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高考数学分类专题复习之01 函数定义域和值域


第一讲
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.函数 f(x)= 1? 2 x 的定义域是 A. ( -∞,0] 2.函数 f ( x) ? B.[0,+∞ )

函数定义域和值域



A ) D. (-∞,+∞)

C. (-∞,0)

1 的定义域为 log2 (? x ? 4 x ? 3)
2

(A )

A. (1,2)∪(2,3) C. (1,3)

B. (??,1) ? (3,??) D.[1,3]

3 . 对 于 抛 物 线 线 y 2 ? 4 x 上 的 每 一 个 点 Q , 点 P?a,0? 都 满 足 PQ ? a , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( B )

A . ?? ?,0?

B . ?? ?,2?

C . ?0,2?

D . ?0,2?

4.已知 f (2 x ) 的定义域为 [0,2] ,则 f (log2 x) 的定义域为 5. 不等式 m ?

[2,16]



x2 ? 2 对一切非零实数 x 总成立 , 则 m 的取值范围是 x

(??,2 2] __。

6. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x) ≥0 ,则

f (1) 的最小值为 f ?(0)



5 2

★★★高考要考什么 一、 函数定义域有两类:具体函数与抽象函数 具体函数:只要函数式有意义就行---解不等式组; 抽象函数: (1)已知 f (x) 的定义域为 D,求 f [ g ( x)] 的定义域; (由 g ( x) ? D 求得 x 的范围就是) (2)已知 f [ g ( x)] 的定义域为 D,求 f (x) 的定义域; x ? D 求出 g (x) 的范围就是) ( 二、 函数值域(最值)的求法有: 直观法:图象在 y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围; 配方法:适合一元二次函数
2 x 反解法:有界量用 y 来表示。如 x ? 0 , a ? 0 , sin x ? 1等等。如, y ?

1? x2 。 1? x2

换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。 如求 y ? x ? 1 ? x 2 的值域。

单调性:特别适合于指、对数函数的复合函数。如求 y ? log 2 ( x ? 注意函数 y ? x ?

1 ? 1)( x ? 1) 值域。 x ?1

k 的单调性。 x

基本不等式:要注意“一正、二定、三相等” , 判别式:适合于可转化为关于 x 的一元二次方程的函数求值域。如 y ?
2

x2 ? x ?1 。 x2 ? 2

反之:方程有解也可转化为函数求值域。如方程 sin x ? sin x ? a ? 0 有解,求 a 的范围。 数形结合:要注意代数式的几何意义。如 y ? 三、 恒成立和有解问题

2 ? sin x 的值域。 (几何意义――斜率) 1 ? cos x

a ? f (x) 恒成立 ? a ? f (x) 的最大值; a ? f (x) 恒成立 ? a ? f (x) 的最小值; a ? f (x) 有解 ? a ? f (x) 的最小值;
★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】已知 f(x)=3 值域。 分析提示:求函数值域时,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注 意 F(x)的定义域与 f (x)定义域的联系与区别。 解:由图象经过点(2,1)得, b ? 2 ,
-1

a ? f (x) 无解 ? a ? f (x) 的最小值;

x-b

(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1) ,求 F(x)=[f (x)] -f (x )的

-1

2

-1

2

x ? f ?1 ( x) ? 2 ? l o 3 g
?1? x ? 9 ?? 2 ?1 ? x ? 9

(1 ? x ? 9)

? F(x)=[f-1(x)]2-f-1(x2)

? F (x) 的定义域为 [1,3]

? F ( x) ? (2 ? log3 x) 2 ? (2 ? log3 x 2 ) ? (log3 x) 2 ? 2 log3 x ? 2 ? (log3 x ? 1) 2 ? 1
? x ? [1,3] , ? log3 x ? [0,1] ,
易错点:把 f
?1

? F (x) 的值域是 [2,5]

( x) 的定义域当做 F (x) 的定义域。

变式: 函数 y ? f (x) 的定义域为 x ? [?1,1] ,图象如图所示, 其反函数为 y ? f 的解集为
?1

1 1 ( x). 则不等式 [ f ( x) ? ][ f ?1 ( x) ? ] ? 0 2 2
.

