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2018-2019学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 四 弦切角的性质课件 新人教A版选修4-1_图文

四 弦切角的性质 [学习目标] 1.理解弦切角的定义及性质,并能解决与弦切角有关的问题. 2.理解弦切角定理,并能应用定理证明相关的几何问题. [知识链接] 1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角?这两种角 是如何定义的? 提示 前面我们研究过圆心角和圆周角;顶点在圆 心,两边与圆相交的角叫做圆心角,顶点在圆上, 两边与圆相交的角叫做圆周角. 2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质,它 们又有怎样的关系? 提示 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相 等,所对的弧也相等;相等的弦或相等的弧所对的 圆心角相等.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 3.如下图,圆周角∠CAB,让射线AC绕点A旋转,产生无数 个圆周角,当AC绕点A旋转至与圆相切时,停止旋转,得 ∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗?为什么? 提示 不是圆周角,因为角的一边与圆相切,只有角 的两边都与圆相交时,才是圆周角. [预习导引] 1.弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角 叫作弦切角. 弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①; (2)圆心在角的一边上,如图②;(3)圆心在角的内部, 如图③. 2.弦切角定理 文字 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 语言 AB与⊙O相切于点A,AC与⊙O相交于点A,C,点D在 符号 ⊙O上,但不在弦切角∠BAC所夹的弧上,则∠BAC= 语言 ∠ADC 图形 语言 作用 证明两个角相等 要点一 利用弦切角定理求角 例 1 如图,一圆过直角三角形 ABC 的直角 顶点 C,且与斜边 AB 相切于 D 点,AD= DB,G 为C︵D中点,F 为C︵E上任一点.求证: ∠CFG=∠EFD. 证明 连接 CD,∵AB 切圆于 D 点, ∴∠CDB=∠DFC. ∵G 为C︵D的中点, ∴∠CDB=∠DFC=2∠CFG. ∵D 为直角三角形 ACB 的斜边中点, ∴CD=AD,∴∠CDB=2∠DCE. ∵∠DCE=∠EFD,∴∠CFG=∠EFD. 规律方法 1.本题在证明过程中,多次使用了角 的转化,而转化的依据是弦切角定理和圆周角定 理. 2.利用弦切角定理进行计算、证明,要特别注意 弦切角所夹弧所对的圆周角,有时与圆的直径所 对的圆周角结合运用,同时要注意根据题目的需 要可添加辅助线构成所需要的弦切角. 跟踪演练 1 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O, BC 是直径,MN 与⊙O 相切,切点为 A,∠MAB =35°,则∠D=________. 解析 如图,连接 BD,由弦切角定理知: ∠ADB=∠MAB=35°,∠BDC=90°, 故∠ADC=∠ADB+∠BDC=125°. 答案 125° 要点二 利用弦切角定理证明线段成比例 例 2 如图所示,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC, 过 B 点引⊙O 的切线分别交 DA 的延长线和 CA 的 延长线于 E,F 点. (1)求证:AB2=AE·BC; (2)已知 BC=8,CD=5,AF=6,求 EF 的长. (1)证明 ∵BE 切⊙O 于 B,∴∠ABE=∠ACB. 又 AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC, ∴△EAB∽△ABC,∴AABE=BACB,∴AB2=AE·BC. (2)解 由(1)知△EAB∽△ABC,∴ABCE=BACB. 又 AE∥BC,∴EAFF=ABCE,∴BACB=AEFF. 又 AD∥BC,∴A︵B=C︵D,∴AB=CD, ∴58=E6F,∴EF=380=145 规律方法 1.弦切角定理经常作为工具,进行三 角形相似的证明,然后利用三角形相似进一步确 定相应边之间的关系,在圆中证明比例式或等积 式,常常需要借助于三角形相似处理. 2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运 用,它们不但在证明方法上相似,在解题功能上 也有相似之处,通常都作为辅助工具出现. 跟踪演练 2 如图,PA,PB 是⊙O 的切线,点 C 在A︵B上,CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB,垂 足分别为 D,E,F.求证:CD2=CE·CF. 证明 连接 CA,CB.∵PA,PB 是⊙O 的切线. ∴∠CAP=∠CBA,∠CBP=∠CAB. 又 CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB, ∴Rt△CAE∽Rt△CBD, Rt△CBF∽Rt△CAD,∴CCAB=CCDE,CCBA=CCDF, ∴CCDE=CCDF,即 CD2=CE·CF. 要点三 弦切角定理综合应用 例 3 如图所示,以△ABD 的边 AB 为直径作 半圆 O 交 AD 于 C 点,过点 C 的切线 CE 和 BD 互相垂直,垂足为 E 点.求证:AB=BD. 证法 1 如图所示,连接 OC.∵CE 是⊙O 的切线, ∴OC⊥CE.又 BD⊥CE,∴OC∥BD,∴∠ACO=∠D. 又 OA=OC,∴∠ACO=∠A,∴∠A=∠D,∴AB=BD. 证法 2 由证法 1 知 OC∥BD.又 AO=BO,∴AC=CD, ∴OC=12BD.又 OC=12AB,∴AB=BD. 规律方法 借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧 所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊 三角形或全等三角形,从而证得线段相等. 跟踪演练 3 如图所示,割线 PBA 过圆心 O, PT 为⊙O 的切线,T 为切点,∠APT 的平 分线 PD 分别交 BT,AT 于 C,D.求证:△CTD 为等腰三角形. 证明 ∵∠TDC=∠A+12∠APT,PT 是圆 O 的切线,∴∠PTB=∠A. 在△PTC 中,∠TCD=∠BTP+12∠APT, ∴∠TDC=∠TCD,∴△CTD 为等腰三角形. (1)弦切角定理的推论:若一个圆的两个弦切角所夹的 弧相等,则这两个弦切角也相等. (2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹 的弧的度数的一半,这就建立了弦切角与弧之间的数 量关系,它为直接依据弧进行角的转换确立了基础. (3)圆心角、圆周角、弦切角的比