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广东省龙山中学2010-2011学年高二4月月考试卷(数学理)

广东省龙山中学 2010-2011 学年高二 4 月月考试卷

理科数学 2011-4-23
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1.设 A ? ?(x, y) y ? ?4x ? 6?, B ? ?(x, y) y ? 3x ?8? ,则 A B ?

A.?(2, ?1)? B.?(2, ? 2)? C.?(3, ?1)? D.?(4, ? 2)?.

2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a,b ? R) 是纯虚数”的

A .必要不充分条件

B .充分不必要条件

C .充要条件

D .不充分不必要条件

?→

?

→?

3. 设向量 a 与 b 的夹角为? , a =(2,1),3 b + a =(5,4),则 cos? =

A. 4

B. 1

5

3

C . 10 10

D

3
.

10

10

4. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆,

那么几何体的侧面积为

( A) 1 ? 2

(B). 2 ? 2

(C ) . 2 ? 4

(D) . ? 4

a

? 5. 已知函数 f (a) ?

0

sin

xdx,



f[

f

? ( )] = 2

( A) .1

(B) .1? cos1 (C ) . 0

(D) . cos1?1

6. 在等差数列中,若是 a2 ? 4a7 ? a12 ? 96 ,则 2a3 ? a15 等于

( A) .12

(B) . 96

(C ) 24

(D) . 48

7. 在实数集上定义运算 ? : x ? y ? x(1? y) ,若不等式 (x ? a) ? (x ? a) ? 1 对任意
a 实数 x 都成立,则实数 的取值范围是

( A) . ??1,1?

(B) . ?0,2?

(C ) (? 1 ,3) 22

(D)

(? 3 ,1 ) 22

?x ? 0

8.

在约束条件

?? y ??x

? ?

0 y

?

s

下,当3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2y 的最大值的变化范围是

?? y ? 2x ? 4

( A) .[6,15]

(B) .[7,15]

(C ) [6,8]

(D) .[7,8]

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9. 抛物线 x2 ? 4ay (a ? 0) 的焦点到其准线的距离为

.

10. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频
率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要

从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000) (元)

/月收入段应抽出

人.

11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .

频率/组距 0.0005
0.0004

http://wx.jtyjy.com/

0.0003

0.0002

0.0001

月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

12

.已知函数

f (x)

?

?a x (x ? 0), ? ?(a ? 3)x ? 4a(x

? 0) 满足对任意 x1

?

x2 ,都有

f (x1 ) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

0

成立,则 a 的取值范围是

.

13. 用1, 4,5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x =

14.如图, PC 切⊙ O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC ? 4 , PB ? 8,则 CD ? _______.

三.解答题(请写出必要的解题步骤)

15. (本题满分 12 分)
C
已知函数 f (x) ? ?1? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x

(Ⅰ)求函数 f ?x? 的最小正周期;

B

OE

A

P

(Ⅱ)求函数 f ?x? 的单调减区间.

D

16. (本题满分 12 分)

甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 2 ,甲、乙、 5

丙三人都能通过测试的概率是 3 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 3 ,且乙通

20

40

过测试的概率比丙大.

(Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少;

(Ⅱ)求测试结束后通过的人数? 的数学期望 E? .

17.(本题满分 14 分)
如图,已知矩形 ABCD中,AB ? 10 ,BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD把 ?ABD折起,使 A

移到 A 点,且 A 在平面 BCD上的射影 O 恰好在 CD 上. 1

1

http://wx.jtyjy.com/]

(Ⅰ)求证: BC ? A1D ;

http://wx.jtyjy.com/]

A1

(Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1BD ; (Ⅲ)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.

D

C

O

18.(本题满分 14 分)

A

B

已知圆 C 方程为: x2 ? y2 ? 4 .

(Ⅰ)直线 l 过点 P ?1, 2? ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若| AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程;
x y (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 轴的直线 m ,设 m 与 轴的交点为 N ,若向量

OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

19. (本题满分 14 分)
设 函 数 f ? x? 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 f ?x? ? 1 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y ? R , 有

f ? x? y? ? f? ?x ?f ?y

f ?0? f ? x? (Ⅰ)求

,判断并证明函数

的单调性;

http://wx.jtyjy.com/]

(Ⅱ)数列?an? 满足 a1 ?

f ?0? ,且 f (an?1 ) ?

1

(n ? N * )

f (?2 ? an )

①求?an? 通项公式。

1 ②当 a ?1 时,不等式 an?1

?1 an?2

? ... ? 1 a2n

?