3 ( ,1] 4

【范例 2】设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ?1( x ? R,t ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? t ( x ? t )2 ? t 3 ? t ?1( x ? R,t ? 0) ,

? 当 x ? ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) ? ?t 3 ? t ?1,
即 h(t ) ? ?t 3 ? t ? 1. (Ⅱ)令 g (t ) ? h(t ) ? (?2t ? m) ? ?t 3 ? 3t ? 1 ? m , 由 g ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ? 0 得 t ? 1 , t ? ?1 (不合题意,舍去) . 当 t 变化时 g ?(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t ) ? g (t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) ? 1 ? m . 2)

(0, 1)

1

(1, 2)

?
递增

0
极大值

?
递减

1? m

h(t ) ? ?2t ? m 在 (0, 内恒成立等价于 g (t ) ? 0 在 (0, 内恒成立, 2) 2)
即等价于 1 ? m ? 0 , 所以 m 的取值范围为 m ? 1 . 变式:函数 f(x)是奇函数,且在[—l,1]上单调递增,f(-1)=-1,(1) 则 f(x)在[-1,1]上的 最大值 范围是 1 ,(2) 若 f ( x ) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 x∈[-1,1]及 a∈[-1,1]都成立,则 t 的取值

t ? ?2或t ? 0或t ? 2 _



2 【范例 3】已知函数 y ? kx 与 y ? x ? 2( x ≥ 0) 的图象相交于 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , l1 , l2 分别是

y ? x2 ? 2( x≥ 0)的图象在 A,B 两点的切线, M ,N 分别是 l1 , l2 与 x 轴的交点.
(I)求 k 的取值范围; (II)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1 ? x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III)试比较 OM 与 ON 的大小,并说明理由( O 是坐标原点) .

解: (I)由方程 ?

? y ? kx, ?y ? x ? 2
2

消 y 得 x ? kx ? 2 ? 0 . ····· ①
2

依题意,该方程有两个正实根,

?? ? k 2 ? 8 ? 0, 故? 解得 k ? 2 2 . ? x1 ? x2 ? k ? 0,
(II)由 f ?( x) ? 2 x ,求得切线 l1 的方程为 y ? 2 x1 ( x ? x1 ) ? y1 ,
2 由 y1 ? x1 ? 2 ,并令 y ? 0 ,得 t ?

x1 1 ? 2 x1

x1 , x2 是方程①的两实根,且 x1 ? x2 ,故 x1 ?

k ? k2 ?8 4 ,k ? 2 2, ? 2 k ? k2 ?8

x1 是关于 k 的减函数,所以 x1 的取值范围是 (0,2) .

t 是关于 x1 的增函数,定义域为 (0,2) ,所以值域为 (??,0) ,
(III)当 x1 ? x2 时,由(II)可知 OM ? t ? ?

x1 1 ? . 2 x1

类似可得 ON ?

x2 1 x ?x x ?x ? . OM ? ON ? ? 1 2 ? 1 2 . 2 x2 2 x1 x2

由①可知 x1 x2 ? 2 . 从而 OM ? ON ? 0 . 当 x2 ? x1 时,有相同的结果 OM ? ON ? 0 . 所以 OM ? ON .

变式:已知函数 y ?

1 1 log a (a 2 x) ? log a (ax ) (2 ? x ? 4) 的最大值是 0 ,最小值是 ? ,求 a 的值。 2 8

分析提示: 能化成关于 loga x 的二次函数, (1) 注意对数的运算法则; (2)注意挖掘隐含条件 0 ? a ? 1 ” “ ; (3)掌握复合函数最值问题的求解方法。 解: y ?

1 1 log a (a 2 x) ? log a (ax ) ? (2 ? log a x)(1 ? log a x) 2 2 1 3 2 1 1 = (log a x ? ) ? , ∵ 2 ? x ? 4 ,且 ? ? y ? o 2 2 8 8

? 3 1 ∴当 log a x ? ? 即 x ? a 2 时, y min ? ? 2 8
? 3 2

3

∴a

? 2 ?1

∴ 0 ? a ? 1 ,又 y 最大值是 0 , , 即x ?

∴ loga x ? 2 ? 0或 loga x ? 1 ? 0

1 1 或x ? 2 a a

, ∴

1 1 ? 2(或 2 ? 4) a a

∴a ?

1 2


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