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2012年云南第一次省统测理科数学第17题的错误


关于 2012 年云南第一次省统测理科数学第 17 题的错误 题 目 : 在 三 角 形 ABC 中 , 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 设 平 面 向 量

m = (cos C + sin B,? sin B ), n = (cos C ? sin B, sin C ), m? n = cos 2 A 。
(1)求 A 的值; (2)设 a=4,b+c=5,求三角形 ABC 的边 BC 上的高 h。 解: (1) m? n = (cos C + sin B ) ? (cos C ? sin B ) ? sin B ? sin C ? sin 2 A = sin 2 B + sin 2 C + sin B ? sin C 又由正弦定理得: sin A =
→ →





→ →

a b c , sin B = , sin C = 2R 2R 2R
2 2 2

代入 sin 2 A = sin 2 B + sin 2 C + sin B ? sin C 得: a = b + c + bc 结合余弦定理 a = b + c ? 2bc ? cos A ,有: cos A = ? 又 A 是三角形 ABC 的内角,所以, A = (2)∵ (b + c ) = b + c + 2bc = 25
2 2 2 2 2 2

1 2

2π 。 3

又 a = b + c ? 2bc ? cos A = 16

2

2

2

∴ bc = (b + c ) ? a 2 = 9 1 BC ? h = 2 1 1 ∴ × 4h = × 9 × 2 2

2

s?ABC =

1 bc ? sin A 2 3 2

解得 h =

9 3 。 8

很好的解答,看似无错的题目--可是真的就如此完美吗? 注意到我们在第(2)问解答时求得 bc=9,若(2)问中的条件 b+c=5 联立:

{

b + c =5 bc = 9

容易知道此方程组无实数解,而 b 和 c 为三角形的两条边,应为正实数!这无疑是命题人的 失误--作为省级考试还是不应该出现这种失误的--哪怕这个失误有些高级! 造成这种情况的原因是,当 a=4(或 b+c=5)时,在前面的条件下,b 与 c 的和就不能为 5 了(或 a 不等于 4) ,否则若以 a、b、c 为边就不能构成三角形。而在求解过程中我们反复 使用正弦定理和余弦定理, 由于正弦定理和余弦定理只能在三角形中应用, 所以我们的计算
b + c =5 都是无意义的,这就造成了方程 bc = 9 无实数解。

{

亡羊补牢--让我们来修改一下数据,使其成为一个正确无误的题目。 题 目 : 在 三 角 形 ABC 中 , 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 设 平 面 向 量

m = (cos C + sin B,? sin B ), n = (cos C ? sin B, sin C ), m? n = cos 2 A 。
(1)求 A 的值; (2)设 a =





→ →

9 ,b+c=5,求三角形 ABC 的边 BC 上的高 h。 2

最后希望命题工作者在日后的命题工作中能够对于细节的把握上面做的更好--教育和数 学都应该是精致的! 感谢珍姐提供的信息, 《数联期刊》发布时,我们得一起署名哦^-^! 张迪 2012.03.05


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