12 35

(log

a ?1

x

?

log

a

x ? 1) 对不小

于 2 的正整数恒成立,求 x 的取值范围。

20. (本题满分 14 分)
已知 f ?x? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ?? ?,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,且 f ?x? ? 0 有
三个根?,2, ? ?? ? 2 ? ? ?。
(Ⅰ)求 c 的值,并求出 b 和 d 的取值范围; (Ⅱ)求证 f (1) ? 2 ;
(Ⅲ)求| ? ?? | 的取值范围,并写出当| ? ?? | 取最小值时的 f (x) 的解析式.

数学试题(理科)答案

17. 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:

?2 ?? 5

xy

?

3 20

,

? ?

3

(1

?

x)(1

?

y)

?

3,

?? 5

40



?
?? ?
? ??

x y

? ?

3 4 1 2

, .



?
?? ?
? ??

x y

? ?

1 2 3 4

, (舍去)┅┅┅┅┅┅┅4
.



所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 3 、 1 . 42

┅┅┅┅┅┅┅6 分

(Ⅱ)因为 P (? ? 0) ? 3 40

P(? ? 3) ? 3 20

P(? ? 1) ? 2 (1? 3)(1? 1) ? (1? 2) 3 (1? 1) ? (1? 2)(1? 3) 1 ? 7

54 2

54 2

5 4 2 20

P

(?

?

2)

? 1? (P0

?

P1

?

P3 )

?

17 40

所以 E? = 0 ? 3 ?1? 7 ? 2? 17 ? 3? 3 ? 33 40 20 40 20 20

┅┅┅┅┅┅┅12 分

18. 证明:(Ⅰ)∵ A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上,

∴ A1O ⊥平面 BCD ,又 BC ? 平面 BCD

∴ BC ? A1O ………………………………………………………2 分

19. 解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1,
? ? ? ? l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离为 2 3 满足题意

………1 分

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k?x ?1?,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 …………3 分

∴1 ? | ?k ? 2 | , k ? 3 ,故所求直线方程为 3x ? 4y ? 5 ? 0

k2 ?1

4

综上所述,所求直线为 3x ? 4y ? 5 ? 0 或 x ? 1 …………7 分

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ), Q 点坐标为 ?x, y?

则 N 点坐标是 ?0, y0 ?

…………9 分

∵ OQ ? OM ? ON ,

∴ ? x, y? ? ? x0, 2y0 ?

即 x0 ? x ,

y0

?

y 2

又∵ x02

?

y

2 0

?

4 ,∴ x2

?

y2 4

?

4( y

?

0)

…………11 分

∴ Q 点的轨迹方程是 x2 ? y2 ? 1( y ? 0) , 4 16

…………13 分

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。 …………14 分

② bn

?

1 an?1

?

1 an?2

? ... ?

1 a2n

, 则bn?1

?

1 an?2

?

1 an?3

? ... ?

1 a2n?2

bn ?1

? bn

?

1 a2n?1

?

1 a2n?2

?

1 an?1

?

1? 4n ?1

1? 4n ? 3

1 2n ?1

?

(4n

1 ? 1)(4n ?

3)(2n

? 1)

?

0,{bn }是递增数列………………11



当 n≥2 时,

(bn ) min

? b2

?

1 a3

?

1 a4

?1?1 57

? 12 35

? 12 35

?

12 35

(log a?1

x

?

log a

x

? 1)

……………………………12



即 log a?1 x ? log a x ? 1 ? 1 ? log a?1 x ? log a x

而 a>1,∴x>1

故 x 的取值范围(1,+∞)……………………………14 分

(2) f (1) ? 1? b ? d f (2) ? 0 ………………5 分

?d ? ?8 ? 46且b ? ?3 ? f (1) ? 1? b ? 8 ? 46 ………………6 分
? ?7 ? 3b
? 2 ………………………………8 分
(3) f (x) ? 0有三根?,2,?

? f (x) ? (x ?? )(x ? 2)(x ? ? )

? x3 ? (? ? ? ? 2) x2 ? 2?? ………………………………10 分

?? ? ? ? 2 ? ?b

?

? ?????

?

?

d 2

?| ? ?? |2 ? (? ? ? )2 ? 4??

? (b ? 2)2 ? 2d

? b2 ? 4b ? 4 ?16 ? 8b

? b2 ? 4b ?12

………………12 分

? (b ? 2)2 ?16

又 b ? ?3

?| ? ?? |? 3

当且仅当b=-3时取最小值,此时d=4

? f (x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ·………………………………………………14 分


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