克?(精确到 0.01 千克)(适于六年级程度) 解:设需要农药 x 千克。 根据题意画出图 30-8 的四方阵图。 阵中 1 与 2000 坚对,1 与 x 横对;要配制 2500 千克药水,农药占 x 千克, 水的重量是(2500-x)千克。x 与(2500-x)坚对。

根据四方阵“四个方位的数交叉相乘,两个积必定相等”的性质得: 2000x=2500-x 2001x=2500 x=2500÷2001 x≈1.24 答略。

少公顷土地?(适于六年级程度) 解:设这个农场共有 x 公顷土地。

根据题意画出图 30-9 的四方阵图。

根据四方阵“交叉相乘,两积相等”的性质,可得:

答略。

解:设图上的长是 x 厘米,宽是 y 厘米。 150 米=15000 厘米 30 米=3000 厘米 根据题意画出四方阵图 30-10 和 30-11。

根据四方阵的性质可得: 2000x=15000 x=15000÷2000 x=7.5 根据四方阵的性质可得: 2000y=3000 y=3000÷2000 y=1.5 答:图上的长是 7.5 厘米,宽是 1.5 厘米。 例 8 五年级学生去年种了 4800 棵蓖麻,平均每一棵收蓖麻子 0.15 千克。 蓖麻子的出油率是 45%,这些蓖麻能出油多少千克?(适于六年级程度) 解:设共收蓖麻子 x 千克,出油 y 千克。 根据题意画出四方阵图 30-12 和图 30-13。

根据四方阵的性质可得: x=4800×0.15 x=720 根据四方阵的性质可得: y=720×45% y=324 答:能出油 324 千克。

例 9 某学校改制了一台饮水锅炉后,每天烧煤 25 千克,是原来每天用煤量 的 25%。现在每月(按 30 天计算)比原来节煤多少千克?(适于六年级程度) 解:设现在每天节约煤 x 千克,一个月节煤 y 千克。 根据题意画出四方阵图 30-14 和图 30-15。 根据四方阵的性质可得: 25%x=25×(1-25%) x=25×(1-25%)÷25%

根据四方阵的性质可得:

答:现在每月比原来节煤 2250 千克。 例 10 同学们搞野营活动。一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老师问 他领多少,他说领 55 个。又问“多少人吃饭?”他说:“一人一个饭碗,两个 人一个菜碗,三个人一个汤碗。”这个同学给多少人领碗?(适于六年级程度) 解:这道题,教师不容易讲清,学生也不容易理解。 按四方阵的格式摘录整理条件和问题,就容易列式解答了。 设给 x 个人领碗。 画出四方阵图 30-16。 因为 x 个人领 55 个碗,所以 x 与 55 横对;因为 1 个人得到 1 个饭碗,

根据阵中呈现的数量关系,也根据“交叉相乘,积相等”的性质,可以列出 方程解答此题。

答略。 例 11 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出,经过 12 小时相遇, 相遇后快车又行了 8 小时到达乙站。求慢车还要行几小时才能到达甲站?(适于 六年级程度) 解:先用一般方法解。这道题很抽象,不少学生不能理解。

慢车行了全程的:

用四方阵法解。用这种方法解题很简单。 设慢车还要行 x 小时才能到达甲站。

快车在相遇前行 12 小时,相遇后行 8 小时,慢车相遇前行 12 小时,相遇后 行 x 小时。画出图 30-17 的四方阵后,就可根据四方阵的性质列出方程: 8x=12×12 x=12×12÷8 x=18(小时) 答略。 要注意的是,按四方阵的格式摘录、整理反比例应用题的条件和问题时,要 使阵中的“同事斜对”。 例 12 一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行驶 32 千米,5 小时到达,如果要 4 小时到达,每小时行驶多少千米?(适于六年级程度) 解:设每小时行驶 x 千米。 按“同事横对,同名竖对”的摆阵规则,这道题应摆成图 30-18 的形式,这 样根据“交叉相乘,积相等”的性质,得:

行驶的时间少了,速度增加才对,可这样速度却减少了,显然这样摆阵是错 误的。 这道题是反比例应用题,正确的摆阵方式是图 30-19 的形式,即“同事斜 对”。32 与 5 斜对,x 与 4 斜对。 根据题意,也根据四方阵“交叉相乘,积相等”的性质,以及 x 的斜对方必 当除数的规律,可得: 4x=32×5 x=32×5÷4 x=40(千米) 答略。

“交叉相乘积相等”是四方阵的重要性质,它帮助解题,帮助验算,还可以 验证阵式摆得是否正确。例如,把上面各例题中算出的 x 的数值代入四方阵中, 把四个方位的数交叉相乘,得到的两个积相等,说明摆阵、运算都正确;要是两 个积不相等,或虽然相等但不合理,那就要认真查找出现问题的原因了。


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