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上海版(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题10 圆锥曲线(解析版)Word版含解析


一.基础题组 1. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知双曲
线

a x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )满足 2 b a b

1 ? 0 ,且双曲线的右焦点与抛物线 2

y 2 ? 4 3x 的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.

2.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知椭圆

的中心在原点,一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合,一个顶点的坐标为 (0, 2) ,则 此椭圆方程为


3.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离等于 4 9



x2 y 2 ? ?1 4.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学 (理) 试题】 已知椭圆 4 3
的左、 右两个焦点分别为 F1 、F2 ,若经过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A 、B 两点,则△ ABF2 的周长等于 .

5.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】双曲线 .

mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=

6.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】在平面直角坐

标系中,动点 P 和点 M(-2,0)、N(2,0)满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则动点 P(x,y)的轨迹 方程为
2

.

【答案】 y ? ?8x 【解析】

试题分析:本题可用求轨迹方程的基本方法—直接法来求,把已知条件等式

MN ? MP ? MN ? NP ? 0 用坐标表示出来, 4 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( x ? 2) ? 0 ,化简变形
即得. 考点:用基本法求轨迹方程.

7.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】
2

y2 双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,则 b ? ________. b

二.拔高题组 1. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知椭圆
? 3? ? 在椭圆 C 上. C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,且点 ? 1 , ? ? 2 ? ?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过 P 作方向向量 d ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,求证: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

?

出直线 l 的方程,把它与椭圆方程联立方程组,可求出 A, B 两点的坐标,从而求出 ,当然在求 | PA |2 ? | PB |2 时, | PA |2 ? | PB |2 的值,看它与 m 有没有关系(是不是常数) 不一定要把 A, B 两点的坐标直接求出(如直接求出,对下面的计算没有帮助) ,而是采取设 而不求的思想,即设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,然后求出 x1 ? x2 , x1 x2 ,而再把 | PA |2 ? | PB |2 用 x1 ? x2 , x1 x2 表示出来然后代入计算,可使计算过程简化.

(写到倒数第 2 行,最后 1 分可不扣) 考点:(1)椭圆的标准方程; (2)直线与椭圆相交问题.

2.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知圆 C

过定点 A(0, 1) ,圆心 C 在抛物线 x 2 ? 2 y 上, M 、 N 为圆 C 与 x 轴的交点. (1)当圆心 C 是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长. (2)当圆心 C 在抛物线上运动时, MN 是否为一定值?请证明你的结论. (3)当圆心 C 在抛物线上运动时,记 AM ? m , AN ? n ,求 此时圆 C 的方程.

m n ? 的最大值,并求出 n m

令 y ? 0 ,得 x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 , x2 ? a ? 1 ,
2 2

? MN ? x2 ? x1 ? 2 是定值.??????8 分

3.
C:

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】给定椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,称圆心在坐标原点 O,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 C 的“伴 2 a b

随圆” ,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 .

?

(1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M1 F1 ? M1F2 ? 4 ,求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)在(1)的条件下,过点 P ? 0, t ??t ? 0? 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的“伴随圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3)已知 m ? n ? ?

cos ? 3 , mn ? ? ? m ? n,? ? ? 0, ? ? ? ,是否存在 a,b,使椭圆 C 的 sin ? sin ?

2 2 “伴随圆” 上的点到过两点 m, m , n, n 的直线的最短距离 d min ?

?

??

?

a 2 ? b 2 ? b .若存在,

求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.

,得

------②------------------------------8 分

由①②得

,又

,故

,所以

点坐标为

.-----10 分

4.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 AC 、 BD 是过抛物线 ? 焦 点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? , 其中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小?

解得

AF ?

2(cos ? ? 1) sin 2 ?

??8 分

5.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】 已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1. 4

(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图),直线 AM , BM 分别与椭圆 ? 交于 E , F 两点, 其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2?

①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2) 若圆 ? : x 2 ? y 2 ? 4 . l1 , l2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线 , 其中 l1 交圆 ? 于

T、 R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

所以 S ?TRQ ?

1 8 4k 2 ? 3 32 QP TR ? ? 2 2 k ?4 4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?

2

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 时等号成立, ?k ?? 2 2
??16 分

此时直线 l1 : y ? ?

10 x ?1 2

考点: (1) ①动直线中的定点问题; ②三角形的面积, 线段比与点的坐标之间的关系; (2) 直 线与圆相交弦长,直线与椭圆相交的弦长,基本不等式.

6.

【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】已知点 P ( 2, 0) ,
2

点 Q 在曲线 C : y ? 2 x 上. (1)若点 Q 在第一象限内,且 | PQ |? 2 ,求点 Q 的坐标; (2)求 | PQ | 的最小值.

2 试题解析:设 Q( x, y ) ( x ? 0, y ? 0 ), y ? 2 x

(1)由已知条件得 | PQ |?

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ??????????2 分

2 2 将 y ? 2 x 代入上式, 并变形得,x ? 2 x ? 0 , 解得 x ? 0(舍去) 或 x ? 2 ?????

4分 当 x ? 2 时, y ? ?2 只有 x ? 2, y ? 2 满足条件,所以点 Q 的坐标为 (2, 2) ??????6 分


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